![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
lemul1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmul1 12063 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) | |
2 | recn 11199 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
3 | recn 11199 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
4 | recn 11199 | . . . . . . 7 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | 4 | adantr 481 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ ๐ถ โ โ) |
6 | gt0ne0 11678 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ ๐ถ โ 0) | |
7 | 5, 6 | jca 512 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) |
8 | mulcan2 11851 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) | |
9 | 2, 3, 7, 8 | syl3an 1160 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) |
10 | 9 | bicomd 222 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด = ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))) |
11 | 1, 10 | orbi12d 917 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด < ๐ต โจ ๐ด = ๐ต) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))) |
12 | leloe 11299 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด < ๐ต โจ ๐ด = ๐ต))) | |
13 | 12 | 3adant3 1132 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด < ๐ต โจ ๐ด = ๐ต))) |
14 | remulcl 11194 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) | |
15 | 14 | 3adant2 1131 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
16 | remulcl 11194 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) | |
17 | 16 | 3adant1 1130 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) |
18 | 15, 17 | leloed 11356 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))) |
19 | 18 | 3adant3r 1181 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))) |
20 | 11, 13, 19 | 3bitr4d 310 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 396 โจ wo 845 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 class class class wbr 5148 (class class class)co 7408 โcc 11107 โcr 11108 0cc0 11109 ยท cmul 11114 < clt 11247 โค cle 11248 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-po 5588 df-so 5589 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 |
This theorem is referenced by: lemul2 12066 lemul1a 12067 lediv23 12105 lemul1i 12135 ledivp1i 12138 div4p1lem1div2 12466 lemul1d 13058 xlemul1a 13266 iccdil 13466 expgt1 14065 sqlecan 14172 facubnd 14259 01sqrexlem2 15189 01sqrexlem6 15193 eirrlem 16146 mbfi1fseqlem3 25234 mbfi1fseqlem4 25235 mbfi1fseqlem5 25236 itg2monolem3 25269 atans2 26433 log2tlbnd 26447 fsumfldivdiaglem 26690 chtublem 26711 bposlem2 26785 bposlem5 26788 gausslemma2dlem2 26867 2lgslem1a1 26889 selberglem2 27046 pntpbnd1a 27085 pntpbnd2 27087 ostth2lem3 27135 htthlem 30165 cnlnadjlem7 31321 bfplem1 36685 jm2.24nn 41688 jm3.1lem2 41747 stoweidlem14 44720 stoweidlem26 44732 stoweidlem34 44740 fmtno4prmfac 46230 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |