Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 42890
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4131 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
2 eldifn 4132 . . . 4 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ 𝐷 ∈ ◻NN)
31anim1i 615 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
4 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐷 → (√‘𝑎) = (√‘𝐷))
54eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐷 → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
6 df-squarenn 42852 . . . . . 6 NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
75, 6elrab2 3695 . . . . 5 (𝐷 ∈ ◻NN ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
83, 7sylibr 234 . . . 4 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → 𝐷 ∈ ◻NN)
92, 8mtand 816 . . 3 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
10 pellex 42846 . . 3 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
12 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
13 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℕ0)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℕ0)
1514ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑐 ∈ ℕ0)
16 nnnn0 12533 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
1817ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑑 ∈ ℕ0)
19 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
20 pellqrexplicit 42888 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1375 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
22 1re 11261 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
2422, 22readdcli 11276 . . . . . . . 8 (1 + 1) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
26 nnre 12273 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℝ)
2726ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑐 ∈ ℝ)
281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
2928nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
3029rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
3130rpred 13077 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
32 nnre 12273 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
3332ad2antll 729 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑑 ∈ ℝ)
3431, 33remulcld 11291 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℝ)
3527, 34readdcld 11290 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℝ)
3622ltp1i 12172 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (1 + 1))
38 nnge1 12294 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑐)
3938ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑐)
40 1t1e1 12428 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
41 nnge1 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐷)
42 sq1 14234 . . . . . . . . . . . . . 14 (1↑2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
44 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
4544sqsqrtd 15478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
4641, 43, 453brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
4948rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
5049rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
51 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
5349rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ (√‘𝐷))
5447, 50, 52, 53le2sqd 14296 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ ℕ → (1 ≤ (√‘𝐷) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2)))
5546, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ (√‘𝐷))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (√‘𝐷))
57 nnge1 12294 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
5857ad2antll 729 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑑)
5923, 51jctir 520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
60 lemul12a 12125 . . . . . . . . . . 11 ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6256, 58, 61mp2and 699 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6340, 62eqbrtrrid 5179 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 11882 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ≤ (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 11421 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
6665adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
67 breq2 5147 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) → (1 < 𝑥 ↔ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
6867rspcev 3622 . . . . 5 (((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
6921, 66, 68syl2anc 584 . . . 4 (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
7069ex 412 . . 3 ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7170rexlimdvva 3213 . 2 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
7211, 71mpd 15 1 (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  cdif 3948   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cq 12990  cexp 14102  csqrt 15272  NNcsquarenn 42847  Pell1QRcpell1qr 42848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853
This theorem is referenced by:  pellfundre  42892  pellfundge  42893  pellfundglb  42896
  Copyright terms: Public domain W3C validator