MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divge0 11148
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 11146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
21biimpd 220 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
323exp 1148 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
43com34 91 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
54com23 86 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
65imp43 418 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107  wcel 2155   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  cr 10190  0cc0 10191   < clt 10330  cle 10331   / cdiv 10940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941
This theorem is referenced by:  mulge0b  11149  ledivp1  11181  divge0i  11189  divge0d  12113  divelunit  12524  adddivflid  12830  fldiv4p1lem1div2  12847  fldiv  12870  modid  12906  modmuladdnn0  12925  expnbnd  13203  sqrtdiv  14294  sqreulem  14387  efcllem  15093  ege2le3  15105  flodddiv4  15421  hashgcdlem  15775  fldivp1  15883  4sqlem14  15944  odmodnn0  18226  prmirredlem  20117  icopnfcnv  23023  lebnumii  23047  nmoleub2lem3  23196  ncvs1  23238  minveclem4  23495  mbfi1fseqlem1  23776  mbfi1fseqlem5  23780  radcnvlem1  24461  cxpaddle  24787  leibpilem1  24961  log2tlbnd  24966  birthdaylem3  24974  jensenlem2  25008  amgm  25011  basellem3  25103  ppiub  25223  logfac2  25236  gausslemma2dlem0d  25378  chto1ub  25459  vmadivsum  25465  rpvmasumlem  25470  dchrvmasumlem2  25481  dchrvmasumiflem1  25484  dchrisum0fno1  25494  dchrisum0re  25496  mulog2sumlem2  25518  selberg2lem  25533  pntrmax  25547  pntrsumo1  25548  pntpbnd1  25569  ostth2lem2  25617  axpaschlem  26114  axcontlem2  26139  nv1  27989  siii  28167  minvecolem4  28195  norm1  28565  strlem1  29568  unitdivcld  30397  cvmliftlem2  31719  cvmliftlem10  31727  cvmliftlem13  31729  snmlff  31762  poimirlem29  33865  poimirlem30  33866  poimirlem31  33867  poimirlem32  33868  pellexlem1  38074  pellexlem6  38079  jm2.22  38242  jm2.23  38243  stoweidlem36  40893  stoweidlem38  40895  nn0eo  42994  dignn0flhalf  43084
  Copyright terms: Public domain W3C validator