Theorem absle 15351

Description: Absolute value and 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
absle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Proof of Theorem absle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	renegcld 11688	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1	recnd 11287	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		abscl 15314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		leabs 15335	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
8	2, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
9		absneg 15313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
10	3, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
11	8, 10	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵)
13	2, 5, 6, 11, 12	letrd 11416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → -𝐴 ≤ 𝐵)
14		leabs 15335	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
15	14	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	1, 5, 6, 15, 12	letrd 11416	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
17	13, 16	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (abs‘𝐴) ≤ 𝐵) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
18	17	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 → (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
19		absor 15336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴))
21		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
22	21	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
23		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ -𝐴 ≤ 𝐵))
24	23	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((abs‘𝐴) = -𝐴 → (-𝐴 ≤ 𝐵 → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
25	22, 24	jaoa 957	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ -𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
26	25	ancomsd 465	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abs‘𝐴) = -𝐴) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
27	20, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (abs‘𝐴) ≤ 𝐵))
28	18, 27	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
29		lenegcon1 11765	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ 𝐴))
30	29	anbi1d 631	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
31	28, 30	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ 𝐵 ↔ (-𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ℂcc 11151  ℝcr 11152   ≤ cle 11294  -cneg 11491  abscabs 15270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272

This theorem is referenced by:  absdifle  15354  lenegsq  15356  abs2difabs  15370  abslei  15427  absled  15466  volsup2  25654  efif1olem3  26601  argregt0  26667  argrege0  26668  abscxpbnd  26811  lgseisen  27438  ftc1anclem1  37680  pellexlem5  42821  rexabslelem  45368