Theorem sinbnd 16198

Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
sinbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem sinbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recoscl 16159	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 14155	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((cos‘𝐴)↑2))
3		resincl 16158	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 14143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 14143	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge01d 11825	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((cos‘𝐴)↑2) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8		recn 11219	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sincossq 16194	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11		sq1 14213	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
12	10, 11	eqtr4di 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
13	7, 12	breqtrd 5145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 11760	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
16		lenegsq 15339	. . . . . 6 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(sin‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
17	14, 15, 16	mp3an23 1455	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(sin‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18		lenegcon1 11741	. . . . . . 7 ⊢ (((sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(sin‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (sin‘𝐴)))
19	14, 18	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (-(sin‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (sin‘𝐴)))
20	19	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(sin‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴))))
21	17, 20	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ ((sin‘𝐴) ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴))))
22	3, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴))))
23	13, 22	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (sin‘𝐴)))
24	23	ancomd 461	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270  -cneg 11467  2c2 12295  ↑cexp 14079  sincsin 16079  cosccos 16080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086

This theorem is referenced by:  sinbnd2  16200  sinltx  16207  abssinbd  45324  wallispilem1  46094