Theorem hvmulcan 31050

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		biorf 936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
3	1, 2	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
4	3	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
5	4	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
6		hvsubeq0 31046	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
7	6	3adant1 1130	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
8		hvsubdistr1 31027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		hvsubcl 30995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvmul0or 31003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
12	10, 11	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
13	12	3impb 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
14		hvmulcl 30991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 30991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubeq0 31046	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
19	15, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
20	9, 13, 19	3bitr3d 309	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
21	20	3adant1r 1178	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
22	5, 7, 21	3bitr3rd 310	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   ℋchba 30897   ·_ℎ csm 30899  0_ℎc0v 30902   −_ℎ cmv 30903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-hfvadd 30978  ax-hvcom 30979  ax-hvass 30980  ax-hv0cl 30981  ax-hvaddid 30982  ax-hfvmul 30983  ax-hvmulid 30984  ax-hvmulass 30985  ax-hvdistr1 30986  ax-hvdistr2 30987  ax-hvmul0 30988

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-hvsub 30949

This theorem is referenced by:  hvsubcan  31052  hvsubcan2  31053