![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lemul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.) |
Ref | Expression |
---|---|
lemul1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmul1 12013 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) | |
2 | recn 11149 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
3 | recn 11149 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
4 | recn 11149 | . . . . . . 7 โข (๐ถ โ โ โ ๐ถ โ โ) | |
5 | 4 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ ๐ถ โ โ) |
6 | gt0ne0 11628 | . . . . . 6 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ ๐ถ โ 0) | |
7 | 5, 6 | jca 513 | . . . . 5 โข ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โ (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) |
8 | mulcan2 11801 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง ๐ถ โ 0)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) | |
9 | 2, 3, 7, 8 | syl3an 1161 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด = ๐ต)) |
10 | 9 | bicomd 222 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด = ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))) |
11 | 1, 10 | orbi12d 918 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด < ๐ต โจ ๐ด = ๐ต) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))) |
12 | leloe 11249 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด < ๐ต โจ ๐ด = ๐ต))) | |
13 | 12 | 3adant3 1133 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด < ๐ต โจ ๐ด = ๐ต))) |
14 | remulcl 11144 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) | |
15 | 14 | 3adant2 1132 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
16 | remulcl 11144 | . . . . 5 โข ((๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) | |
17 | 16 | 3adant1 1131 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) |
18 | 15, 17 | leloed 11306 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ถ โ โ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))) |
19 | 18 | 3adant3r 1182 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))) |
20 | 11, 13, 19 | 3bitr4d 311 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โจ wo 846 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 class class class wbr 5109 (class class class)co 7361 โcc 11057 โcr 11058 0cc0 11059 ยท cmul 11064 < clt 11197 โค cle 11198 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-id 5535 df-po 5549 df-so 5550 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 |
This theorem is referenced by: lemul2 12016 lemul1a 12017 lediv23 12055 lemul1i 12085 ledivp1i 12088 div4p1lem1div2 12416 lemul1d 13008 xlemul1a 13216 iccdil 13416 expgt1 14015 sqlecan 14122 facubnd 14209 01sqrexlem2 15137 01sqrexlem6 15141 eirrlem 16094 mbfi1fseqlem3 25105 mbfi1fseqlem4 25106 mbfi1fseqlem5 25107 itg2monolem3 25140 atans2 26304 log2tlbnd 26318 fsumfldivdiaglem 26561 chtublem 26582 bposlem2 26656 bposlem5 26659 gausslemma2dlem2 26738 2lgslem1a1 26760 selberglem2 26917 pntpbnd1a 26956 pntpbnd2 26958 ostth2lem3 27006 htthlem 29908 cnlnadjlem7 31064 bfplem1 36331 jm2.24nn 41330 jm3.1lem2 41389 stoweidlem14 44345 stoweidlem26 44357 stoweidlem34 44365 fmtno4prmfac 45854 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |