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Theorem pellfundglb 41925
Description: If a real is larger than the fundamental solution, there is a nontrivial solution less than it. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundglb ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·)((PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem pellfundglb
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 41920 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
213ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
3 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴)
42, 3eqbrtrrd 5171 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) < 𝐴)
5 pellfundre 41921 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
72, 6eqeltrrd 2832 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8ltnled 11365 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < )))
104, 9mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
11 ssrab2 4076 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† (Pell14QRβ€˜π·)
12 pell14qrre 41897 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
1312ex 411 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) β†’ π‘Ž ∈ ℝ))
1413ssrdv 3987 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
15143ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
1611, 15sstrid 3992 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ)
17 pell1qrss14 41908 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
18173ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
19 pellqrex 41919 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
20193ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
21 ssrexv 4050 . . . . . . 7 ((Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž))
2218, 20, 21sylc 65 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
23 rabn0 4384 . . . . . 6 ({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
2422, 23sylibr 233 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ…)
25 infmrgelbi 41918 . . . . . 6 ((({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
2625ex 411 . . . . 5 (({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯ β†’ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < )))
2716, 24, 8, 26syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯ β†’ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < )))
2810, 27mtod 197 . . 3 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯)
29 rexnal 3098 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯ ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯)
3028, 29sylibr 233 . 2 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
31 breq2 5151 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (1 < π‘Ž ↔ 1 < π‘₯))
3231elrab 3682 . . . 4 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ↔ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯))
33 simprl 767 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·))
34 1red 11219 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 1 ∈ ℝ)
35 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
36 pell14qrre 41897 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3735, 33, 36syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
38 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 1 < π‘₯)
3934, 37, 38ltled 11366 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
4033, 39jca 510 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 ≀ π‘₯))
41 elpell1qr2 41912 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·) ↔ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 ≀ π‘₯)))
4235, 41syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·) ↔ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 ≀ π‘₯)))
4340, 42mpbird 256 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·))
4432, 43sylan2b 592 . . 3 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}) β†’ π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·))
4544adantrr 713 . 2 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·))
46 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
47 simprl 767 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž})
4811, 47sselid 3979 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·))
49 simpr 483 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯) β†’ 1 < π‘₯)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯) β†’ 1 < π‘₯))
5132, 50biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β†’ 1 < π‘₯))
5251imp 405 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}) β†’ 1 < π‘₯)
5352adantrr 713 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 1 < π‘₯)
54 pellfundlb 41924 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯)
5546, 48, 53, 54syl3anc 1369 . . 3 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯)
56 simprr 769 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
5715adantr 479 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
5857, 48sseldd 3982 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
59 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6058, 59ltnled 11365 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯))
6156, 60mpbird 256 . . 3 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6255, 61jca 510 . 2 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ ((PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
6330, 45, 62reximssdv 3170 1 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·)((PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  infcinf 9438  β„cr 11111  1c1 11113   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  β—»NNcsquarenn 41876  Pell1QRcpell1qr 41877  Pell14QRcpell14qr 41879  PellFundcpellfund 41880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676  df-squarenn 41881  df-pell1qr 41882  df-pell14qr 41883  df-pell1234qr 41884  df-pellfund 41885
This theorem is referenced by:  pellfundex  41926
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