Theorem divge0 11853

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 11851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 86	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 428	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880   < clt 11018   ≤ cle 11019   / cdiv 11641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642

This theorem is referenced by:  mulge0b  11854  ledivp1  11886  divge0i  11893  divge0d  12821  divelunit  13235  adddivflid  13547  fldiv4p1lem1div2  13564  fldiv  13589  modid  13625  modmuladdnn0  13644  expnbnd  13956  sqrtdiv  14986  sqreulem  15080  efcllem  15796  ege2le3  15808  flodddiv4  16131  hashgcdlem  16498  fldivp1  16607  4sqlem14  16668  odmodnn0  19157  prmirredlem  20703  icopnfcnv  24114  lebnumii  24138  nmoleub2lem3  24287  ncvs1  24330  minveclem4  24605  mbfi1fseqlem1  24889  mbfi1fseqlem5  24893  radcnvlem1  25581  cxpaddle  25914  log2tlbnd  26104  birthdaylem3  26112  jensenlem2  26146  amgm  26149  basellem3  26241  ppiub  26361  logfac2  26374  gausslemma2dlem0d  26516  chto1ub  26633  vmadivsum  26639  rpvmasumlem  26644  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumiflem1  26658  dchrisum0fno1  26668  dchrisum0re  26670  mulog2sumlem2  26692  selberg2lem  26707  pntrmax  26721  pntrsumo1  26722  pntpbnd1  26743  ostth2lem2  26791  axpaschlem  27317  axcontlem2  27342  nv1  29046  siii  29224  minvecolem4  29251  norm1  29620  strlem1  30621  unitdivcld  31860  cvmliftlem2  33257  cvmliftlem10  33265  cvmliftlem13  33267  snmlff  33300  poimirlem29  35815  poimirlem30  35816  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  pellexlem1  40658  pellexlem6  40663  jm2.22  40824  jm2.23  40825  stoweidlem36  43584  stoweidlem38  43586  nn0eo  45885  dignn0flhalf  45975