Theorem zmax 12970

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11522	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zmin 12969	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
4		znegcl 12630	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12630	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6		zcn 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7		zcn 12597	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
10	5, 9	reuhyp 5393	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴 ≤ 𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
14	13	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
15	11, 14	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
16	4, 10, 15	reuxfr1 3716	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
17		zre 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18		leneg 11718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
19	17, 18	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
20	19	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21		znegcl 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝑤 ≤ 𝐴))
23		breq1 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑤 ≤ 𝑥))
24	22, 23	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
25	24	rspcv 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
26	21, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
27		zre 12596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28		lenegcon1 11719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
29	28	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
30		lenegcon1 11719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
31	17, 30	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
32	31	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
33	29, 32	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
34	27, 33	sylan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
35	34	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
36	35	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
37	36	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
38	26, 37	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
39	38	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
40	39	ralrimdv 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
41		znegcl 12630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42		breq2 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴 ≤ 𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43		breq2 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
44	42, 43	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
45	44	rspcv 3578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
46	41, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47		zre 12596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		leneg 11718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
49	48	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50		leneg 11718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
51	17, 50	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
52	51	adantrl 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
53	49, 52	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
54	47, 53	sylan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
55	54	exbiri 822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
56	55	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
57	46, 56	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
58	57	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
59	58	ralrimdv 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
60	40, 59	impbid 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
61	20, 60	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
62	61	reubidva 3383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
63	16, 62	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
64	3, 63	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5110  ℂcc 11099  ℝcr 11100   ≤ cle 11245  -cneg 11443  ℤcz 12592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864

This theorem is referenced by:  flval2  13849