Theorem hvmulcan2 31105

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvmulcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 31045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 31045	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubeq0 31100	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
6	2, 4, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
7	6	3adant3r 1181	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
8		hvsubdistr2 31082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		subcl 11535	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
11		hvmul0or 31057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
12	10, 11	stoic3 1774	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
13	9, 12	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
14	13	3adant3r 1181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
15		df-ne 2947	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐶 = 0ℎ)
16		biorf 935	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ (𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0)))
17		orcom 869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ))
18	16, 17	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
19	15, 18	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
20	19	ad2antll 728	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
21	20	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
22		subeq0 11562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	22	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	14, 21, 23	3bitr2d 307	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
25	7, 24	bitr3d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   − cmin 11520   ℋchba 30951   ·_ℎ csm 30953  0_ℎc0v 30956   −_ℎ cmv 30957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-hvsub 31003

This theorem is referenced by: (None)