MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crim 14142
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crim ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)

Proof of Theorem crim
StepHypRef Expression
1 recn 10279 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 ax-icn 10248 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 recn 10279 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4 mulcl 10273 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 581 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
6 addcl 10271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
71, 5, 6syl2an 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ)
8 imval 14134 . . 3 ((𝐴 + (i · 𝐵)) ∈ ℂ → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
102, 4mpan 681 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (i · 𝐵) ∈ ℂ)
11 ine0 10719 . . . . . . 7 i ≠ 0
12 divdir 10964 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
13123expa 1147 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
142, 11, 13mpanr12 696 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐵) ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
1510, 14sylan2 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i) = ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)))
16 divrec2 10956 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
172, 11, 16mp3an23 1577 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = ((1 / i) · 𝐴))
18 irec 13171 . . . . . . . . 9 (1 / i) = -i
1918oveq1i 6852 . . . . . . . 8 ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · 𝐴) = (-i · 𝐴))
21 mulneg12 10722 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
222, 21mpan 681 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
2317, 20, 223eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) = (i · -𝐴))
24 divcan3 10965 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
252, 11, 24mp3an23 1577 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((i · 𝐵) / i) = 𝐵)
2623, 25oveqan12d 6861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / i) + ((i · 𝐵) / i)) = ((i · -𝐴) + 𝐵))
27 negcl 10535 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
28 mulcl 10273 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
292, 27, 28sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) ∈ ℂ)
30 addcom 10476 . . . . . 6 (((i · -𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
3129, 30sylan 575 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((i · -𝐴) + 𝐵) = (𝐵 + (i · -𝐴)))
3215, 26, 313eqtrrd 2804 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
331, 3, 32syl2an 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + (i · -𝐴)) = ((𝐴 + (i · 𝐵)) / i))
3433fveq2d 6379 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = (ℜ‘((𝐴 + (i · 𝐵)) / i)))
35 id 22 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ)
36 renegcl 10598 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
37 crre 14141 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
3835, 36, 37syl2anr 590 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝐵 + (i · -𝐴))) = 𝐵)
399, 34, 383eqtr2d 2805 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  -cneg 10521   / cdiv 10938  cre 14124  cim 14125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128
This theorem is referenced by:  replim  14143  reim0  14145  remullem  14155  imcj  14159  imneg  14160  imadd  14161  imi  14184  crimi  14220  crimd  14259  absreimsq  14319  4sqlem4  15937  logneg  24625  lognegb  24627  basellem3  25100  2sqlem2  25434  cnre2csqima  30339
  Copyright terms: Public domain W3C validator