Theorem lenegcon1 10856

Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
lenegcon1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem lenegcon1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10665	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		leneg 10855	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
3	1, 2	sylan 577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
4		recn 10342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	negnegd 10704	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
6	5	breq2d 4885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
7	6	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
8	3, 7	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873  ℝcr 10251   ≤ cle 10392  -cneg 10586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588

This theorem is referenced by:  lenegcon1i  10904  lenegcon1d  10934  fiminre  11302  ublbneg  12056  zmax  12068  absle  14432  lenegsq  14437  abs2difabs  14451  o1lo1  14645  infcvgaux2i  14964  sinbnd  15282  cosbnd  15283  xrhmeo  23115  logcj  24751  asinneg  25026