Theorem hvmulcan2 31159

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvmulcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 31099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 31099	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubeq0 31154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
6	2, 4, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
7	6	3adant3r 1183	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
8		hvsubdistr2 31136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		subcl 11383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
11		hvmul0or 31111	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
12	10, 11	stoic3 1778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
13	9, 12	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
14	13	3adant3r 1183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
15		df-ne 2934	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐶 = 0ℎ)
16		biorf 937	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ (𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0)))
17		orcom 871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
19	15, 18	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
20	19	ad2antll 730	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
21	20	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
22		subeq0 11411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	22	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	14, 21, 23	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
25	7, 24	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   − cmin 11368   ℋchba 31005   ·_ℎ csm 31007  0_ℎc0v 31010   −_ℎ cmv 31011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-hvcom 31087  ax-hvass 31088  ax-hv0cl 31089  ax-hvaddid 31090  ax-hfvmul 31091  ax-hvmulid 31092  ax-hvmulass 31093  ax-hvdistr2 31095  ax-hvmul0 31096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-hvsub 31057

This theorem is referenced by: (None)