Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellqrex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pellqrex 41920
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ท

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4126 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2 eldifn 4127 . . . 4 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ยฌ ๐ท โˆˆ โ—ปNN)
31anim1i 614 . . . . 5 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
4 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ (โˆšโ€˜๐‘Ž) = (โˆšโ€˜๐ท))
54eleq1d 2817 . . . . . 6 (๐‘Ž = ๐ท โ†’ ((โˆšโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„š โ†” (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
6 df-squarenn 41882 . . . . . 6 โ—ปNN = {๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆฃ (โˆšโ€˜๐‘Ž) โˆˆ โ„š}
75, 6elrab2 3686 . . . . 5 (๐ท โˆˆ โ—ปNN โ†” (๐ท โˆˆ โ„• โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š))
83, 7sylibr 233 . . . 4 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ ๐ท โˆˆ โ—ปNN)
92, 8mtand 813 . . 3 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š)
10 pellex 41876 . . 3 ((๐ท โˆˆ โ„• โˆง ยฌ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„š) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
111, 9, 10syl2anc 583 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
12 simpll 764 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN))
13 nnnn0 12484 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
1514ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
16 nnnn0 12484 . . . . . . . 8 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
1817ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•0)
19 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1)
20 pellqrexplicit 41918 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1372 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท))
22 1re 11219 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2422, 22readdcli 11234 . . . . . . . 8 (1 + 1) โˆˆ โ„
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) โˆˆ โ„)
26 nnre 12224 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2726ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
2928nnrpd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
3029rpsqrtcld 15363 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
3130rpred 13021 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
32 nnre 12224 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
3332ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„)
3431, 33remulcld 11249 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘) โˆˆ โ„)
3527, 34readdcld 11248 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ โ„)
3622ltp1i 12123 . . . . . . . 8 1 < (1 + 1)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 < (1 + 1))
38 nnge1 12245 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
3938ad2antrl 725 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘)
40 1t1e1 12379 . . . . . . . . 9 (1 ยท 1) = 1
41 nnge1 12245 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐ท)
42 sq1 14164 . . . . . . . . . . . . . 14 (1โ†‘2) = 1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1โ†‘2) = 1)
44 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4544sqsqrtd 15391 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2) = ๐ท)
4641, 43, 453brtr4d 5180 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2))
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
48 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ ๐ท โˆˆ โ„+)
4948rpsqrtcld 15363 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„+)
5049rpred 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
51 0le1 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 0 โ‰ค 1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 1)
5349rpge0d 13025 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
5447, 50, 52, 53le2sqd 14225 . . . . . . . . . . . 12 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ (1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โ†” (1โ†‘2) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท)โ†‘2)))
5546, 54mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (๐ท โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
5628, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท))
57 nnge1 12245 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‘ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‘)
5857ad2antll 726 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘‘)
5923, 51jctir 520 . . . . . . . . . . 11 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1))
60 lemul12a 12077 . . . . . . . . . . 11 ((((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„) โˆง ((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„)) โ†’ ((1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โˆง 1 โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 836 . . . . . . . . . 10 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((1 โ‰ค (โˆšโ€˜๐ท) โˆง 1 โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6256, 58, 61mp2and 696 . . . . . . . . 9 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 ยท 1) โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))
6340, 62eqbrtrrid 5184 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 โ‰ค ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 11838 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (1 + 1) โ‰ค (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 11379 . . . . . 6 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
6665adantr 480 . . . . 5 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)))
67 breq2 5152 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โ†’ (1 < ๐‘ฅ โ†” 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))))
6867rspcev 3612 . . . . 5 (((๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘)) โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท) โˆง 1 < (๐‘ + ((โˆšโ€˜๐ท) ยท ๐‘‘))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
6921, 66, 68syl2anc 583 . . . 4 (((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
7069ex 412 . . 3 ((๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ))
7170rexlimdvva 3210 . 2 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• ((๐‘โ†‘2) โˆ’ (๐ท ยท (๐‘‘โ†‘2))) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ))
7211, 71mpd 15 1 (๐ท โˆˆ (โ„• โˆ– โ—ปNN) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ (Pell1QRโ€˜๐ท)1 < ๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆƒwrex 3069   โˆ– cdif 3945   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„šcq 12937  โ†‘cexp 14032  โˆšcsqrt 15185  โ—ปNNcsquarenn 41877  Pell1QRcpell1qr 41878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16676  df-denom 16677  df-squarenn 41882  df-pell1qr 41883
This theorem is referenced by:  pellfundre  41922  pellfundge  41923  pellfundglb  41926
  Copyright terms: Public domain W3C validator