Theorem logcj 26898

Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logcj	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Proof of Theorem logcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
2		im0 15288	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2987	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26860	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efcj 16226	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
9		eflog 26868	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	4, 9	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6877	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(exp‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
12	8, 11	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
13		cjcl 15240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
16	15, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
17		cjne0 15298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
19	16, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ≠ 0)
20	6	cjcld 15331	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21	6	imcld 15330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22		pire 26747	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ∈ ℝ)
24		logimcl 26861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
25	4, 24	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
26	25	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
27		rpre 13099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
28	27	renegcld 11713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
29		negneg 11580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
31	30	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
32	28, 31	imbitrid 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
33		lognegb 26882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
34	4, 33	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
35		reim0b 15254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
37	32, 34, 36	3imtr3d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
38	37	necon3d 2976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
39	15, 38	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
40	39	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
41	21, 23, 26, 40	leneltd 11436	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
42		ltneg 11786	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
43	21, 22, 42	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	41, 43	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
45	6	imcjd 15340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
46	44, 45	breqtrrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
47	25	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
48	22	renegcli 11591	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
49		ltle 11370	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
50	48, 21, 49	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
51	47, 50	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
52		lenegcon1 11790	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
53	22, 21, 52	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	51, 53	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
55	45, 54	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π)
56		ellogrn 26851	. . . 4 ⊢ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π))
57	20, 46, 55, 56	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log)
58		logeftb 26875	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ≠ 0 ∧ (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
59	14, 19, 57, 58	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
60	12, 59	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ran crn 5648  ‘cfv 6527  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172   < clt 11315   ≤ cle 11316  -cneg 11514  ℝ⁺crp 13090  ∗ccj 15231  ℑcim 15233  expce 16195  πcpi 16200  logclog 26846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-hash 14443  df-shft 15188  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-limsup 15606  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-ef 16201  df-sin 16203  df-cos 16204  df-pi 16206  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-lp 23416  df-perf 23417  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-haus 23595  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cncf 25161  df-limc 26148  df-dv 26149  df-log 26848

This theorem is used by:  argimlt0  26905  isosctrlem2  27111  atancj  27202  argcj  33274