Theorem divge0 12213

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 12211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 92	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 433	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   < clt 11370   ≤ cle 11371   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  mulge0b  12214  ledivp1  12246  divge0i  12253  divge0d  13231  divelunit  13652  nnge2recico01  13665  adddivflid  13985  fldiv4p1lem1div2  14002  fldiv  14027  modid  14063  modmuladdnn0  14085  expnbnd  14403  sqrtdiv  15461  sqreulem  15556  efcllem  16272  ege2le3  16285  flodddiv4  16614  hashgcdlem  16994  fldivp1  17104  4sqlem14  17165  odmodnn0  19784  prmirredlem  21808  icopnfcnv  25293  lebnumii  25317  nmoleub2lem3  25466  ncvs1  25508  minveclem4  25783  mbfi1fseqlem1  26066  mbfi1fseqlem5  26070  radcnvlem1  26770  cxpaddle  27110  log2tlbnd  27303  birthdaylem3  27311  jensenlem2  27345  amgm  27348  basellem3  27440  ppiub  27561  logfac2  27574  gausslemma2dlem0d  27716  chto1ub  27833  vmadivsum  27839  rpvmasumlem  27844  dchrvmasumlem2  27855  dchrvmasumiflem1  27858  dchrisum0fno1  27868  dchrisum0re  27870  mulog2sumlem2  27892  selberg2lem  27907  pntrmax  27921  pntrsumo1  27922  pntpbnd1  27943  ostth2lem2  27991  axpaschlem  29548  axcontlem2  29573  nv1  31307  siii  31485  minvecolem4  31512  norm1  31881  strlem1  32882  unitdivcld  34603  cvmliftlem2  36218  cvmliftlem10  36226  cvmliftlem13  36228  snmlff  36261  poimirlem29  38759  poimirlem30  38760  poimirlem31  38761  poimirlem32  38762  pellexlem1  44029  pellexlem6  44034  jm2.22  44195  jm2.23  44196  stoweidlem36  47251  stoweidlem38  47253  nn0eo  49845  dignn0flhalf  49935