Theorem pellqrexplicit 43705

Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellqrexplicit	⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellqrexplicit

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12540	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		eldifi 4081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 13086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℝ+)
6	5	rpsqrtcld 15501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 13088	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8		nn0re 12540	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11266	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 10	readdcld 11265	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
15		eqidd 2763	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
16		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
17		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
18	17	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
19		oveq1 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
21	20	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
22	18, 21	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
23		oveq2 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 𝐵))
24	23	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
25	24	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵))))
26		oveq1 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
27	26	oveq2d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
28	27	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
29	28	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1))
30	25, 29	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)))
31	22, 30	rspc2ev 3592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
32	13, 14, 15, 16, 31	syl112anc 1401	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
33		elpell1qr 43675	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
34	33	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
35	34	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
36	12, 32, 35	mpbir2and 726	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ↑cexp 14127  √csqrt 15322  ◻_NNcsquarenn 43664  Pell1QRcpell1qr 43665

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-pell1qr 43670

This theorem is used by:  pellqrex  43707  rmspecfund  43737