Theorem cosbnd 16238

Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem cosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincl 16197	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 14175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2))
3		recoscl 16198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 14163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 14163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge02d 11804	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8		recn 11191	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sincossq 16233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	8, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11		sq1 14233	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
12	10, 11	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
13	7, 12	breqtrd 5138	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14		1re 11209	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 11738	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
16		lenegsq 15374	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
17	14, 15, 16	mp3an23 1482	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18		lenegcon1 11719	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
19	14, 18	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
20	19	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
21	17, 20	bitr3d 284	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
22	3, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
23	13, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
24	23	ancomd 466	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   ≤ cle 11245  -cneg 11443  2c2 12296  ↑cexp 14099  sincsin 16118  cosccos 16119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125

This theorem is referenced by:  cosbnd2  16240  cos02pilt1  26669  sin2h  38239  cos2h  38240  tan2h  38241  abscosbd  45978