Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 39764
 Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4089 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
2 eldifn 4090 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ 𝐷 ∈ ◻NN)
31anim1i 617 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
4 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (√‘𝑎) = (√‘𝐷))
54eleq1d 2900 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
6 df-squarenn 39726 . . . . . 6 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
75, 6elrab2 3669 . . . . 5 (𝐷 ∈ ◻NN ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
83, 7sylibr 237 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → 𝐷 ∈ ◻NN)
92, 8mtand 815 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
10 pellex 39720 . . 3 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 587 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
12 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
13 nnnn0 11903 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℕ0)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℕ0)
1514ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑐 ∈ ℕ0)
16 nnnn0 11903 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
1716adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
1817ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑑 ∈ ℕ0)
19 simpr 488 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
20 pellqrexplicit 39762 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1370 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
22 1re 10641 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
2422, 22readdcli 10656 . . . . . . . 8 (1 + 1) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
26 nnre 11643 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℝ)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑐 ∈ ℝ)
281adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2928nnrpd 12428 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpsqrtcld 14773 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
3130rpred 12430 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
32 nnre 11643 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
3332ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑑 ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 10671 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℝ)
3527, 34readdcld 10670 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℝ)
3622ltp1i 11544 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (1 + 1))
38 nnge1 11664 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑐)
3938ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑐)
40 1t1e1 11798 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
41 nnge1 11664 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐷)
42 sq1 13565 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
44 nncn 11644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
4544sqsqrtd 14801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
4641, 43, 453brtr4d 5085 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48 nnrp 12399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
4948rpsqrtcld 14773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
5049rpred 12430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
51 0le1 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
5349rpge0d 12434 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ (√‘𝐷))
5447, 50, 52, 53le2sqd 13627 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1 ≤ (√‘𝐷) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2)))
5546, 54mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ (√‘𝐷))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (√‘𝐷))
57 nnge1 11664 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑑)
5923, 51jctir 524 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
60 lemul12a 11498 . . . . . . . . . . 11 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 837 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6256, 58, 61mp2and 698 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6340, 62eqbrtrrid 5089 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 11259 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ≤ (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 10800 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6665adantr 484 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
67 breq2 5057 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) → (1 < 𝑥 ↔ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
6867rspcev 3609 . . . . 5 (((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
6921, 66, 68syl2anc 587 . . . 4 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
7069ex 416 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7170rexlimdvva 3286 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7211, 71mpd 15 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3134   ∖ cdif 3916   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  ℕcn 11636  2c2 11691  ℕ0cn0 11896  ℚcq 12347  ↑cexp 13436  √csqrt 14594  ◻NNcsquarenn 39721  Pell1QRcpell1qr 39722 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-omul 8105  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12897  df-fl 13168  df-mod 13244  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-dvds 15610  df-gcd 15844  df-numer 16075  df-denom 16076  df-squarenn 39726  df-pell1qr 39727 This theorem is referenced by:  pellfundre  39766  pellfundge  39767  pellfundglb  39770
 Copyright terms: Public domain W3C validator