Theorem nelsubginvcld 43387

Description: The inverse of a non-subgroup-member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubginvcld.p	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubginvcld	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubginvcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
2		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
3	2	eldifad 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		nelsubginvcld.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		nelsubginvcld.p	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
6	4, 5	grpinvcl 19114	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
7	1, 3, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	2	eldifbd 3912	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑆)
9	4, 5	grpinvinv 19132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
10	1, 3, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
11	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
12		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	5	subginvcl 19261	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝑆)
14	12, 13	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) ∈ 𝑆)
15	11, 14	eqeltrrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
16	8, 15	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑆)
17	7, 16	eldifd 3910	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  Grpcgrp 19060  inv_gcminusg 19061  SubGrpcsubg 19246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-subg 19249

This theorem is used by: (None)