Theorem zmax 12764

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax

Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11363	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zmin 12763	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)))
4		znegcl 12434	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12434	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6		zcn 12403	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7		zcn 12403	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑧))
10	5, 9	reuhyp 5357	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴 ≤ 𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (𝑧 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
13	12	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
14	13	ralbidv 3170	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
15	11, 14	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
16	4, 10, 15	reuxfr1 3696	. . 3 ⊢ (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
17		zre 12402	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18		leneg 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
19	17, 18	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
20	19	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21		znegcl 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22		breq1 5089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝑤 ≤ 𝐴))
23		breq1 5089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑤 ≤ 𝑥))
24	22, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
25	24	rspcv 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥)))
27		zre 12402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28		lenegcon1 11558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
29	28	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 𝑤))
30		lenegcon1 11558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
31	17, 30	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
32	31	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ 𝑤))
33	29, 32	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
34	27, 33	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
35	34	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
36	35	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
37	36	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤 ≤ 𝐴 → -𝑤 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
38	26, 37	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
39	38	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
40	39	ralrimdv 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
41		znegcl 12434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42		breq2 5090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴 ≤ 𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43		breq2 5090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥 ≤ 𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
44	42, 43	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
45	44	rspcv 3565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47		zre 12402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48		leneg 11557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
49	48	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50		leneg 11557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
51	17, 50	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
52	51	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
53	49, 52	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
54	47, 53	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
55	54	exbiri 808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
56	55	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
57	46, 56	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
58	57	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
59	58	ralrimdv 3145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))
60	40, 59	impbid 211	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤)))
61	20, 60	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
62	61	reubidva 3365	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → -𝑥 ≤ 𝑤))))
63	16, 62	bitr4id 289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑤 → 𝑧 ≤ 𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥))))
64	3, 63	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦 ≤ 𝐴 → 𝑦 ≤ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∃!wreu 3347   class class class wbr 5086  ℂcc 10948  ℝcr 10949   ≤ cle 11089  -cneg 11285  ℤcz 12398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662

This theorem is referenced by:  flval2  13613