Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrexplicit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrexplicit 42864
Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrexplicit (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellqrexplicit
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12532 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
213ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 eldifi 4140 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
433ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ)
54nnrpd 13072 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℝ+)
65rpsqrtcld 15446 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
76rpred 13074 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8 nn0re 12532 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
983ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
107, 9remulcld 11288 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
112, 10readdcld 11287 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
1211adantr 480 . 2 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13 simpl2 1191 . . 3 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14 simpl3 1192 . . 3 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
15 eqidd 2735 . . 3 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
16 simpr 484 . . 3 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
17 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
1817eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
19 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
2019oveq1d 7445 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
2120eqeq1d 2736 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
2218, 21anbi12d 632 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
23 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 𝐵))
2423oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
2524eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵))))
26 oveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
2726oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
2827oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
2928eqeq1d 2736 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1))
3025, 29anbi12d 632 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)))
3122, 30rspc2ev 3634 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
3213, 14, 15, 16, 31syl112anc 1373 . 2 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
33 elpell1qr 42834 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
34333ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
3534adantr 480 . 2 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
3612, 32, 35mpbir2and 713 1 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wrex 3067  cdif 3959  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cexp 14098  csqrt 15268  NNcsquarenn 42823  Pell1QRcpell1qr 42824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-pell1qr 42829
This theorem is referenced by:  pellqrex  42866  rmspecfund  42896
  Copyright terms: Public domain W3C validator