HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvmulcan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvmulcan2 28842
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (Contributed by NM, 19-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvmulcan2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem hvmulcan2
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 28782 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
213adant2 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
3 hvmulcl 28782 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
433adant1 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ)
5 hvsubeq0 28837 . . . 4 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶)))
62, 4, 5syl2anc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶)))
763adant3r 1175 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶)))
8 hvsubdistr2 28819 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)))
98eqeq1d 2821 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴𝐵) · 𝐶) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0))
10 subcl 10877 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
11 hvmul0or 28794 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴𝐵) · 𝐶) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
1210, 11stoic3 1770 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴𝐵) · 𝐶) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
139, 12bitr3d 283 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
14133adant3r 1175 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
15 df-ne 3015 . . . . . 6 (𝐶 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 = 0)
16 biorf 932 . . . . . . 7 𝐶 = 0 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ (𝐶 = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0)))
17 orcom 866 . . . . . . 7 ((𝐶 = 0 ∨ (𝐴𝐵) = 0) ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0))
1816, 17syl6bb 289 . . . . . 6 𝐶 = 0 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
1915, 18sylbi 219 . . . . 5 (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
2019ad2antll 727 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
21203adant1 1124 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ ((𝐴𝐵) = 0 ∨ 𝐶 = 0)))
22 subeq0 10904 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
23223adant3 1126 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
2414, 21, 233bitr2d 309 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐶)) = 0𝐴 = 𝐵))
257, 24bitr3d 283 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  (class class class)co 7148  cc 10527  0cc0 10529  cmin 10862  chba 28688   · csm 28690  0c0v 28693   cmv 28694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-hvcom 28770  ax-hvass 28771  ax-hv0cl 28772  ax-hvaddid 28773  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvmulass 28776  ax-hvdistr2 28778  ax-hvmul0 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-hvsub 28740
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator