Theorem zmax 12926

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11520	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zmin 12925	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
4		znegcl 12594	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12594	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6		zcn 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7		zcn 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11510	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
10	5, 9	reuhyp 5418	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴 ≤ 𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5151	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
13	12	imbi2d 341	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
14	13	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
15	11, 14	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
16	4, 10, 15	reuxfr1 3748	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
17		zre 12559	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18		leneg 11714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
19	17, 18	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
20	19	ancoms 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21		znegcl 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22		breq1 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝑤 ≤ 𝐴))
23		breq1 5151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑤 ≤ 𝑥))
24	22, 23	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
25	24	rspcv 3609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
27		zre 12559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28		lenegcon1 11715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
29	28	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
30		lenegcon1 11715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
31	17, 30	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
32	31	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
33	29, 32	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
34	27, 33	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
35	34	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
36	35	ex 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
37	36	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
38	26, 37	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
39	38	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
40	39	ralrimdv 3153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
41		znegcl 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴 ≤ 𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43		breq2 5152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
44	42, 43	imbi12d 345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
45	44	rspcv 3609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47		zre 12559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		leneg 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
49	48	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50		leneg 11714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
51	17, 50	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
52	51	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
53	49, 52	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
54	47, 53	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
55	54	exbiri 810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
56	55	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
57	46, 56	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
58	57	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
59	58	ralrimdv 3153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
60	40, 59	impbid 211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
61	20, 60	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
62	61	reubidva 3393	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
63	16, 62	bitr4id 290	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
64	3, 63	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃!wreu 3375   class class class wbr 5148  ℂcc 11105  ℝcr 11106   ≤ cle 11246  -cneg 11442  ℤcz 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820

This theorem is referenced by:  flval2  13776