Theorem lelttr 11407

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		lttr 11393	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expd 421	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐵 < 𝐶))
6	5	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impd 416	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11206   < clt 11350   ≤ cle 11351

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356

This theorem is used by:  leltletr  11408  lelttri  11444  lelttrd  11475  letrp1  12168  ltmul12a  12180  ledivp1  12226  supmul1  12293  bndndx  12612  uzind  12798  fnn0ind  12805  rpnnen1lem5  13116  xrinfmsslem  13445  elfzo0z  13843  nn0p1elfzo  13844  fzofzim  13851  elfzodifsumelfzo  13873  flge  13952  flflp1  13954  flltdivnn0lt  13980  modfzo0difsn  14093  fsequb  14125  expnlbnd2  14385  ccat2s1fvw  14794  swrdswrd  14862  pfxccatin12lem3  14889  repswswrd  14943  caubnd2  15534  caubnd  15535  mulcn2  15772  cn1lem  15774  rlimo1  15793  o1rlimmul  15795  climsqz  15817  climsqz2  15818  rlimsqzlem  15825  climsup  15846  caucvgrlem2  15851  iseralt  15861  cvgcmp  15992  cvgcmpce  15994  ruclem3  16410  ruclem12  16418  ltoddhalfle  16540  algcvgblem  16761  ncoprmlnprm  16913  pclem  17025  infpn2  17100  gsummoncoe1  22635  mp2pm2mplem4  23136  metss2lem  24839  ngptgp  24964  nghmcn  25073  iocopnst  25270  ovollb2lem  25818  ovolicc2lem4  25850  volcn  25936  ismbf3d  25984  dvcnvrelem1  26346  dvfsumrlim  26360  ulmcn  26735  mtest  26740  logdivlti  26957  isosctrlem1  27155  ftalem2  27410  chtub  27548  bposlem6  27625  gausslemma2dlem2  27703  chtppilim  27811  dchrisumlem3  27827  pntlem3  27945  clwlkclwwlklem2a  30598  vacn  31305  nmcvcn  31306  blocni  31416  chscllem2  32249  lnconi  32644  staddi  32857  stadd3i  32859  ltflcei  38640  poimirlem29  38676  geomcau  38802  heibor1lem  38852  bfplem2  38866  rrncmslem  38875  climinf  46726  zm1nn  48480  muldvdsfacgt  48564  muldvdsfacm1  48565  iccpartigtl  48613  tgoldbach  49023  ply1mulgsumlem2  49607