MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinbnd 16164
Description: The sine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sinbnd (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) ≀ 1))

Proof of Theorem sinbnd
StepHypRef Expression
1 recoscl 16125 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
21sqge0d 14141 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 0 ≀ ((cosβ€˜π΄)↑2))
3 resincl 16124 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
43resqcld 14129 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
51resqcld 14129 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ ℝ)
64, 5addge01d 11840 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (0 ≀ ((cosβ€˜π΄)↑2) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2))))
72, 6mpbid 231 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)))
8 recn 11236 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
9 sincossq 16160 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
11 sq1 14198 . . . . 5 (1↑2) = 1
1210, 11eqtr4di 2786 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = (1↑2))
137, 12breqtrd 5178 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2))
14 1re 11252 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 0le1 11775 . . . . . 6 0 ≀ 1
16 lenegsq 15307 . . . . . 6 (((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) β†’ (((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(sinβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2)))
1714, 15, 16mp3an23 1449 . . . . 5 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(sinβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2)))
18 lenegcon1 11756 . . . . . . 7 (((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (-(sinβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ -1 ≀ (sinβ€˜π΄)))
1914, 18mpan2 689 . . . . . 6 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (-(sinβ€˜π΄) ≀ 1 ↔ -1 ≀ (sinβ€˜π΄)))
2019anbi2d 628 . . . . 5 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -(sinβ€˜π΄) ≀ 1) ↔ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄))))
2117, 20bitr3d 280 . . . 4 ((sinβ€˜π΄) ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2) ↔ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄))))
223, 21syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) ≀ (1↑2) ↔ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄))))
2313, 22mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((sinβ€˜π΄) ≀ 1 ∧ -1 ≀ (sinβ€˜π΄)))
2423ancomd 460 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-1 ≀ (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) ≀ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ≀ cle 11287  -cneg 11483  2c2 12305  β†‘cexp 14066  sincsin 16047  cosccos 16048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054
This theorem is referenced by:  sinbnd2  16166  sinltx  16173  abssinbd  44706  wallispilem1  45482
  Copyright terms: Public domain W3C validator