HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcan 30910
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcan (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))

Proof of Theorem hvmulcan
StepHypRef Expression
1 df-ne 2938 . . . . 5 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 biorf 934 . . . . 5 (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
31, 2sylbi 216 . . . 4 (๐ด โ‰  0 โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
43ad2antlr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
543adant3 1129 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
6 hvsubeq0 30906 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” ๐ต = ๐ถ))
763adant1 1127 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” ๐ต = ๐ถ))
8 hvsubdistr1 30887 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
98eqeq1d 2730 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž))
10 hvsubcl 30855 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
11 hvmul0or 30863 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
1210, 11sylan2 591 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
13123impb 1112 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
14 hvmulcl 30851 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
15143adant3 1129 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
16 hvmulcl 30851 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
17163adant2 1128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
18 hvsubeq0 30906 . . . . 5 (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
1915, 17, 18syl2anc 582 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
209, 13, 193bitr3d 308 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž) โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
21203adant1r 1174 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž) โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
225, 7, 213bitr3rd 309 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11146  0cc0 11148   โ„‹chba 30757   ยทโ„Ž csm 30759  0โ„Žc0v 30762   โˆ’โ„Ž cmv 30763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-hfvadd 30838  ax-hvcom 30839  ax-hvass 30840  ax-hv0cl 30841  ax-hvaddid 30842  ax-hfvmul 30843  ax-hvmulid 30844  ax-hvmulass 30845  ax-hvdistr1 30846  ax-hvdistr2 30847  ax-hvmul0 30848
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-hvsub 30809
This theorem is referenced by:  hvsubcan  30912  hvsubcan2  30913
  Copyright terms: Public domain W3C validator