MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmax 12870
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 11464 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zmin 12869 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
4 znegcl 12538 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5 znegcl 12538 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6 zcn 12504 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7 zcn 12504 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negcon2 11454 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
96, 7, 8syl2an 596 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
105, 9reuhyp 5375 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11 breq2 5109 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12 breq1 5108 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑥 → (𝑧𝑤 ↔ -𝑥𝑤))
1312imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
1413ralbidv 3174 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
1511, 14anbi12d 631 . . . 4 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
164, 10, 15reuxfr1 3710 . . 3 (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
17 zre 12503 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18 leneg 11658 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
1917, 18sylan 580 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
2019ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21 znegcl 12538 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
23 breq1 5108 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝑥 ↔ -𝑤𝑥))
2422, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
2524rspcv 3577 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
2621, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
27 zre 12503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28 lenegcon1 11659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
2928adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
30 lenegcon1 11659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
3117, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
3231adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
3329, 32imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
3427, 33sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
3534biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
3635ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
3736com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
3826, 37syld 47 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
3938com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
4039ralrimdv 3149 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
41 znegcl 12538 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43 breq2 5109 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
4442, 43imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4544rspcv 3577 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47 zre 12503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48 leneg 11658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
4948adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50 leneg 11658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
5117, 50sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
5251adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
5349, 52imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
5447, 53sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
5554exbiri 809 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5655com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5746, 56syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5857com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5958ralrimdv 3149 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
6040, 59impbid 211 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6120, 60anbi12d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6261reubidva 3369 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6316, 62bitr4id 289 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
643, 63mpbid 231 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  cc 11049  cr 11050  cle 11190  -cneg 11386  cz 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764
This theorem is referenced by:  flval2  13719
  Copyright terms: Public domain W3C validator