MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul1 12015
Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
lemul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem lemul1
StepHypRef Expression
1 ltmul1 12013 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
2 recn 11149 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3 recn 11149 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 recn 11149 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
54adantr 482 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6 gt0ne0 11628 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ๐ถ โ‰  0)
75, 6jca 513 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0))
8 mulcan2 11801 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
92, 3, 7, 8syl3an 1161 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
109bicomd 222 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))
111, 10orbi12d 918 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))))
12 leloe 11249 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
13123adant3 1133 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด < ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต)))
14 remulcl 11144 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
15143adant2 1132 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
16 remulcl 11144 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
17163adant1 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
1815, 17leloed 11306 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))))
19183adant3r 1182 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))))
2011, 13, 193bitr4d 311 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396
This theorem is referenced by:  lemul2  12016  lemul1a  12017  lediv23  12055  lemul1i  12085  ledivp1i  12088  div4p1lem1div2  12416  lemul1d  13008  xlemul1a  13216  iccdil  13416  expgt1  14015  sqlecan  14122  facubnd  14209  01sqrexlem2  15137  01sqrexlem6  15141  eirrlem  16094  mbfi1fseqlem3  25105  mbfi1fseqlem4  25106  mbfi1fseqlem5  25107  itg2monolem3  25140  atans2  26304  log2tlbnd  26318  fsumfldivdiaglem  26561  chtublem  26582  bposlem2  26656  bposlem5  26659  gausslemma2dlem2  26738  2lgslem1a1  26760  selberglem2  26917  pntpbnd1a  26956  pntpbnd2  26958  ostth2lem3  27006  htthlem  29908  cnlnadjlem7  31064  bfplem1  36331  jm2.24nn  41330  jm3.1lem2  41389  stoweidlem14  44345  stoweidlem26  44357  stoweidlem34  44365  fmtno4prmfac  45854
  Copyright terms: Public domain W3C validator