Theorem pellqrexplicit 41258

Description: Condition for a calculated real to be a Pell solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellqrexplicit	⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Proof of Theorem pellqrexplicit

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12431	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		eldifi 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 12964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐷 ∈ ℝ+)
6	5	rpsqrtcld 15308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
7	6	rpred 12966	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
8		nn0re 12431	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	7, 9	remulcld 11194	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((√‘𝐷) · 𝐵) ∈ ℝ)
11	2, 10	readdcld 11193	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ)
13		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐴 ∈ ℕ0)
14		simpl3 1193	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → 𝐵 ∈ ℕ0)
15		eqidd 2732	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
16		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)
17		oveq1 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
18	17	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏))))
19		oveq1 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎↑2) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
21	20	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
22	18, 21	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)))
23		oveq2 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((√‘𝐷) · 𝑏) = ((√‘𝐷) · 𝐵))
24	23	oveq2d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)))
25	24	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ↔ (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵))))
26		oveq1 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏↑2) = (𝐵↑2))
27	26	oveq2d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐷 · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝐵↑2)))
28	27	oveq2d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))))
29	28	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1 ↔ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1))
30	25, 29	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)))
31	22, 30	rspc2ev 3593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1)) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
32	13, 14, 15, 16, 31	syl112anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))
33		elpell1qr 41228	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
34	33	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
35	34	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 ((𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
36	12, 32, 35	mpbir2and 711	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (𝐷 · (𝐵↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘𝐷) · 𝐵)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3910  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℝcr 11059  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065   − cmin 11394  ℕcn 12162  2c2 12217  ℕ₀cn0 12422  ↑cexp 13977  √csqrt 15130  ◻_NNcsquarenn 41217  Pell1QRcpell1qr 41218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9387  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-seq 13917  df-exp 13978  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-pell1qr 41223

This theorem is referenced by:  pellqrex  41260  rmspecfund  41290