Theorem rei 15001

Description: The real part of i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
rei	⊢ (ℜ‘i) = 0

Proof of Theorem rei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 11069	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
2		ax-1cn 11068	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 11121	. . . 4 ⊢ (i · 1) ∈ ℂ
4	3	addid2i 11302	. . 3 ⊢ (0 + (i · 1)) = (i · 1)
5	4	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = (ℜ‘(i · 1))
6		0re 11116	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7		1re 11114	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		crre 14959	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0)
9	6, 7, 8	mp2an 691	. 2 ⊢ (ℜ‘(0 + (i · 1))) = 0
10	1	mulid1i 11118	. . 3 ⊢ (i · 1) = i
11	10	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (ℜ‘(i · 1)) = (ℜ‘i)
12	5, 9, 11	3eqtr3ri 2775	1 ⊢ (ℜ‘i) = 0

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6494  (class class class)co 7352  ℝcr 11009  0cc0 11010  1c1 11011  ici 11012   + caddc 11013   · cmul 11015  ℜcre 14942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-2 12175  df-cj 14944  df-re 14945

This theorem is referenced by:  cji  15004  igz  16766  atancj  26212  atanlogsublem  26217