Theorem pellfundge 42855

Description: Lower bound on the fundamental solution of a Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundge	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundge

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4031	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ (Pell14QR‘𝐷)
2		pell14qrre 42830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
3	2	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ ℝ))
4	3	ssrdv 3941	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ ℝ)
5	1, 4	sstrid 3947	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ)
6		pell1qrss14 42841	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
7		pellqrex 42852	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎)
8		ssrexv 4005	. . . . 5 ⊢ ((Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎 → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
10		rabn0 4340	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅)
12		eldifi 4082	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
13	12	peano2nnd 12145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 12935	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
15	14	rpsqrtcld 15319	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 12937	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
17	12	nnrpd 12935	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
18	17	rpsqrtcld 15319	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12937	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
20	16, 19	readdcld 11144	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
21		breq2 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (1 < 𝑎 ↔ 1 < 𝑏))
22	21	elrab 3648	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ↔ (𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏))
23		pell14qrgap 42848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
24	23	3expib 1122	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
25	22, 24	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
26	25	ralrimiv 3120	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
27		infmrgelbi 42851	. . 3 ⊢ ((({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ ∧ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ∧ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
28	5, 11, 20, 26, 27	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
29		pellfundval 42853	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) = inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
30	28, 29	breqtrrd 5120	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3394   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  infcinf 9331  ℝcr 11008  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  √csqrt 15140  ◻_NNcsquarenn 42809  Pell1QRcpell1qr 42810  Pell14QRcpell14qr 42812  PellFundcpellfund 42813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-numer 16646  df-denom 16647  df-squarenn 42814  df-pell1qr 42815  df-pell14qr 42816  df-pell1234qr 42817  df-pellfund 42818

This theorem is referenced by:  pellfundgt1  42856  rmspecfund  42882