Theorem logcj 26114

Description: The natural logarithm distributes under conjugation away from the branch cut. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
logcj	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Proof of Theorem logcj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
2		im0 15100	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
3	1, 2	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	necon3i 2974	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
5		logcl 26077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7		efcj 16035	. . . 4 ⊢ ((log‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘(exp‘(log‘𝐴))))
9		eflog 26085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
10	4, 9	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
11	10	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(exp‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
12	8, 11	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴))
13		cjcl 15052	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
14	13	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
15		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
16	15, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
17		cjne0 15110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
18	17	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐴) ≠ 0))
19	16, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ≠ 0)
20	6	cjcld 15143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
21	6	imcld 15142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22		pire 25968	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ∈ ℝ)
24		logimcl 26078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
25	4, 24	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
26	25	simprd 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
27		rpre 12982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → -𝐴 ∈ ℝ)
28	27	renegcld 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → --𝐴 ∈ ℝ)
29		negneg 11510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
30	29	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → --𝐴 = 𝐴)
31	30	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (--𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
32	28, 31	imbitrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ))
33		lognegb 26098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
34	4, 33	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (ℑ‘(log‘𝐴)) = π))
35		reim0b 15066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
36	35	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
37	32, 34, 36	3imtr3d 293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) = π → (ℑ‘𝐴) = 0))
38	37	necon3d 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π))
39	15, 38	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
40	39	necomd 2997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → π ≠ (ℑ‘(log‘𝐴)))
41	21, 23, 26, 40	leneltd 11368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
42		ltneg 11714	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
43	21, 22, 42	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
44	41, 43	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
45	6	imcjd 15152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
46	44, 45	breqtrrd 5177	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
47	25	simpld 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
48	22	renegcli 11521	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
49		ltle 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
50	48, 21, 49	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
51	47, 50	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
52		lenegcon1 11718	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
53	22, 21, 52	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
54	51, 53	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
55	45, 54	eqbrtrd 5171	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π)
56		ellogrn 26068	. . . 4 ⊢ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ ((∗‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) ≤ π))
57	20, 46, 55, 56	syl3anbrc 1344	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log)
58		logeftb 26092	. . 3 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ≠ 0 ∧ (∗‘(log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
59	14, 19, 57, 58	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)) ↔ (exp‘(∗‘(log‘𝐴))) = (∗‘𝐴)))
60	12, 59	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ran crn 5678  ‘cfv 6544  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≤ cle 11249  -cneg 11445  ℝ⁺crp 12974  ∗ccj 15043  ℑcim 15045  expce 16005  πcpi 16010  logclog 26063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065

This theorem is referenced by:  argimlt0  26121  isosctrlem2  26324  atancj  26415