Theorem hvmulcan2 29000

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvmulcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 28940	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 28940	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubeq0 28995	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
6	2, 4, 5	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
7	6	3adant3r 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
8		hvsubdistr2 28977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		subcl 10956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
11		hvmul0or 28952	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
12	10, 11	stoic3 1783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
13	9, 12	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
14	13	3adant3r 1182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
15		df-ne 2935	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐶 = 0ℎ)
16		biorf 936	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ (𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0)))
17		orcom 869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ))
18	16, 17	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
19	15, 18	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
20	19	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
21	20	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
22		subeq0 10983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	22	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	14, 21, 23	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
25	7, 24	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  0cc0 10608   − cmin 10941   ℋchba 28846   ·_ℎ csm 28848  0_ℎc0v 28851   −_ℎ cmv 28852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-hvcom 28928  ax-hvass 28929  ax-hv0cl 28930  ax-hvaddid 28931  ax-hfvmul 28932  ax-hvmulid 28933  ax-hvmulass 28934  ax-hvdistr2 28936  ax-hvmul0 28937

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-hvsub 28898

This theorem is referenced by: (None)