Theorem hvmulcan 31008

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2927	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		biorf 936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
3	1, 2	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
4	3	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
5	4	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
6		hvsubeq0 31004	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
8		hvsubdistr1 30985	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		hvsubcl 30953	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvmul0or 30961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
12	10, 11	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
13	12	3impb 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
14		hvmulcl 30949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 30949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubeq0 31004	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
19	15, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
20	9, 13, 19	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
21	20	3adant1r 1178	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
22	5, 7, 21	3bitr3rd 310	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   ℋchba 30855   ·_ℎ csm 30857  0_ℎc0v 30860   −_ℎ cmv 30861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-hfvadd 30936  ax-hvcom 30937  ax-hvass 30938  ax-hv0cl 30939  ax-hvaddid 30940  ax-hfvmul 30941  ax-hvmulid 30942  ax-hvmulass 30943  ax-hvdistr1 30944  ax-hvdistr2 30945  ax-hvmul0 30946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-hvsub 30907

This theorem is referenced by:  hvsubcan  31010  hvsubcan2  31011