MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divge0 11501
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 11499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
21biimpd 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
323exp 1113 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
43com34 91 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
54com23 86 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
65imp43 430 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cr 10528  0cc0 10529   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290
This theorem is referenced by:  mulge0b  11502  ledivp1  11534  divge0i  11541  divge0d  12463  divelunit  12872  adddivflid  13180  fldiv4p1lem1div2  13197  fldiv  13220  modid  13256  modmuladdnn0  13275  expnbnd  13585  sqrtdiv  14617  sqreulem  14711  efcllem  15423  ege2le3  15435  flodddiv4  15756  hashgcdlem  16117  fldivp1  16225  4sqlem14  16286  odmodnn0  18660  prmirredlem  20632  icopnfcnv  23538  lebnumii  23562  nmoleub2lem3  23711  ncvs1  23753  minveclem4  24027  mbfi1fseqlem1  24308  mbfi1fseqlem5  24312  radcnvlem1  24993  cxpaddle  25325  log2tlbnd  25515  birthdaylem3  25523  jensenlem2  25557  amgm  25560  basellem3  25652  ppiub  25772  logfac2  25785  gausslemma2dlem0d  25927  chto1ub  26044  vmadivsum  26050  rpvmasumlem  26055  dchrvmasumlem2  26066  dchrvmasumiflem1  26069  dchrisum0fno1  26079  dchrisum0re  26081  mulog2sumlem2  26103  selberg2lem  26118  pntrmax  26132  pntrsumo1  26133  pntpbnd1  26154  ostth2lem2  26202  axpaschlem  26718  axcontlem2  26743  nv1  28444  siii  28622  minvecolem4  28649  norm1  29018  strlem1  30019  unitdivcld  31132  cvmliftlem2  32521  cvmliftlem10  32529  cvmliftlem13  32531  snmlff  32564  poimirlem29  34908  poimirlem30  34909  poimirlem31  34910  poimirlem32  34911  pellexlem1  39411  pellexlem6  39416  jm2.22  39577  jm2.23  39578  stoweidlem36  42306  stoweidlem38  42308  nn0eo  44573  dignn0flhalf  44663
  Copyright terms: Public domain W3C validator