Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrexplicit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrexplicit 41247
Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrexplicit (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))

Proof of Theorem pellqrexplicit
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12430 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
213ad2ant2 1135 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 eldifi 4090 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
433ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
54nnrpd 12963 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
65rpsqrtcld 15305 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
76rpred 12965 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
8 nn0re 12430 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
983ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
107, 9remulcld 11193 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
112, 10readdcld 11192 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
1211adantr 482 . 2 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
13 simpl2 1193 . . 3 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
14 simpl3 1194 . . 3 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
15 eqidd 2734 . . 3 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
16 simpr 486 . . 3 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)
17 oveq1 7368 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)))
1817eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ†” (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘))))
19 oveq1 7368 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (๐‘Žโ†‘2) = (๐ดโ†‘2))
2019oveq1d 7376 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))))
2120eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
2218, 21anbi12d 632 . . . 4 (๐‘Ž = ๐ด โ†’ (((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†” ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1)))
23 oveq2 7369 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘) = ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))
2423oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)))
2524eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โ†” (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต))))
26 oveq1 7368 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐ตโ†‘2))
2726oveq2d 7377 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2)) = (๐ท ยท (๐ตโ†‘2)))
2827oveq2d 7377 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))))
2928eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1 โ†” ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1))
3025, 29anbi12d 632 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ (((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1) โ†” ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)))
3122, 30rspc2ev 3594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0 โˆง ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
3213, 14, 15, 16, 31syl112anc 1375 . 2 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))
33 elpell1qr 41217 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
34333ad2ant1 1134 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
3534adantr 482 . 2 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โ†” ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 ((๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) = (๐‘Ž + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘)) โˆง ((๐‘Žโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘โ†‘2))) = 1))))
3612, 32, 35mpbir2and 712 1 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐ดโ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐ตโ†‘2))) = 1) โ†’ (๐ด + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐ต)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3070   โˆ– cdif 3911  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  โ„•cn 12161  2c2 12216  โ„•0cn0 12421  โ†‘cexp 13976  โˆšcsqrt 15127  โ—ปNNcsquarenn 41206  Pell1QRcpell1qr 41207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-seq 13916  df-exp 13977  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-pell1qr 41212
This theorem is referenced by:  pellqrex  41249  rmspecfund  41279
  Copyright terms: Public domain W3C validator