Theorem cosbnd 15247

Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem cosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincl 15206	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 13292	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2))
3		recoscl 15207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 13291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 13291	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge02d 10908	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 224	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8		recn 10314	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sincossq 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11		sq1 13212	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
12	10, 11	syl6eqr 2851	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
13	7, 12	breqtrd 4869	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14		1re 10328	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 10843	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
16		lenegsq 14401	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
17	14, 15, 16	mp3an23 1578	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18		lenegcon1 10824	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
19	14, 18	mpan2 683	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
20	19	anbi2d 623	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
21	17, 20	bitr3d 273	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
22	3, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
23	13, 22	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
24	23	ancomd 454	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  ℝcr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   ≤ cle 10364  -cneg 10557  2c2 11368  ↑cexp 13114  sincsin 15130  cosccos 15131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-ico 12430  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-sin 15136  df-cos 15137

This theorem is referenced by:  cosbnd2  15249  sin2h  33888  cos2h  33889  tan2h  33890  abscosbd  40236