Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nelsubginvcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nelsubginvcld 40863
Description: The inverse of a non-subgroup-member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nelsubginvcld.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
nelsubginvcld.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubginvcld.p 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
nelsubginvcld (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵𝑆))

Proof of Theorem nelsubginvcld
StepHypRef Expression
1 nelsubginvcld.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 nelsubginvcld.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
32eldifad 3955 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
4 nelsubginvcld.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
5 nelsubginvcld.p . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
64, 5grpinvcl 18846 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
71, 3, 6syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
82eldifbd 3956 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑆)
94, 5grpinvinv 18863 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
101, 3, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) = 𝑋)
12 nelsubginvcld.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
135subginvcl 18986 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝑆)
1412, 13sylan 580 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁𝑋)) ∈ 𝑆)
1511, 14eqeltrrd 2833 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝑆) → 𝑋𝑆)
168, 15mtand 814 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑁𝑋) ∈ 𝑆)
177, 16eldifd 3954 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3940  cfv 6531  Basecbs 17125  Grpcgrp 18793  invgcminusg 18794  SubGrpcsubg 18971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707  ax-cnex 11147  ax-resscn 11148  ax-1cn 11149  ax-icn 11150  ax-addcl 11151  ax-addrcl 11152  ax-mulcl 11153  ax-mulrcl 11154  ax-mulcom 11155  ax-addass 11156  ax-mulass 11157  ax-distr 11158  ax-i2m1 11159  ax-1ne0 11160  ax-1rid 11161  ax-rnegex 11162  ax-rrecex 11163  ax-cnre 11164  ax-pre-lttri 11165  ax-pre-lttrn 11166  ax-pre-ltadd 11167  ax-pre-mulgt0 11168
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-eprel 5572  df-po 5580  df-so 5581  df-fr 5623  df-we 5625  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-pred 6288  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7348  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7838  df-2nd 7957  df-frecs 8247  df-wrecs 8278  df-recs 8352  df-rdg 8391  df-er 8685  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11231  df-mnf 11232  df-xr 11233  df-ltxr 11234  df-le 11235  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17078  df-slot 17096  df-ndx 17108  df-base 17126  df-ress 17155  df-plusg 17191  df-0g 17368  df-mgm 18542  df-sgrp 18591  df-mnd 18602  df-grp 18796  df-minusg 18797  df-subg 18974
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator