Theorem pellqrexplicit 43293

Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellqrexplicit	⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellqrexplicit

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		eldifi 4063	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 12973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℝ+)
6	5	rpsqrtcld 15363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12975	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8		nn0re 12435	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 10	readdcld 11163	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13		simpl2 1194	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1195	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
15		eqidd 2736	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
16		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
17		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
18	17	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
19		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
21	20	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
22	18, 21	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
23		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 𝐵))
24	23	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
25	24	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵))))
26		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
27	26	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
28	27	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
29	28	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1))
30	25, 29	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)))
31	22, 30	rspc2ev 3575	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
32	13, 14, 15, 16, 31	syl112anc 1377	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
33		elpell1qr 43263	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
34	33	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
35	34	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
36	12, 32, 35	mpbir2and 714	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3882  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032   − cmin 11366  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ↑cexp 14012  √csqrt 15184  ◻_NNcsquarenn 43252  Pell1QRcpell1qr 43253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-pell1qr 43258

This theorem is referenced by:  pellqrex  43295  rmspecfund  43325