Theorem divge0 12075

Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)

Assertion

Ref	Expression
divge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ge0div 12073	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
2	1	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
3	2	3exp 1135	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
4	3	com34 92	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
5	4	com23 87	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
6	5	imp43 432	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  0cc0 11088   < clt 11231   ≤ cle 11232   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  mulge0b  12076  ledivp1  12108  divge0i  12115  divge0d  13091  divelunit  13512  nnge2recico01  13525  adddivflid  13842  fldiv4p1lem1div2  13859  fldiv  13884  modid  13920  modmuladdnn0  13942  expnbnd  14259  sqrtdiv  15306  sqreulem  15401  efcllem  16121  ege2le3  16134  flodddiv4  16463  hashgcdlem  16837  fldivp1  16947  4sqlem14  17008  odmodnn0  19601  prmirredlem  21582  icopnfcnv  25062  lebnumii  25086  nmoleub2lem3  25235  ncvs1  25277  minveclem4  25552  mbfi1fseqlem1  25835  mbfi1fseqlem5  25839  radcnvlem1  26534  cxpaddle  26875  log2tlbnd  27068  birthdaylem3  27076  jensenlem2  27110  amgm  27113  basellem3  27205  ppiub  27326  logfac2  27339  gausslemma2dlem0d  27481  chto1ub  27598  vmadivsum  27604  rpvmasumlem  27609  dchrvmasumlem2  27620  dchrvmasumiflem1  27623  dchrisum0fno1  27633  dchrisum0re  27635  mulog2sumlem2  27657  selberg2lem  27672  pntrmax  27686  pntrsumo1  27687  pntpbnd1  27708  ostth2lem2  27756  axpaschlem  29199  axcontlem2  29224  nv1  30936  siii  31114  minvecolem4  31141  norm1  31510  strlem1  32511  unitdivcld  34208  cvmliftlem2  35649  cvmliftlem10  35657  cvmliftlem13  35659  snmlff  35692  poimirlem29  38160  poimirlem30  38161  poimirlem31  38162  poimirlem32  38163  pellexlem1  43418  pellexlem6  43423  jm2.22  43584  jm2.23  43585  stoweidlem36  46608  stoweidlem38  46610  nn0eo  49159  dignn0flhalf  49249