Theorem pellfundge 43456

Description: Lower bound on the fundamental solution of a Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellfundge	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))

Proof of Theorem pellfundge

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ (Pell14QR‘𝐷)
2		pell14qrre 43431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)) → 𝑎 ∈ ℝ)
3	2	ex 416	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) → 𝑎 ∈ ℝ))
4	3	ssrdv 3942	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell14QR‘𝐷) ⊆ ℝ)
5	1, 4	sstrid 3947	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ)
6		pell1qrss14 43442	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷))
7		pellqrex 43453	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎)
8		ssrexv 4006	. . . . 5 ⊢ ((Pell1QR‘𝐷) ⊆ (Pell14QR‘𝐷) → (∃𝑎 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑎 → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎))
9	6, 7, 8	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
10		rabn0 4343	. . . 4 ⊢ ({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷)1 < 𝑎)
11	9, 10	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅)
12		eldifi 4084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
13	12	peano2nnd 12227	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℕ)
14	13	nnrpd 13035	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐷 + 1) ∈ ℝ+)
15	14	rpsqrtcld 15439	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 13037	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘(𝐷 + 1)) ∈ ℝ)
17	12	nnrpd 13035	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℝ+)
18	17	rpsqrtcld 15439	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13037	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
20	16, 19	readdcld 11211	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
21		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (1 < 𝑎 ↔ 1 < 𝑏))
22	21	elrab 3650	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ↔ (𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏))
23		pell14qrgap 43449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
24	23	3expib 1135	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝑏 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∧ 1 < 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
25	22, 24	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏))
26	25	ralrimiv 3153	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏)
27		infmrgelbi 43452	. . 3 ⊢ ((({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ⊆ ℝ ∧ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ≠ ∅ ∧ ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎} ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ 𝑏) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
28	5, 11, 20, 26, 27	syl31anc 1392	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
29		pellfundval 43454	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘𝐷) = inf({𝑎 ∈ (Pell14QR‘𝐷) ∣ 1 < 𝑎}, ℝ, < ))
30	28, 29	breqtrrd 5128	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(𝐷 + 1)) + (√‘𝐷)) ≤ (PellFund‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3414   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  infcinf 9387  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  √csqrt 15260  ◻_NNcsquarenn 43410  Pell1QRcpell1qr 43411  Pell14QRcpell14qr 43413  PellFundcpellfund 43414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-ico 13355  df-fz 13513  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-numer 16770  df-denom 16771  df-squarenn 43415  df-pell1qr 43416  df-pell14qr 43417  df-pell1234qr 43418  df-pellfund 43419

This theorem is referenced by:  pellfundgt1  43457  rmspecfund  43483