Theorem rei 14507

Description: The real part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rei	⊢ (ℜ‘i) = 0

Proof of Theorem rei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 10585	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 10584	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 10637	. . . 4 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addid2i 10817	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	fveq2i 6648	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = (ℜ‘(i · 1))
6		0re 10632	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 10630	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		crre 14465	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0)
9	6, 7, 8	mp2an 691	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0
10	1	mulid1i 10634	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
11	10	fveq2i 6648	. 2 ⊢ (ℜ‘(i · 1)) = (ℜ‘i)
12	5, 9, 11	3eqtr3ri 2830	1 ⊢ (ℜ‘i) = 0

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  ℜcre 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451

This theorem is referenced by:  cji  14510  igz  16260  atancj  25496  atanlogsublem  25501