Theorem lelttr 11348

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11344	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2	1	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		lttr 11334	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expd 415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq1 5150	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐵 < 𝐶))
6	5	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impd 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   < clt 11292   ≤ cle 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298

This theorem is referenced by:  leltletr  11349  letr  11352  lelttri  11385  lelttrd  11416  letrp1  12108  ltmul12a  12120  ledivp1  12167  supmul1  12234  bndndx  12522  uzind  12707  fnn0ind  12714  rpnnen1lem5  13020  xrinfmsslem  13346  elfzo0z  13737  nn0p1elfzo  13738  fzofzim  13745  elfzodifsumelfzo  13766  flge  13841  flflp1  13843  flltdivnn0lt  13869  modfzo0difsn  13980  fsequb  14012  expnlbnd2  14269  ccat2s1fvw  14672  swrdswrd  14739  pfxccatin12lem3  14766  repswswrd  14818  caubnd2  15392  caubnd  15393  mulcn2  15628  cn1lem  15630  rlimo1  15649  o1rlimmul  15651  climsqz  15673  climsqz2  15674  rlimsqzlem  15681  climsup  15702  caucvgrlem2  15707  iseralt  15717  cvgcmp  15848  cvgcmpce  15850  ruclem3  16265  ruclem12  16273  ltoddhalfle  16394  algcvgblem  16610  ncoprmlnprm  16761  pclem  16871  infpn2  16946  gsummoncoe1  22327  mp2pm2mplem4  22830  metss2lem  24539  ngptgp  24664  nghmcn  24781  iocopnst  24983  ovollb2lem  25536  ovolicc2lem4  25568  volcn  25654  ismbf3d  25702  dvcnvrelem1  26070  dvfsumrlim  26086  ulmcn  26456  mtest  26461  logdivlti  26676  isosctrlem1  26875  ftalem2  27131  chtub  27270  bposlem6  27347  gausslemma2dlem2  27425  chtppilim  27533  dchrisumlem3  27549  pntlem3  27667  clwlkclwwlklem2a  30026  vacn  30722  nmcvcn  30723  blocni  30833  chscllem2  31666  lnconi  32061  staddi  32274  stadd3i  32276  ltflcei  37594  poimirlem29  37635  geomcau  37745  heibor1lem  37795  bfplem2  37809  rrncmslem  37818  climinf  45561  zm1nn  47251  iccpartigtl  47347  tgoldbach  47741  ply1mulgsumlem2  48232  difmodm1lt  48371