Theorem imi 14510

Description: The imaginary part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imi	⊢ (ℑ‘i) = 1

Proof of Theorem imi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10590	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 10589	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 10642	. . . . 5 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addid2i 10822	. . . 4 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	eqcomi 2830	. . 3 ⊢ (i · 1) = (0 + (i · 1))
6	5	fveq2i 6667	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘(0 + (i · 1)))
7	1	mulid1i 10639	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
8	7	fveq2i 6667	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘i)
9		0re 10637	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 10635	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		crim 14468	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1)
12	9, 10, 11	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1
13	6, 8, 12	3eqtr3i 2852	1 ⊢ (ℑ‘i) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  ℑcim 14451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-2 11694  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454

This theorem is referenced by:  cji  14512  igz  16264  atanlogsublem  25487