MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lenegcon1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lenegcon1 10856
Description: Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
lenegcon1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))

Proof of Theorem lenegcon1
StepHypRef Expression
1 renegcl 10665 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 leneg 10855 . . 3 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
31, 2sylan 577 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵 ≤ --𝐴))
4 recn 10342 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
54negnegd 10704 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
65breq2d 4885 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵𝐴))
76adantr 474 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ --𝐴 ↔ -𝐵𝐴))
83, 7bitrd 271 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴𝐵 ↔ -𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2166   class class class wbr 4873  cr 10251  cle 10392  -cneg 10586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588
This theorem is referenced by:  lenegcon1i  10904  lenegcon1d  10934  fiminre  11302  ublbneg  12056  zmax  12068  absle  14432  lenegsq  14437  abs2difabs  14451  o1lo1  14645  infcvgaux2i  14964  sinbnd  15282  cosbnd  15283  xrhmeo  23115  logcj  24751  asinneg  25026
  Copyright terms: Public domain W3C validator