MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulginvinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulginvinv 18954
Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulginvcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t · = (.g𝐺)
mulginvcom.i 𝐼 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulginvinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulginvinv
StepHypRef Expression
1 mulginvcom.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulginvcom.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
31, 2grpinvcl 18849 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
433adant2 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
5 mulginvcom.t . . . 4 · = (.g𝐺)
61, 5, 2mulginvcom 18953 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))))
74, 6syld3an3 1409 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))))
81, 2grpinvinv 18866 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
983adant2 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
109oveq2d 7410 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))
117, 10eqtr3d 2774 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6533  (class class class)co 7394  cz 12542  Basecbs 17128  Grpcgrp 18796  invgcminusg 18797  .gcmg 18924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-seq 13951  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-mulg 18925
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator