Theorem imi 14937

Description: The imaginary part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
imi	⊢ (ℑ‘i) = 1

Proof of Theorem imi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11000	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 10999	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11052	. . . . 5 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addid2i 11233	. . . 4 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ (i · 1) = (0 + (i · 1))
6	5	fveq2i 6812	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘(0 + (i · 1)))
7	1	mulid1i 11049	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
8	7	fveq2i 6812	. 2 ⊢ (ℑ‘(i · 1)) = (ℑ‘i)
9		0re 11047	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		1re 11045	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
11		crim 14895	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1)
12	9, 10, 11	mp2an 689	. 2 ⊢ (ℑ‘(0 + (i · 1))) = 1
13	6, 8, 12	3eqtr3i 2773	1 ⊢ (ℑ‘i) = 1

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  ℝcr 10940  0cc0 10941  1c1 10942  ici 10943   + caddc 10944   · cmul 10946  ℑcim 14878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-2 12106  df-cj 14879  df-re 14880  df-im 14881

This theorem is referenced by:  cji  14939  igz  16702  atanlogsublem  26136