MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  crim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crim 15062
Description: The real part of a complex number representation. Definition 10-3.1 of [Gleason] p. 132. (Contributed by NM, 12-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
crim ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)

Proof of Theorem crim
StepHypRef Expression
1 recn 11200 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 ax-icn 11169 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
3 recn 11200 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 mulcl 11194 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
52, 3, 4sylancr 588 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addcl 11192 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
71, 5, 6syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
8 imval 15054 . . 3 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i)))
97, 8syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i)))
102, 4mpan 689 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11 ine0 11649 . . . . . . 7 i โ‰  0
12 divdir 11897 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
13123expa 1119 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โˆง (i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
142, 11, 13mpanr12 704 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
1510, 14sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i) = ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)))
16 divrec2 11889 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โ†’ (๐ด / i) = ((1 / i) ยท ๐ด))
172, 11, 16mp3an23 1454 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / i) = ((1 / i) ยท ๐ด))
18 irec 14165 . . . . . . . . 9 (1 / i) = -i
1918oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((1 / i) ยท ๐ด) = (-i ยท ๐ด)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / i) ยท ๐ด) = (-i ยท ๐ด))
21 mulneg12 11652 . . . . . . . 8 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (-i ยท ๐ด) = (i ยท -๐ด))
222, 21mpan 689 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-i ยท ๐ด) = (i ยท -๐ด))
2317, 20, 223eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / i) = (i ยท -๐ด))
24 divcan3 11898 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง i โ‰  0) โ†’ ((i ยท ๐ต) / i) = ๐ต)
252, 11, 24mp3an23 1454 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท ๐ต) / i) = ๐ต)
2623, 25oveqan12d 7428 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด / i) + ((i ยท ๐ต) / i)) = ((i ยท -๐ด) + ๐ต))
27 negcl 11460 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
28 mulcl 11194 . . . . . . 7 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
292, 27, 28sylancr 588 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚)
30 addcom 11400 . . . . . 6 (((i ยท -๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท -๐ด) + ๐ต) = (๐ต + (i ยท -๐ด)))
3129, 30sylan 581 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท -๐ด) + ๐ต) = (๐ต + (i ยท -๐ด)))
3215, 26, 313eqtrrd 2778 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต + (i ยท -๐ด)) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i))
331, 3, 32syl2an 597 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต + (i ยท -๐ด)) = ((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i))
3433fveq2d 6896 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + (i ยท -๐ด))) = (โ„œโ€˜((๐ด + (i ยท ๐ต)) / i)))
35 id 22 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
36 renegcl 11523 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
37 crre 15061 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง -๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + (i ยท -๐ด))) = ๐ต)
3835, 36, 37syl2anr 598 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต + (i ยท -๐ด))) = ๐ต)
399, 34, 383eqtr2d 2779 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (โ„‘โ€˜(๐ด + (i ยท ๐ต))) = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   + caddc 11113   ยท cmul 11115  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„œcre 15044  โ„‘cim 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048
This theorem is referenced by:  replim  15063  reim0  15065  remullem  15075  imcj  15079  imneg  15080  imadd  15081  imi  15104  crimi  15140  crimd  15179  absreimsq  15239  4sqlem4  16885  logneg  26096  lognegb  26098  basellem3  26587  2sqlem2  26921  cnre2csqima  32891
  Copyright terms: Public domain W3C validator