Theorem hvmulcan 31707

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2960	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		biorf 950	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
3	1, 2	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
4	3	ad2antlr 740	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
5	4	3adant3 1150	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
6		hvsubeq0 31703	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
7	6	3adant1 1148	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ 𝐵 = 𝐶))
8		hvsubdistr1 31684	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		hvsubcl 31652	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
11		hvmul0or 31660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
12	10, 11	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
13	12	3impb 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ (𝐵 −ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)))
14		hvmulcl 31648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
15	14	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ)
16		hvmulcl 31648	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
17	16	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
18		hvsubeq0 31703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
19	15, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐵) −ℎ (𝐴 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
20	9, 13, 19	3bitr3d 312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
21	20	3adant1r 1196	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 −ℎ 𝐶) = 0ℎ) ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶)))
22	5, 7, 21	3bitr3rd 313	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐵) = (𝐴 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  0cc0 11230   ℋchba 31554   ·_ℎ csm 31556  0_ℎc0v 31559   −_ℎ cmv 31560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-hfvadd 31635  ax-hvcom 31636  ax-hvass 31637  ax-hv0cl 31638  ax-hvaddid 31639  ax-hfvmul 31640  ax-hvmulid 31641  ax-hvmulass 31642  ax-hvdistr1 31643  ax-hvdistr2 31644  ax-hvmul0 31645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-hvsub 31606

This theorem is used by:  hvsubcan  31709  hvsubcan2  31710