Theorem lelttr 11300

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2	1	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		lttr 11286	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expd 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq1 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐵 < 𝐶))
6	5	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impd 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5147  ℝcr 11105   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  leltletr  11301  letr  11304  lelttri  11337  lelttrd  11368  letrp1  12054  ltmul12a  12066  ledivp1  12112  supmul1  12179  bndndx  12467  uzind  12650  fnn0ind  12657  rpnnen1lem5  12961  xrinfmsslem  13283  elfzo0z  13670  nn0p1elfzo  13671  fzofzim  13675  elfzodifsumelfzo  13694  flge  13766  flflp1  13768  flltdivnn0lt  13794  modfzo0difsn  13904  fsequb  13936  expnlbnd2  14193  ccat2s1fvw  14584  swrdswrd  14651  pfxccatin12lem3  14678  repswswrd  14730  caubnd2  15300  caubnd  15301  mulcn2  15536  cn1lem  15538  rlimo1  15557  o1rlimmul  15559  climsqz  15581  climsqz2  15582  rlimsqzlem  15591  climsup  15612  caucvgrlem2  15617  iseralt  15627  cvgcmp  15758  cvgcmpce  15760  ruclem3  16172  ruclem12  16180  ltoddhalfle  16300  algcvgblem  16510  ncoprmlnprm  16660  pclem  16767  infpn2  16842  gsummoncoe1  21810  mp2pm2mplem4  22293  metss2lem  24002  ngptgp  24127  nghmcn  24244  iocopnst  24438  ovollb2lem  24987  ovolicc2lem4  25019  volcn  25105  ismbf3d  25153  dvcnvrelem1  25516  dvfsumrlim  25530  ulmcn  25893  mtest  25898  logdivlti  26110  isosctrlem1  26303  ftalem2  26558  chtub  26695  bposlem6  26772  gausslemma2dlem2  26850  chtppilim  26958  dchrisumlem3  26974  pntlem3  27092  clwlkclwwlklem2a  29231  vacn  29925  nmcvcn  29926  blocni  30036  chscllem2  30869  lnconi  31264  staddi  31477  stadd3i  31479  ltflcei  36414  poimirlem29  36455  geomcau  36565  heibor1lem  36615  bfplem2  36629  rrncmslem  36638  climinf  44257  zm1nn  45945  iccpartigtl  46026  tgoldbach  46420  ply1mulgsumlem2  46970  difmodm1lt  47110