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Theorem pellfundglb 41926
Description: If a real is larger than the fundamental solution, there is a nontrivial solution less than it. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundglb ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·)((PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐴
Proof of Theorem pellfundglb
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 41921 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
213ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) = inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
3 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴)
42, 3eqbrtrrd 5173 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) < 𝐴)
5 pellfundre 41922 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
653ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (PellFundβ€˜π·) ∈ ℝ)
72, 6eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8ltnled 11366 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ) < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < )))
104, 9mpbid 231 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
11 ssrab2 4078 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† (Pell14QRβ€˜π·)
12 pell14qrre 41898 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
1312ex 412 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) β†’ π‘Ž ∈ ℝ))
1413ssrdv 3989 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
15143ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
1611, 15sstrid 3994 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ)
17 pell1qrss14 41909 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
18173ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·))
19 pellqrex 41920 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
20193ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
21 ssrexv 4052 . . . . . . 7 ((Pell1QRβ€˜π·) βŠ† (Pell14QRβ€˜π·) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell1QRβ€˜π·)1 < π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž))
2218, 20, 21sylc 65 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
23 rabn0 4386 . . . . . 6 ({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·)1 < π‘Ž)
2422, 23sylibr 233 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ…)
25 infmrgelbi 41919 . . . . . 6 ((({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯) β†’ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < ))
2625ex 412 . . . . 5 (({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} βŠ† ℝ ∧ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β‰  βˆ… ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯ β†’ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < )))
2716, 24, 8, 26syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯ β†’ 𝐴 ≀ inf({π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}, ℝ, < )))
2810, 27mtod 197 . . 3 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯)
29 rexnal 3099 . . 3 (βˆƒπ‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯ ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}𝐴 ≀ π‘₯)
3028, 29sylibr 233 . 2 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
31 breq2 5153 . . . . 5 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (1 < π‘Ž ↔ 1 < π‘₯))
3231elrab 3684 . . . 4 (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ↔ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯))
33 simprl 768 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·))
34 1red 11220 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 1 ∈ ℝ)
35 simpl1 1190 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
36 pell14qrre 41898 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3735, 33, 36syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
38 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 1 < π‘₯)
3934, 37, 38ltled 11367 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
4033, 39jca 511 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 ≀ π‘₯))
41 elpell1qr2 41913 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) β†’ (π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·) ↔ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 ≀ π‘₯)))
4235, 41syl 17 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·) ↔ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 ≀ π‘₯)))
4340, 42mpbird 256 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·))
4432, 43sylan2b 593 . . 3 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}) β†’ π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·))
4544adantrr 714 . 2 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·))
46 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
47 simprl 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž})
4811, 47sselid 3981 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·))
49 simpr 484 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯) β†’ 1 < π‘₯)
5049a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯) β†’ 1 < π‘₯))
5132, 50biimtrid 241 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} β†’ 1 < π‘₯))
5251imp 406 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž}) β†’ 1 < π‘₯)
5352adantrr 714 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 1 < π‘₯)
54 pellfundlb 41925 . . . 4 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ π‘₯ ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∧ 1 < π‘₯) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯)
5546, 48, 53, 54syl3anc 1370 . . 3 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯)
56 simprr 770 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)
5715adantr 480 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (Pell14QRβ€˜π·) βŠ† ℝ)
5857, 48sseldd 3984 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
59 simpl2 1191 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6058, 59ltnled 11366 . . . 4 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ < 𝐴 ↔ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯))
6156, 60mpbird 256 . . 3 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6255, 61jca 511 . 2 (((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (Pell14QRβ€˜π·) ∣ 1 < π‘Ž} ∧ Β¬ 𝐴 ≀ π‘₯)) β†’ ((PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
6330, 45, 62reximssdv 3171 1 ((𝐷 ∈ (β„• βˆ– β—»NN) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (PellFundβ€˜π·) < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (Pell1QRβ€˜π·)((PellFundβ€˜π·) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  infcinf 9439  β„cr 11112  1c1 11114   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β—»NNcsquarenn 41877  Pell1QRcpell1qr 41878  Pell14QRcpell14qr 41880  PellFundcpellfund 41881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677  df-squarenn 41882  df-pell1qr 41883  df-pell14qr 41884  df-pell1234qr 41885  df-pellfund 41886
This theorem is referenced by:  pellfundex  41927
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