Theorem lelttr 11295

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 23-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lelttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 11291	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
2	1	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3		lttr 11281	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
4	3	expd 420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
5		breq1 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 < 𝐶 ↔ 𝐵 < 𝐶))
6	5	biimprd 251	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
8	4, 7	jaod 872	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
9	2, 8	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐵 < 𝐶 → 𝐴 < 𝐶)))
10	9	impd 415	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  leltletr  11296  letr  11299  lelttri  11332  lelttrd  11363  letrp1  12054  ltmul12a  12066  ledivp1  12112  supmul1  12179  bndndx  12498  uzind  12683  fnn0ind  12690  rpnnen1lem5  13000  xrinfmsslem  13329  elfzo0z  13726  nn0p1elfzo  13727  fzofzim  13734  elfzodifsumelfzo  13756  flge  13834  flflp1  13836  flltdivnn0lt  13862  modfzo0difsn  13975  fsequb  14007  expnlbnd2  14266  ccat2s1fvw  14672  swrdswrd  14738  pfxccatin12lem3  14765  repswswrd  14817  caubnd2  15405  caubnd  15406  mulcn2  15643  cn1lem  15645  rlimo1  15664  o1rlimmul  15666  climsqz  15688  climsqz2  15689  rlimsqzlem  15696  climsup  15717  caucvgrlem2  15722  iseralt  15732  cvgcmp  15864  cvgcmpce  15866  ruclem3  16284  ruclem12  16292  ltoddhalfle  16414  algcvgblem  16630  ncoprmlnprm  16782  pclem  16893  infpn2  16968  gsummoncoe1  22468  mp2pm2mplem4  22966  metss2lem  24668  ngptgp  24793  nghmcn  24902  iocopnst  25099  ovollb2lem  25647  ovolicc2lem4  25679  volcn  25765  ismbf3d  25813  dvcnvrelem1  26176  dvfsumrlim  26190  ulmcn  26562  mtest  26567  logdivlti  26785  isosctrlem1  26983  ftalem2  27238  chtub  27376  bposlem6  27453  gausslemma2dlem2  27531  chtppilim  27639  dchrisumlem3  27655  pntlem3  27773  clwlkclwwlklem2a  30349  vacn  31046  nmcvcn  31047  blocni  31157  chscllem2  31990  lnconi  32385  staddi  32598  stadd3i  32600  ltflcei  38259  poimirlem29  38300  geomcau  38410  heibor1lem  38460  bfplem2  38474  rrncmslem  38483  climinf  46322  zm1nn  48039  muldvdsfacgt  48123  muldvdsfacm1  48124  iccpartigtl  48172  tgoldbach  48582  ply1mulgsumlem2  49167