Theorem logcj 26844

Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logcj	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Proof of Theorem logcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
2		im0 15242	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2989	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efcj 16182	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
9		eflog 26814	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	4, 9	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(exp‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
12	8, 11	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
13		cjcl 15194	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
15		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
16	15, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
17		cjne0 15252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
19	16, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ≠ 0)
20	6	cjcld 15285	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21	6	imcld 15284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22		pire 26692	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ∈ ℝ)
24		logimcl 26807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
25	4, 24	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
26	25	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
27		rpre 13053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
28	27	renegcld 11668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
29		negneg 11535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
30	29	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
31	30	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
32	28, 31	imbitrid 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
33		lognegb 26828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
34	4, 33	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
35		reim0b 15208	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
36	35	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
37	32, 34, 36	3imtr3d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
38	37	necon3d 2978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
39	15, 38	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
40	39	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
41	21, 23, 26, 40	leneltd 11391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
42		ltneg 11741	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
43	21, 22, 42	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	41, 43	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
45	6	imcjd 15294	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
46	44, 45	breqtrrd 5137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
47	25	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
48	22	renegcli 11546	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
49		ltle 11325	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
50	48, 21, 49	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
51	47, 50	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
52		lenegcon1 11745	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
53	22, 21, 52	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	51, 53	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
55	45, 54	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π)
56		ellogrn 26797	. . . 4 ⊢ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π))
57	20, 46, 55, 56	syl3anbrc 1362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log)
58		logeftb 26821	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ≠ 0 ∧ (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
59	14, 19, 57, 58	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
60	12, 59	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ran crn 5660  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11270   ≤ cle 11271  -cneg 11469  ℝ⁺crp 13044  ∗ccj 15185  ℑcim 15187  expce 16151  πcpi 16156  logclog 26792

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-lp 23365  df-perf 23366  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-haus 23544  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cncf 25110  df-limc 26098  df-dv 26099  df-log 26794

This theorem is used by:  argimlt0  26851  isosctrlem2  27057  atancj  27148  argcj  33221