Theorem divge0 11997

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 11995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 86	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 427	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012   < clt 11152   ≤ cle 11153   / cdiv 11780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781

This theorem is referenced by:  mulge0b  11998  ledivp1  12030  divge0i  12037  divge0d  12980  divelunit  13400  adddivflid  13728  fldiv4p1lem1div2  13745  fldiv  13770  modid  13806  modmuladdnn0  13828  expnbnd  14145  sqrtdiv  15178  sqreulem  15273  efcllem  15990  ege2le3  16003  flodddiv4  16332  hashgcdlem  16705  fldivp1  16815  4sqlem14  16876  odmodnn0  19458  prmirredlem  21415  icopnfcnv  24873  lebnumii  24898  nmoleub2lem3  25048  ncvs1  25090  minveclem4  25365  mbfi1fseqlem1  25649  mbfi1fseqlem5  25653  radcnvlem1  26355  cxpaddle  26695  log2tlbnd  26888  birthdaylem3  26896  jensenlem2  26931  amgm  26934  basellem3  27026  ppiub  27148  logfac2  27161  gausslemma2dlem0d  27303  chto1ub  27420  vmadivsum  27426  rpvmasumlem  27431  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumiflem1  27445  dchrisum0fno1  27455  dchrisum0re  27457  mulog2sumlem2  27479  selberg2lem  27494  pntrmax  27508  pntrsumo1  27509  pntpbnd1  27530  ostth2lem2  27578  axpaschlem  28925  axcontlem2  28950  nv1  30662  siii  30840  minvecolem4  30867  norm1  31236  strlem1  32237  unitdivcld  33921  cvmliftlem2  35337  cvmliftlem10  35345  cvmliftlem13  35347  snmlff  35380  poimirlem29  37695  poimirlem30  37696  poimirlem31  37697  poimirlem32  37698  pellexlem1  42927  pellexlem6  42932  jm2.22  43093  jm2.23  43094  stoweidlem36  46139  stoweidlem38  46141  nn0eo  48634  dignn0flhalf  48724