Theorem imi 15110

Description: The imaginary part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imi	⊢ (ℑ‘i) = 1

Proof of Theorem imi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11173	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 11172	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11227	. . . . 5 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addlidi 11408	. . . 4 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	eqcomi 2739	. . 3 ⊢ (i · 1) = (0 + (i · 1))
6	5	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘(0 + (i · 1)))
7	1	mulridi 11224	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
8	7	fveq2i 6895	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘i)
9		0re 11222	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 11220	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		crim 15068	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1)
12	9, 10, 11	mp2an 688	. 2 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1
13	6, 8, 12	3eqtr3i 2766	1 ⊢ (ℑ‘i) = 1

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  ℝcr 11113  0cc0 11114  1c1 11115  ici 11116   + caddc 11117   · cmul 11119  ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-2 12281  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054

This theorem is referenced by:  cji  15112  igz  16873  atanlogsublem  26654