Theorem divge0 11498

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 11496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 86	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 431	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  mulge0b  11499  ledivp1  11531  divge0i  11538  divge0d  12459  divelunit  12872  adddivflid  13183  fldiv4p1lem1div2  13200  fldiv  13223  modid  13259  modmuladdnn0  13278  expnbnd  13589  sqrtdiv  14617  sqreulem  14711  efcllem  15423  ege2le3  15435  flodddiv4  15754  hashgcdlem  16115  fldivp1  16223  4sqlem14  16284  odmodnn0  18660  prmirredlem  20186  icopnfcnv  23547  lebnumii  23571  nmoleub2lem3  23720  ncvs1  23762  minveclem4  24036  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem5  24323  radcnvlem1  25008  cxpaddle  25341  log2tlbnd  25531  birthdaylem3  25539  jensenlem2  25573  amgm  25576  basellem3  25668  ppiub  25788  logfac2  25801  gausslemma2dlem0d  25943  chto1ub  26060  vmadivsum  26066  rpvmasumlem  26071  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0fno1  26095  dchrisum0re  26097  mulog2sumlem2  26119  selberg2lem  26134  pntrmax  26148  pntrsumo1  26149  pntpbnd1  26170  ostth2lem2  26218  axpaschlem  26734  axcontlem2  26759  nv1  28458  siii  28636  minvecolem4  28663  norm1  29032  strlem1  30033  unitdivcld  31254  cvmliftlem2  32646  cvmliftlem10  32654  cvmliftlem13  32656  snmlff  32689  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089  pellexlem1  39770  pellexlem6  39775  jm2.22  39936  jm2.23  39937  stoweidlem36  42678  stoweidlem38  42680  nn0eo  44942  dignn0flhalf  45032