MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinbnd 16128
Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sinbnd (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) ≀ 1))

Proof of Theorem sinbnd
StepHypRef Expression
1 recoscl 16089 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
21sqge0d 14105 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((cosβ€˜π΄)↑2))
3 resincl 16088 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43resqcld 14093 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
51resqcld 14093 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
64, 5addge01d 11803 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ ((cosβ€˜π΄)↑2) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2))))
72, 6mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)))
8 recn 11199 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9 sincossq 16124 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
11 sq1 14162 . . . . 5 (1↑2) = 1
1210, 11eqtr4di 2784 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1↑2))
137, 12breqtrd 5167 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2))
14 1re 11215 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 0le1 11738 . . . . . 6 0 ≀ 1
16 lenegsq 15271 . . . . . 6 (((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(sinβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2)))
1714, 15, 16mp3an23 1449 . . . . 5 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(sinβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2)))
18 lenegcon1 11719 . . . . . . 7 (((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (-(sinβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ -1 ≀ (sinβ€˜π΄)))
1914, 18mpan2 688 . . . . . 6 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (-(sinβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ -1 ≀ (sinβ€˜π΄)))
2019anbi2d 628 . . . . 5 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(sinβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄))))
2117, 20bitr3d 281 . . . 4 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2) ↔ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄))))
223, 21syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2) ↔ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄))))
2313, 22mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄)))
2423ancomd 461 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) ≀ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ≀ cle 11250  -cneg 11446  2c2 12268  β†‘cexp 14030  sincsin 16011  cosccos 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018
This theorem is referenced by:  sinbnd2  16130  sinltx  16137  abssinbd  44558  wallispilem1  45334
  Copyright terms: Public domain W3C validator