HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcan 30325
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcan (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))

Proof of Theorem hvmulcan
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . . . 5 (๐ด โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ด = 0)
2 biorf 936 . . . . 5 (ยฌ ๐ด = 0 โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
31, 2sylbi 216 . . . 4 (๐ด โ‰  0 โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
43ad2antlr 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
543adant3 1133 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
6 hvsubeq0 30321 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” ๐ต = ๐ถ))
763adant1 1131 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž โ†” ๐ต = ๐ถ))
8 hvsubdistr1 30302 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
98eqeq1d 2735 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž))
10 hvsubcl 30270 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
11 hvmul0or 30278 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
1210, 11sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹)) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
13123impb 1116 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž)))
14 hvmulcl 30266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
15143adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹)
16 hvmulcl 30266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
17163adant2 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹)
18 hvsubeq0 30321 . . . . 5 (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
1915, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)) = 0โ„Ž โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
209, 13, 193bitr3d 309 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž) โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
21203adant1r 1178 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด = 0 โˆจ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) = 0โ„Ž) โ†” (๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ)))
225, 7, 213bitr3rd 310 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทโ„Ž ๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ต = ๐ถ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  0cc0 11110   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174  0โ„Žc0v 30177   โˆ’โ„Ž cmv 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-hvsub 30224
This theorem is referenced by:  hvsubcan  30327  hvsubcan2  30328
  Copyright terms: Public domain W3C validator