Theorem divge0 12090

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 12088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 92	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 432	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878

This theorem is used by:  mulge0b  12091  ledivp1  12123  divge0i  12130  divge0d  13106  divelunit  13527  nnge2recico01  13540  adddivflid  13858  fldiv4p1lem1div2  13875  fldiv  13900  modid  13936  modmuladdnn0  13958  expnbnd  14275  sqrtdiv  15323  sqreulem  15418  efcllem  16137  ege2le3  16150  flodddiv4  16479  hashgcdlem  16853  fldivp1  16963  4sqlem14  17024  odmodnn0  19616  prmirredlem  21633  icopnfcnv  25112  lebnumii  25136  nmoleub2lem3  25285  ncvs1  25327  minveclem4  25602  mbfi1fseqlem1  25885  mbfi1fseqlem5  25889  radcnvlem1  26587  cxpaddle  26928  log2tlbnd  27121  birthdaylem3  27129  jensenlem2  27163  amgm  27166  basellem3  27258  ppiub  27379  logfac2  27392  gausslemma2dlem0d  27534  chto1ub  27651  vmadivsum  27657  rpvmasumlem  27662  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumiflem1  27676  dchrisum0fno1  27686  dchrisum0re  27688  mulog2sumlem2  27710  selberg2lem  27725  pntrmax  27739  pntrsumo1  27740  pntpbnd1  27761  ostth2lem2  27809  axpaschlem  29301  axcontlem2  29326  nv1  31038  siii  31216  minvecolem4  31243  norm1  31612  strlem1  32613  unitdivcld  34300  cvmliftlem2  35786  cvmliftlem10  35794  cvmliftlem13  35796  snmlff  35829  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem31  38330  poimirlem32  38331  pellexlem1  43584  pellexlem6  43589  jm2.22  43750  jm2.23  43751  stoweidlem36  46778  stoweidlem38  46780  nn0eo  49336  dignn0flhalf  49426