Theorem infmrgelbi 43456

Description: Any lower bound of a nonempty set of real numbers is less than or equal to its infimum, one-direction version. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Sep-2013.) (Revised by AV, 17-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infmrgelbi	⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infmrgelbi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥)
2		simpl1 1206	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simpl2 1207	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → 𝐴 ≠ ∅)
4		breq1 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 ≤ 𝑥 ↔ 𝐵 ≤ 𝑥))
5	4	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
6	5	rspcev 3582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑥)
7	6	3ad2antl3 1202	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑥)
8		simpl3 1208	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		infregelb 12177	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ≤ 𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
10	2, 3, 7, 8, 9	syl31anc 1393	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → (𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥))
11	1, 10	mpbird 259	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ 𝑥) → 𝐵 ≤ inf(𝐴, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5101  infcinf 9388  ℝcr 11073   < clt 11217   ≤ cle 11218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418

This theorem is referenced by:  pellfundge  43460  pellfundglb  43463