Theorem rei 15100

Description: The real part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rei	⊢ (ℜ‘i) = 0

Proof of Theorem rei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11165	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11218	. . . 4 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addlidi 11399	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = (ℜ‘(i · 1))
6		0re 11213	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 11211	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		crre 15058	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0)
9	6, 7, 8	mp2an 689	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0
10	1	mulridi 11215	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
11	10	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (ℜ‘(i · 1)) = (ℜ‘i)
12	5, 9, 11	3eqtr3ri 2761	1 ⊢ (ℜ‘i) = 0

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111  ℜcre 15041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-2 12272  df-cj 15043  df-re 15044

This theorem is referenced by:  cji  15103  igz  16866  atancj  26758  atanlogsublem  26763