Theorem logcj 26747

Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logcj	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Proof of Theorem logcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
2		im0 15204	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2988	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26709	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efcj 16145	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
9		eflog 26717	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	4, 9	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(exp‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
12	8, 11	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
13		cjcl 15156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
15		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
16	15, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
17		cjne0 15214	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
18	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
19	16, 18	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ≠ 0)
20	6	cjcld 15247	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21	6	imcld 15246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22		pire 26595	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ∈ ℝ)
24		logimcl 26710	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
25	4, 24	sylan2 604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
26	25	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
27		rpre 13024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
28	27	renegcld 11640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
29		negneg 11507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
30	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
31	30	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
32	28, 31	imbitrid 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
33		lognegb 26731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
34	4, 33	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
35		reim0b 15170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
36	35	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
37	32, 34, 36	3imtr3d 296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
38	37	necon3d 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
39	15, 38	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
40	39	necomd 3011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
41	21, 23, 26, 40	leneltd 11363	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
42		ltneg 11713	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
43	21, 22, 42	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	41, 43	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
45	6	imcjd 15256	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
46	44, 45	breqtrrd 5138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
47	25	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
48	22	renegcli 11518	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
49		ltle 11297	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
50	48, 21, 49	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
51	47, 50	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
52		lenegcon1 11717	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
53	22, 21, 52	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	51, 53	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
55	45, 54	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π)
56		ellogrn 26700	. . . 4 ⊢ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π))
57	20, 46, 55, 56	syl3anbrc 1360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log)
58		logeftb 26724	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ≠ 0 ∧ (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
59	14, 19, 57, 58	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
60	12, 59	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ran crn 5662  ‘cfv 6536  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   ≤ cle 11243  -cneg 11441  ℝ⁺crp 13015  ∗ccj 15147  ℑcim 15149  expce 16114  πcpi 16119  logclog 26695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697

This theorem is referenced by:  argimlt0  26754  isosctrlem2  26960  atancj  27051  argcj  33059