Theorem pellqrexplicit 42888

Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellqrexplicit	⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellqrexplicit

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12535	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		eldifi 4131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 13075	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℝ+)
6	5	rpsqrtcld 15450	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8		nn0re 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11291	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 10	readdcld 11290	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1194	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
15		eqidd 2738	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
16		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
17		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
18	17	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
19		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
21	20	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
22	18, 21	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
23		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 𝐵))
24	23	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
25	24	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵))))
26		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
27	26	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
28	27	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
29	28	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1))
30	25, 29	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)))
31	22, 30	rspc2ev 3635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
32	13, 14, 15, 16, 31	syl112anc 1376	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
33		elpell1qr 42858	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
34	33	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
35	34	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
36	12, 32, 35	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3948  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102  √csqrt 15272  ◻_NNcsquarenn 42847  Pell1QRcpell1qr 42848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-pell1qr 42853

This theorem is referenced by:  pellqrex  42890  rmspecfund  42920