MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divge0 12029
Description: The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
divge0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem divge0
StepHypRef Expression
1 ge0div 12027 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
21biimpd 228 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))
323exp 1120 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
43com34 91 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
54com23 86 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (𝐵 ∈ ℝ → (0 < 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵)))))
65imp43 429 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055  0cc0 11056   < clt 11194  cle 11195   / cdiv 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by:  mulge0b  12030  ledivp1  12062  divge0i  12069  divge0d  13002  divelunit  13417  adddivflid  13729  fldiv4p1lem1div2  13746  fldiv  13771  modid  13807  modmuladdnn0  13826  expnbnd  14141  sqrtdiv  15156  sqreulem  15250  efcllem  15965  ege2le3  15977  flodddiv4  16300  hashgcdlem  16665  fldivp1  16774  4sqlem14  16835  odmodnn0  19327  prmirredlem  20909  icopnfcnv  24321  lebnumii  24345  nmoleub2lem3  24494  ncvs1  24537  minveclem4  24812  mbfi1fseqlem1  25096  mbfi1fseqlem5  25100  radcnvlem1  25788  cxpaddle  26121  log2tlbnd  26311  birthdaylem3  26319  jensenlem2  26353  amgm  26356  basellem3  26448  ppiub  26568  logfac2  26581  gausslemma2dlem0d  26723  chto1ub  26840  vmadivsum  26846  rpvmasumlem  26851  dchrvmasumlem2  26862  dchrvmasumiflem1  26865  dchrisum0fno1  26875  dchrisum0re  26877  mulog2sumlem2  26899  selberg2lem  26914  pntrmax  26928  pntrsumo1  26929  pntpbnd1  26950  ostth2lem2  26998  axpaschlem  27931  axcontlem2  27956  nv1  29659  siii  29837  minvecolem4  29864  norm1  30233  strlem1  31234  unitdivcld  32539  cvmliftlem2  33937  cvmliftlem10  33945  cvmliftlem13  33947  snmlff  33980  poimirlem29  36153  poimirlem30  36154  poimirlem31  36155  poimirlem32  36156  pellexlem1  41195  pellexlem6  41200  jm2.22  41362  jm2.23  41363  stoweidlem36  44363  stoweidlem38  44365  nn0eo  46700  dignn0flhalf  46790
  Copyright terms: Public domain W3C validator