Theorem divge0 11512

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 11510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 91	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 86	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 430	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540   < clt 10678   ≤ cle 10679   / cdiv 11300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301

This theorem is referenced by:  mulge0b  11513  ledivp1  11545  divge0i  11552  divge0d  12474  divelunit  12883  adddivflid  13191  fldiv4p1lem1div2  13208  fldiv  13231  modid  13267  modmuladdnn0  13286  expnbnd  13596  sqrtdiv  14628  sqreulem  14722  efcllem  15434  ege2le3  15446  flodddiv4  15767  hashgcdlem  16128  fldivp1  16236  4sqlem14  16297  odmodnn0  18671  prmirredlem  20643  icopnfcnv  23549  lebnumii  23573  nmoleub2lem3  23722  ncvs1  23764  minveclem4  24038  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem5  24323  radcnvlem1  25004  cxpaddle  25336  log2tlbnd  25526  birthdaylem3  25534  jensenlem2  25568  amgm  25571  basellem3  25663  ppiub  25783  logfac2  25796  gausslemma2dlem0d  25938  chto1ub  26055  vmadivsum  26061  rpvmasumlem  26066  dchrvmasumlem2  26077  dchrvmasumiflem1  26080  dchrisum0fno1  26090  dchrisum0re  26092  mulog2sumlem2  26114  selberg2lem  26129  pntrmax  26143  pntrsumo1  26144  pntpbnd1  26165  ostth2lem2  26213  axpaschlem  26729  axcontlem2  26754  nv1  28455  siii  28633  minvecolem4  28660  norm1  29029  strlem1  30030  unitdivcld  31148  cvmliftlem2  32537  cvmliftlem10  32545  cvmliftlem13  32547  snmlff  32580  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem31  34927  poimirlem32  34928  pellexlem1  39432  pellexlem6  39437  jm2.22  39598  jm2.23  39599  stoweidlem36  42328  stoweidlem38  42330  nn0eo  44595  dignn0flhalf  44685