Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infmrgelbi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infmrgelbi 38287
Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum, one-direction version. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 17-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
infmrgelbi (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → 𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infmrgelbi
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥)
2 simpl1 1248 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 simpl2 1250 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → 𝐴 ≠ ∅)
4 breq1 4877 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧𝑥𝐵𝑥))
54ralbidv 3196 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑥𝐴 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
65rspcev 3527 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝑥)
763ad2antl3 1244 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝑥)
8 simpl3 1252 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 infregelb 11338 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑧𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
102, 3, 7, 8, 9syl31anc 1498 . 2 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥))
111, 10mpbird 249 1 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑥) → 𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  wss 3799  c0 4145   class class class wbr 4874  infcinf 8617  cr 10252   < clt 10392  cle 10393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589
This theorem is referenced by:  pellfundge  38291  pellfundglb  38294
  Copyright terms: Public domain W3C validator