Theorem mulginvinv 18954

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulginvcom.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulginvinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulginvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulginvcom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulginvcom.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 18849	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
5		mulginvcom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	1, 5, 2	mulginvcom 18953	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
7	4, 6	syld3an3 1409	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
8	1, 2	grpinvinv 18866	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
9	8	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	oveq2d 7410	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))
11	7, 10	eqtr3d 2774	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  ℤcz 12542  Basecbs 17128  Grpcgrp 18796  inv_gcminusg 18797  ._gcmg 18924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-fz 13469  df-seq 13951  df-0g 17371  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-mulg 18925

This theorem is referenced by: (None)