Theorem his35i 31016

Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. (Contributed by NM, 1-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
his35.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
his35.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
his35.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ
his35.4	⊢ 𝐷 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
his35i	⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷))

Proof of Theorem his35i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his35.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		his35.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		his35.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
4		his35.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℋ
5		his35 31015	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 691	1 ⊢ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11144   · cmul 11151  ∗ccj 15093   ℋchba 30846   ·_ℎ csm 30848   ·_ih csp 30849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-hfvmul 30932  ax-hfi 31006  ax-his1 31009  ax-his3 31011

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12318  df-cj 15096  df-re 15097  df-im 15098

This theorem is referenced by:  hisubcomi  31031  norm-iii-i  31066  lnophmlem2  31944