Theorem hvmulcan2 28856

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvmulcan2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvmulcan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulcl 28796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
2	1	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
3		hvmulcl 28796	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
4	3	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ)
5		hvsubeq0 28851	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
6	2, 4, 5	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
7	6	3adant3r 1178	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ (𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
8		hvsubdistr2 28833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)))
9	8	eqeq1d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ))
10		subcl 10874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
11		hvmul0or 28808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
12	10, 11	stoic3 1778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 − 𝐵) ·ℎ 𝐶) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
13	9, 12	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
14	13	3adant3r 1178	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
15		df-ne 2988	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ ↔ ¬ 𝐶 = 0ℎ)
16		biorf 934	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ (𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0)))
17		orcom 867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0ℎ ∨ (𝐴 − 𝐵) = 0) ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ))
18	16, 17	syl6bb 290	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 = 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
19	15, 18	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≠ 0ℎ → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
20	19	ad2antll 728	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
21	20	3adant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ ((𝐴 − 𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0ℎ)))
22		subeq0 10901	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23	22	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	14, 21, 23	3bitr2d 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → (((𝐴 ·ℎ 𝐶) −ℎ (𝐵 ·ℎ 𝐶)) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵))
25	7, 24	bitr3d 284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0ℎ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) = (𝐵 ·ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   − cmin 10859   ℋchba 28702   ·_ℎ csm 28704  0_ℎc0v 28707   −_ℎ cmv 28708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-hvcom 28784  ax-hvass 28785  ax-hv0cl 28786  ax-hvaddid 28787  ax-hfvmul 28788  ax-hvmulid 28789  ax-hvmulass 28790  ax-hvdistr2 28792  ax-hvmul0 28793

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-hvsub 28754

This theorem is referenced by: (None)