Theorem zmax 13075

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11624	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zmin 13074	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
4		znegcl 12734	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12734	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6		zcn 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7		zcn 12701	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
10	5, 9	reuhyp 5381	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ( -𝐴 ≤ 𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
14	13	ralbidv 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
15	11, 14	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
16	4, 10, 15	reuxfr1 3709	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
17		zre 12700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18		leneg 11822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
19	17, 18	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
20	19	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21		znegcl 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝑤 ≤ 𝐴))
23		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑤 ≤ 𝑥))
24	22, 23	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
25	24	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
26	21, 25	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
27		zre 12700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28		lenegcon1 11823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
29	28	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ( -𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
30		lenegcon1 11823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( -𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
31	17, 30	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ( -𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
32	31	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ( -𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
33	29, 32	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
34	27, 33	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
35	34	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
36	35	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
37	36	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (( -𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
38	26, 37	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
39	38	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
40	39	ralrimdv 3160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
41		znegcl 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ( -𝐴 ≤ 𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43		breq2 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ( -𝑥 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
44	42, 43	imbi12d 347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
45	44	rspcv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
46	41, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47		zre 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		leneg 11822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
49	48	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50		leneg 11822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
51	17, 50	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
52	51	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
53	49, 52	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
54	47, 53	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
55	54	exbiri 823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
56	55	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (( -𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
57	46, 56	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
58	57	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
59	58	ralrimdv 3160	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
60	40, 59	impbid 215	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
61	20, 60	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
62	61	reubidva 3379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
63	16, 62	bitr4id 293	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
64	3, 63	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5102  ℂcc 11201  ℝcr 11202   ≤ cle 11347   -cneg 11545  ℤcz 12696

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969

This theorem is used by:  flval2  13957