MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1 12097
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem lemul1
StepHypRef Expression
1 ltmul1 12095 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
2 recn 11229 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 recn 11229 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 recn 11229 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
54adantr 480 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6 gt0ne0 11710 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
75, 6jca 511 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
8 mulcan2 11883 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
92, 3, 7, 8syl3an 1158 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
109bicomd 222 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))
111, 10orbi12d 917 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))))
12 leloe 11331 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
13123adant3 1130 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
14 remulcl 11224 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
15143adant2 1129 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
16 remulcl 11224 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
17163adant1 1128 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
1815, 17leloed 11388 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))))
19183adant3r 1179 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))))
2011, 13, 193bitr4d 311 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478
This theorem is referenced by:  lemul2  12098  lemul1a  12099  lediv23  12137  lemul1i  12167  ledivp1i  12170  div4p1lem1div2  12498  lemul1d  13092  xlemul1a  13300  iccdil  13500  expgt1  14098  sqlecan  14205  facubnd  14292  01sqrexlem2  15223  01sqrexlem6  15227  eirrlem  16181  mbfi1fseqlem3  25660  mbfi1fseqlem4  25661  mbfi1fseqlem5  25662  itg2monolem3  25695  atans2  26876  log2tlbnd  26890  fsumfldivdiaglem  27134  chtublem  27157  bposlem2  27231  bposlem5  27234  gausslemma2dlem2  27313  2lgslem1a1  27335  selberglem2  27492  pntpbnd1a  27531  pntpbnd2  27533  ostth2lem3  27581  htthlem  30740  cnlnadjlem7  31896  bfplem1  37295  jm2.24nn  42380  jm3.1lem2  42439  stoweidlem14  45402  stoweidlem26  45414  stoweidlem34  45422  fmtno4prmfac  46912
  Copyright terms: Public domain W3C validator