Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 41919
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ท

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4125 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2 eldifn 4126 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ยฌ ๐ท โˆˆ โ—ปNN)
31anim1i 613 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐‘Ž) = (โˆšโ€˜๐ท))
54eleq1d 2816 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„š โ†” (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
6 df-squarenn 41881 . . . . . 6 โ—ปNN = {๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆฃ (โˆšโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„š}
75, 6elrab2 3685 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ—ปNN โ†” (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
83, 7sylibr 233 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ๐ท โˆˆ โ—ปNN)
92, 8mtand 812 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š)
10 pellex 41875 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 582 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
12 simpll 763 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN))
13 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1514ad2antlr 723 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
16 nnnn0 12483 . . . . . . . 8 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
1716adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
1817ad2antlr 723 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
19 simpr 483 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
20 pellqrexplicit 41917 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1371 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
22 1re 11218 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2422, 22readdcli 11233 . . . . . . . 8 (1 + 1) โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„)
26 nnre 12223 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
281adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2928nnrpd 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3029rpsqrtcld 15362 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
3130rpred 13020 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
32 nnre 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
3332ad2antll 725 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
3431, 33remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„)
3527, 34readdcld 11247 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„)
3622ltp1i 12122 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 < (1 + 1))
38 nnge1 12244 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
3938ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
40 1t1e1 12378 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
41 nnge1 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐ท)
42 sq1 14163 . . . . . . . . . . . . . 14 (1โ†‘2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1โ†‘2) = 1)
44 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4544sqsqrtd 15390 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
4641, 43, 453brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
48 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4948rpsqrtcld 15362 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
5049rpred 13020 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
51 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 1)
5349rpge0d 13024 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
5447, 50, 52, 53le2sqd 14224 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โ†” (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)))
5546, 54mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
57 nnge1 12244 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‘)
5857ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‘)
5923, 51jctir 519 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1))
60 lemul12a 12076 . . . . . . . . . . 11 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โˆง 1 โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โˆง 1 โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6256, 58, 61mp2and 695 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))
6340, 62eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 11837 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) โ‰ค (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 11378 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6665adantr 479 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
67 breq2 5151 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โ†” 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))))
6867rspcev 3611 . . . . 5 (((๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
6921, 66, 68syl2anc 582 . . . 4 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
7069ex 411 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ))
7170rexlimdvva 3209 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ))
7211, 71mpd 15 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3068   โˆ– cdif 3944   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„šcq 12936  โ†‘cexp 14031  โˆšcsqrt 15184  โ—ปNNcsquarenn 41876  Pell1QRcpell1qr 41877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16675  df-denom 16676  df-squarenn 41881  df-pell1qr 41882
This theorem is referenced by:  pellfundre  41921  pellfundge  41922  pellfundglb  41925
  Copyright terms: Public domain W3C validator