HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcan 30290
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcan (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem hvmulcan
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 biorf 936 . . . . 5 𝐴 = 0 → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
31, 2sylbi 216 . . . 4 (𝐴 ≠ 0 → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
43ad2antlr 726 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
543adant3 1133 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
6 hvsubeq0 30286 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0𝐵 = 𝐶))
763adant1 1131 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐵 𝐶) = 0𝐵 = 𝐶))
8 hvsubdistr1 30267 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝐵 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)))
98eqeq1d 2735 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0))
10 hvsubcl 30235 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 𝐶) ∈ ℋ)
11 hvmul0or 30243 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
1210, 11sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
13123impb 1116 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝐵 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0)))
14 hvmulcl 30231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
15143adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
16 hvmulcl 30231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
17163adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
18 hvsubeq0 30286 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
1915, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
209, 13, 193bitr3d 309 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
21203adant1r 1178 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝐵 𝐶) = 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶)))
225, 7, 213bitr3rd 310 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  (class class class)co 7396  cc 11095  0cc0 11097  chba 30137   · csm 30139  0c0v 30142   cmv 30143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-hfvadd 30218  ax-hvcom 30219  ax-hvass 30220  ax-hv0cl 30221  ax-hvaddid 30222  ax-hfvmul 30223  ax-hvmulid 30224  ax-hvmulass 30225  ax-hvdistr1 30226  ax-hvdistr2 30227  ax-hvmul0 30228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-hvsub 30189
This theorem is referenced by:  hvsubcan  30292  hvsubcan2  30293
  Copyright terms: Public domain W3C validator