MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmax 12075
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 10672 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zmin 12074 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
4 zre 11715 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
5 leneg 10862 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
64, 5sylan 575 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
76ancoms 452 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
8 znegcl 11747 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
9 breq1 4878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
10 breq1 4878 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝑥 ↔ -𝑤𝑥))
119, 10imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
1211rspcv 3522 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
14 zre 11715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
15 lenegcon1 10863 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
1615adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
17 lenegcon1 10863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
184, 17sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
1918adantrl 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
2016, 19imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2114, 20sylan 575 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2221biimpd 221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
2322ex 403 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2423com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2513, 24syld 47 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2625com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
2726ralrimdv 3177 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
28 znegcl 11747 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
29 breq2 4879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
30 breq2 4879 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
3129, 30imbi12d 336 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
3231rspcv 3522 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
3328, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
34 zre 11715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
35 leneg 10862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
3635adantrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
37 leneg 10862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
384, 37sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
3938adantrl 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
4036, 39imbi12d 336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4134, 40sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4241exbiri 845 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4342com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4433, 43syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4544com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
4645ralrimdv 3177 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
4727, 46impbid 204 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
487, 47anbi12d 624 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
4948reubidva 3336 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
50 znegcl 11747 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
51 znegcl 11747 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
52 zcn 11716 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
53 zcn 11716 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
54 negcon2 10662 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
5552, 53, 54syl2an 589 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
5651, 55reuhyp 5126 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
57 breq2 4879 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
58 breq1 4878 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑥 → (𝑧𝑤 ↔ -𝑥𝑤))
5958imbi2d 332 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6059ralbidv 3195 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6157, 60anbi12d 624 . . . 4 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6250, 56, 61reuxfr 5124 . . 3 (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6349, 62syl6rbbr 282 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
643, 63mpbid 224 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  ∃!wreu 3119   class class class wbr 4875  cc 10257  cr 10258  cle 10399  -cneg 10593  cz 11711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976
This theorem is referenced by:  flval2  12917
  Copyright terms: Public domain W3C validator