Theorem lelttr 10809

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 10805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2	1	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		lttr 10795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expd 419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐵 < 𝐶))
6	5	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 858	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impd 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5030  ℝcr 10614   < clt 10753   ≤ cle 10754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759

This theorem is referenced by:  letr  10812  lelttri  10845  lelttrd  10876  letrp1  11562  ltmul12a  11574  ledivp1  11620  supmul1  11687  bndndx  11975  uzind  12155  fnn0ind  12162  rpnnen1lem5  12463  xrinfmsslem  12784  elfzo0z  13170  nn0p1elfzo  13171  fzofzim  13175  elfzodifsumelfzo  13194  flge  13266  flflp1  13268  flltdivnn0lt  13294  modfzo0difsn  13402  fsequb  13434  expnlbnd2  13687  ccat2s1fvw  14087  ccat2s1fvwOLD  14088  swrdswrd  14156  pfxccatin12lem3  14183  repswswrd  14235  caubnd2  14807  caubnd  14808  mulcn2  15043  cn1lem  15045  rlimo1  15064  o1rlimmul  15066  climsqz  15088  climsqz2  15089  rlimsqzlem  15098  climsup  15119  caucvgrlem2  15124  iseralt  15134  cvgcmp  15264  cvgcmpce  15266  ruclem3  15678  ruclem12  15686  ltoddhalfle  15806  algcvgblem  16018  ncoprmlnprm  16168  pclem  16275  infpn2  16349  gsummoncoe1  21079  mp2pm2mplem4  21560  metss2lem  23264  ngptgp  23389  nghmcn  23498  iocopnst  23692  ovollb2lem  24240  ovolicc2lem4  24272  volcn  24358  ismbf3d  24406  dvcnvrelem1  24769  dvfsumrlim  24783  ulmcn  25146  mtest  25151  logdivlti  25363  isosctrlem1  25556  ftalem2  25811  chtub  25948  bposlem6  26025  gausslemma2dlem2  26103  chtppilim  26211  dchrisumlem3  26227  pntlem3  26345  clwlkclwwlklem2a  27935  vacn  28629  nmcvcn  28630  blocni  28740  chscllem2  29573  lnconi  29968  staddi  30181  stadd3i  30183  ltflcei  35388  poimirlem29  35429  geomcau  35540  heibor1lem  35590  bfplem2  35604  rrncmslem  35613  climinf  42689  leltletr  44319  zm1nn  44328  iccpartigtl  44409  tgoldbach  44803  ply1mulgsumlem2  45262  difmodm1lt  45402