Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 41231
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ท

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4091 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2 eldifn 4092 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ยฌ ๐ท โˆˆ โ—ปNN)
31anim1i 616 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4 fveq2 6847 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐‘Ž) = (โˆšโ€˜๐ท))
54eleq1d 2823 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„š โ†” (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
6 df-squarenn 41193 . . . . . 6 โ—ปNN = {๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆฃ (โˆšโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„š}
75, 6elrab2 3653 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ—ปNN โ†” (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
83, 7sylibr 233 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ๐ท โˆˆ โ—ปNN)
92, 8mtand 815 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š)
10 pellex 41187 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 585 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
12 simpll 766 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN))
13 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1514ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
16 nnnn0 12427 . . . . . . . 8 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
1716adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
1817ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
19 simpr 486 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
20 pellqrexplicit 41229 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1374 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
22 1re 11162 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2422, 22readdcli 11177 . . . . . . . 8 (1 + 1) โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„)
26 nnre 12167 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
281adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2928nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3029rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
3130rpred 12964 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
32 nnre 12167 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
3332ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
3431, 33remulcld 11192 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„)
3527, 34readdcld 11191 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„)
3622ltp1i 12066 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 < (1 + 1))
38 nnge1 12188 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
3938ad2antrl 727 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
40 1t1e1 12322 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
41 nnge1 12188 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐ท)
42 sq1 14106 . . . . . . . . . . . . . 14 (1โ†‘2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1โ†‘2) = 1)
44 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4544sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
4641, 43, 453brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
48 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4948rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
5049rpred 12964 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
51 0le1 11685 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 1)
5349rpge0d 12968 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
5447, 50, 52, 53le2sqd 14167 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โ†” (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)))
5546, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
57 nnge1 12188 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‘)
5857ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‘)
5923, 51jctir 522 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1))
60 lemul12a 12020 . . . . . . . . . . 11 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โˆง 1 โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โˆง 1 โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6256, 58, 61mp2and 698 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))
6340, 62eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 11781 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) โ‰ค (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 11322 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6665adantr 482 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
67 breq2 5114 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โ†” 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))))
6867rspcev 3584 . . . . 5 (((๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
6921, 66, 68syl2anc 585 . . . 4 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
7069ex 414 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ))
7170rexlimdvva 3206 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ))
7211, 71mpd 15 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3074   โˆ– cdif 3912   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„šcq 12880  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125  โ—ปNNcsquarenn 41188  Pell1QRcpell1qr 41189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618  df-squarenn 41193  df-pell1qr 41194
This theorem is referenced by:  pellfundre  41233  pellfundge  41234  pellfundglb  41237
  Copyright terms: Public domain W3C validator