Theorem pellqrex 43331

Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellqrex	⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem pellqrex

Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4068	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
2		eldifn 4069	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ 𝐷 ∈ ◻NN)
3	1	anim1i 621	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
4		fveq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → (√‘𝑎) = (√‘𝐷))
5	4	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐷 → ((√‘𝑎) ∈ ℚ ↔ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
6		df-squarenn 43293	. . . . . 6 ⊢ ◻NN = {𝑎 ∈ ℕ ∣ (√‘𝑎) ∈ ℚ}
7	5, 6	elrab2 3639	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ ◻NN ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
8	3, 7	sylibr 235	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → 𝐷 ∈ ◻NN)
9	2, 8	mtand 821	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ)
10		pellex 43287	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
11	1, 9, 10	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
12		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
13		nnnn0 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℕ0)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑐 ∈ ℕ0)
15	14	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑐 ∈ ℕ0)
16		nnnn0 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝑑 ∈ ℕ0)
18	17	ad2antlr 733	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 𝑑 ∈ ℕ0)
19		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
20		pellqrexplicit 43329	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
21	12, 15, 18, 19, 20	syl31anc 1381	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷))
22		1re 11142	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
24	22, 22	readdcli 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ∈ ℝ)
26		nnre 12179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ → 𝑐 ∈ ℝ)
27	26	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑐 ∈ ℝ)
28	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
29	28	nnrpd 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝐷 ∈ ℝ+)
30	29	rpsqrtcld 15372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
31	30	rpred 12984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
32		nnre 12179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℝ)
33	32	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 𝑑 ∈ ℝ)
34	31, 33	remulcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℝ)
35	27, 34	readdcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℝ)
36	22	ltp1i 12058	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < (1 + 1)
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (1 + 1))
38		nnge1 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑐)
39	38	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑐)
40		1t1e1 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
41		nnge1 12203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐷)
42		sq1 14155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) = 1)
44		nncn 12180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
45	44	sqsqrtd 15402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
46	41, 43, 45	3brtr4d 5111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2))
47	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
48		nnrp 12952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
49	48	rpsqrtcld 15372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
50	49	rpred 12984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
51		0le1 11671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ 1)
53	49	rpge0d 12988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 0 ≤ (√‘𝐷))
54	47, 50, 52, 53	le2sqd 14217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (1 ≤ (√‘𝐷) ↔ (1↑2) ≤ ((√‘𝐷)↑2)))
55	46, 54	mpbird 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 1 ≤ (√‘𝐷))
56	28, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (√‘𝐷))
57		nnge1 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑑)
58	57	ad2antll 735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ 𝑑)
59	23, 51	jctir 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1))
60		lemul12a 12011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (√‘𝐷) ∈ ℝ) ∧ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
61	59, 31, 59, 33, 60	syl22anc 844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → ((1 ≤ (√‘𝐷) ∧ 1 ≤ 𝑑) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑)))
62	56, 58, 61	mp2and 705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 · 1) ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
63	40, 62	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 ≤ ((√‘𝐷) · 𝑑))
64	23, 23, 27, 34, 39, 63	le2addd 11767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (1 + 1) ≤ (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
65	23, 25, 35, 37, 64	ltletrd 11304	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
66	65	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
67		breq2 5083	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) → (1 < 𝑥 ↔ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
68	67	rspcev 3567	. . . . 5 ⊢ (((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ (Pell1QR‘𝐷) ∧ 1 < (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
69	21, 66, 68	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)
70	69	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝑐 ∈ ℕ ∧ 𝑑 ∈ ℕ)) → (((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
71	70	rexlimdvva 3197	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (∃𝑐 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1 → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥))
72	11, 71	mpd 15	1 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ∃𝑥 ∈ (Pell1QR‘𝐷)1 < 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℚcq 12896  ↑cexp 14021  √csqrt 15193  ◻_NNcsquarenn 43288  Pell1QRcpell1qr 43289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-numer 16703  df-denom 16704  df-squarenn 43293  df-pell1qr 43294

This theorem is referenced by:  pellfundre  43333  pellfundge  43334  pellfundglb  43337