Theorem lelttr 11221

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11217	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2	1	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		lttr 11207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expd 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq1 5099	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐵 < 𝐶))
6	5	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impd 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  ℝcr 11023   < clt 11164   ≤ cle 11165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170

This theorem is referenced by:  leltletr  11222  letr  11225  lelttri  11258  lelttrd  11289  letrp1  11983  ltmul12a  11995  ledivp1  12042  supmul1  12109  bndndx  12398  uzind  12582  fnn0ind  12589  rpnnen1lem5  12892  xrinfmsslem  13221  elfzo0z  13615  nn0p1elfzo  13616  fzofzim  13623  elfzodifsumelfzo  13645  flge  13723  flflp1  13725  flltdivnn0lt  13751  modfzo0difsn  13864  fsequb  13896  expnlbnd2  14155  ccat2s1fvw  14560  swrdswrd  14626  pfxccatin12lem3  14653  repswswrd  14705  caubnd2  15279  caubnd  15280  mulcn2  15517  cn1lem  15519  rlimo1  15538  o1rlimmul  15540  climsqz  15562  climsqz2  15563  rlimsqzlem  15570  climsup  15591  caucvgrlem2  15596  iseralt  15606  cvgcmp  15737  cvgcmpce  15739  ruclem3  16156  ruclem12  16164  ltoddhalfle  16286  algcvgblem  16502  ncoprmlnprm  16653  pclem  16764  infpn2  16839  gsummoncoe1  22250  mp2pm2mplem4  22751  metss2lem  24453  ngptgp  24578  nghmcn  24687  iocopnst  24891  ovollb2lem  25443  ovolicc2lem4  25475  volcn  25561  ismbf3d  25609  dvcnvrelem1  25976  dvfsumrlim  25992  ulmcn  26362  mtest  26367  logdivlti  26583  isosctrlem1  26782  ftalem2  27038  chtub  27177  bposlem6  27254  gausslemma2dlem2  27332  chtppilim  27440  dchrisumlem3  27456  pntlem3  27574  clwlkclwwlklem2a  30022  vacn  30718  nmcvcn  30719  blocni  30829  chscllem2  31662  lnconi  32057  staddi  32270  stadd3i  32272  ltflcei  37748  poimirlem29  37789  geomcau  37899  heibor1lem  37949  bfplem2  37963  rrncmslem  37972  climinf  45794  zm1nn  47490  iccpartigtl  47611  tgoldbach  48005  ply1mulgsumlem2  48575