Theorem zmax 13099

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11648	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zmin 13098	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
4		znegcl 12758	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12758	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6		zcn 12725	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7		zcn 12725	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
10	5, 9	reuhyp 5386	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ( -𝐴 ≤ 𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
14	13	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
15	11, 14	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
16	4, 10, 15	reuxfr1 3713	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
17		zre 12724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18		leneg 11846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
19	17, 18	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
20	19	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21		znegcl 12758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22		breq1 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝑤 ≤ 𝐴))
23		breq1 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑤 ≤ 𝑥))
24	22, 23	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
25	24	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
26	21, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
27		zre 12724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28		lenegcon1 11847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
29	28	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
30		lenegcon1 11847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( -𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
31	17, 30	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ( -𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
32	31	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ( -𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
33	29, 32	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
34	27, 33	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
35	34	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
36	35	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
37	36	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
38	26, 37	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
39	38	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
40	39	ralrimdv 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
41		znegcl 12758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42		breq2 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ( -𝐴 ≤ 𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43		breq2 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ( -𝑥 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
44	42, 43	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
45	44	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
46	41, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47		zre 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		leneg 11846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
49	48	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50		leneg 11846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
51	17, 50	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
52	51	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
53	49, 52	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
54	47, 53	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
55	54	exbiri 823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
56	55	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
57	46, 56	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
58	57	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
59	58	ralrimdv 3164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
60	40, 59	impbid 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
61	20, 60	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
62	61	reubidva 3383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
63	16, 62	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
64	3, 63	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5106  ℂcc 11225  ℝcr 11226   ≤ cle 11371   -cneg 11569  ℤcz 12720

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993

This theorem is used by:  flval2  13981