Theorem hvmulcan 28446

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2970	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		biorf 961	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
3	1, 2	sylbi 209	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
4	3	ad2antlr 719	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
5	4	3adant3 1163	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
6		hvsubeq0 28442	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
7	6	3adant1 1161	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
8		hvsubdistr1 28423	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		hvsubcl 28391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvmul0or 28399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
12	10, 11	sylan2 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
13	12	3impb 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
14		hvmulcl 28387	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 28387	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubeq0 28442	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
19	15, 17, 18	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
20	9, 13, 19	3bitr3d 301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
21	20	3adant1r 1224	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
22	5, 7, 21	3bitr3rd 302	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∨ wo 874   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2969  (class class class)co 6876  ℂcc 10220  0cc0 10222   ℋchba 28293   ·_ℎ csm 28295  0_ℎc0v 28298   −_ℎ cmv 28299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-hfvadd 28374  ax-hvcom 28375  ax-hvass 28376  ax-hv0cl 28377  ax-hvaddid 28378  ax-hfvmul 28379  ax-hvmulid 28380  ax-hvmulass 28381  ax-hvdistr1 28382  ax-hvdistr2 28383  ax-hvmul0 28384

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-po 5231  df-so 5232  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-hvsub 28345

This theorem is referenced by:  hvsubcan  28448  hvsubcan2  28449