Theorem cosbnd 15901

Description: The cosine of a real number lies between -1 and 1. Equation 18 of [Gleason] p. 311. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cosbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Proof of Theorem cosbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincl 15860	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	sqge0d 13977	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2))
3		recoscl 15861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	resqcld 13976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
5	1	resqcld 13976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
6	4, 5	addge02d 11575	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ ((sin‘𝐴)↑2) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2))))
7	2, 6	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
8		recn 10972	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
9		sincossq 15896	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
11		sq1 13923	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
12	10, 11	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (1↑2))
13	7, 12	breqtrd 5105	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2))
14		1re 10986	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
15		0le1 11509	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
16		lenegsq 15043	. . . . . 6 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
17	14, 15, 16	mp3an23 1452	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2)))
18		lenegcon1 11490	. . . . . . 7 ⊢ (((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
19	14, 18	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (-(cos‘𝐴) ≤ 1 ↔ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
20	19	anbi2d 629	. . . . 5 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -(cos‘𝐴) ≤ 1) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
21	17, 20	bitr3d 280	. . . 4 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
22	3, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴)↑2) ≤ (1↑2) ↔ ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴))))
23	13, 22	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ≤ 1 ∧ -1 ≤ (cos‘𝐴)))
24	23	ancomd 462	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-1 ≤ (cos‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  ℂcc 10880  ℝcr 10881  0cc0 10882  1c1 10883   + caddc 10885   ≤ cle 11021  -cneg 11217  2c2 12039  ↑cexp 13793  sincsin 15784  cosccos 15785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-rp 12742  df-ico 13096  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-bc 14028  df-hash 14056  df-shft 14789  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-limsup 15191  df-clim 15208  df-rlim 15209  df-sum 15409  df-ef 15788  df-sin 15790  df-cos 15791

This theorem is referenced by:  cosbnd2  15903  cos02pilt1  25693  sin2h  35776  cos2h  35777  tan2h  35778  abscosbd  42799