Theorem mulginvinv 19017

Description: The group multiple operator commutes with the group inverse function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 31-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulginvcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulginvcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulginvcom.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulginvinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulginvinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulginvcom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulginvcom.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
3	1, 2	grpinvcl 18907	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
4	3	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
5		mulginvcom.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	1, 5, 2	mulginvcom 19016	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
7	4, 6	syld3an3 1406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))))
8	1, 2	grpinvinv 18925	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
9	8	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	oveq2d 7417	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · (𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))
11	7, 10	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑁 · (𝐼‘𝑋))) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℤcz 12555  Basecbs 17143  Grpcgrp 18853  inv_gcminusg 18854  ._gcmg 18985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986

This theorem is referenced by: (None)