Theorem rei 14514

Description: The real part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rei	⊢ (ℜ‘i) = 0

Proof of Theorem rei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10595	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 10594	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 10647	. . . 4 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addid2i 10827	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	fveq2i 6672	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = (ℜ‘(i · 1))
6		0re 10642	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 10640	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		crre 14472	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0)
9	6, 7, 8	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0
10	1	mulid1i 10644	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
11	10	fveq2i 6672	. 2 ⊢ (ℜ‘(i · 1)) = (ℜ‘i)
12	5, 9, 11	3eqtr3ri 2853	1 ⊢ (ℜ‘i) = 0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541  ℜcre 14455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-cj 14457  df-re 14458

This theorem is referenced by:  cji  14517  igz  16269  atancj  25487  atanlogsublem  25492