MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosbnd 15533
Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
cosbnd (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem cosbnd
StepHypRef Expression
1 resincl 15492 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
21sqge0d 13611 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2))
3 recoscl 15493 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
43resqcld 13610 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
51resqcld 13610 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
64, 5addge02d 11228 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
72, 6mpbid 234 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8 recn 10626 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9 sincossq 15528 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11 sq1 13557 . . . . 5 (1↑2) = 1
1210, 11syl6eqr 2874 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
137, 12breqtrd 5091 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14 1re 10640 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
15 0le1 11162 . . . . . 6 0 ≤ 1
16 lenegsq 14679 . . . . . 6 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
1714, 15, 16mp3an23 1449 . . . . 5 ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18 lenegcon1 11143 . . . . . . 7 (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
1914, 18mpan2 689 . . . . . 6 ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
2019anbi2d 630 . . . . 5 ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
2117, 20bitr3d 283 . . . 4 ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
223, 21syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
2313, 22mpbid 234 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
2423ancomd 464 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539  cle 10675  -cneg 10870  2c2 11691  cexp 13428  sincsin 15416  cosccos 15417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423
This theorem is referenced by:  cosbnd2  15535  cos02pilt1  25110  sin2h  34881  cos2h  34882  tan2h  34883  abscosbd  41544
  Copyright terms: Public domain W3C validator