Theorem hvmulcan2 31668

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvmulcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 31608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 31608	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubeq0 31663	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
7	6	3adant3r 1200	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
8		hvsubdistr2 31645	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		subcl 11549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
11		hvmul0or 31620	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
12	10, 11	stoic3 1809	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
13	9, 12	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
14	13	3adant3r 1200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
15		df-ne 2957	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐶 = 0ℎ)
16		biorf 950	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ (𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0)))
17		orcom 884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ))
18	16, 17	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
19	15, 18	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
20	19	ad2antll 742	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
21	20	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
22		subeq0 11577	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	22	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	14, 21, 23	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
25	7, 24	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   − cmin 11534   ℋchba 31514   ·_ℎ csm 31516  0_ℎc0v 31519   −_ℎ cmv 31520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-hvcom 31596  ax-hvass 31597  ax-hv0cl 31598  ax-hvaddid 31599  ax-hfvmul 31600  ax-hvmulid 31601  ax-hvmulass 31602  ax-hvdistr2 31604  ax-hvmul0 31605

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-hvsub 31566

This theorem is used by: (None)