HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcan 28446
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcan (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan
StepHypRef Expression
1 df-ne 2970 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 biorf 961 . . . . 5 𝐴 = 0 → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
31, 2sylbi 209 . . . 4 (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
43ad2antlr 719 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
543adant3 1163 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
6 hvsubeq0 28442 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0𝐵 = 𝐶))
763adant1 1161 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0𝐵 = 𝐶))
8 hvsubdistr1 28423 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
98eqeq1d 2799 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0))
10 hvsubcl 28391 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 hvmul0or 28399 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
1210, 11sylan2 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
13123impb 1144 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
14 hvmulcl 28387 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
15143adant3 1163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
16 hvmulcl 28387 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
17163adant2 1162 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
18 hvsubeq0 28442 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
1915, 17, 18syl2anc 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
209, 13, 193bitr3d 301 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
21203adant1r 1224 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
225, 7, 213bitr3rd 302 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  (class class class)co 6876  cc 10220  0cc0 10222  chba 28293   · csm 28295  0c0v 28298   cmv 28299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-hfvadd 28374  ax-hvcom 28375  ax-hvass 28376  ax-hv0cl 28377  ax-hvaddid 28378  ax-hfvmul 28379  ax-hvmulid 28380  ax-hvmulass 28381  ax-hvdistr1 28382  ax-hvdistr2 28383  ax-hvmul0 28384
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-hvsub 28345
This theorem is referenced by:  hvsubcan  28448  hvsubcan2  28449
  Copyright terms: Public domain W3C validator