Theorem hvmulcan 31680

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		biorf 950	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
3	1, 2	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
4	3	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
6		hvsubeq0 31676	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
7	6	3adant1 1148	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
8		hvsubdistr1 31657	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		hvsubcl 31625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvmul0or 31633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
12	10, 11	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
13	12	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
14		hvmulcl 31621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 31621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubeq0 31676	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
19	15, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
20	9, 13, 19	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
21	20	3adant1r 1196	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
22	5, 7, 21	3bitr3rd 313	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   ℋchba 31527   ·_ℎ csm 31529  0_ℎc0v 31532   −_ℎ cmv 31533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-hfvadd 31608  ax-hvcom 31609  ax-hvass 31610  ax-hv0cl 31611  ax-hvaddid 31612  ax-hfvmul 31613  ax-hvmulid 31614  ax-hvmulass 31615  ax-hvdistr1 31616  ax-hvdistr2 31617  ax-hvmul0 31618

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-hvsub 31579

This theorem is used by:  hvsubcan  31682  hvsubcan2  31683