MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zmax 12764
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem zmax
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 11363 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zmin 12763 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)))
4 znegcl 12434 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5 znegcl 12434 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ → -𝑧 ∈ ℤ)
6 zcn 12403 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℂ)
7 zcn 12403 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negcon2 11353 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
96, 7, 8syl2an 596 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑧 = -𝑥𝑥 = -𝑧))
105, 9reuhyp 5357 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = -𝑥)
11 breq2 5090 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (-𝐴𝑧 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12 breq1 5089 . . . . . . 7 (𝑧 = -𝑥 → (𝑧𝑤 ↔ -𝑥𝑤))
1312imbi2d 340 . . . . . 6 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
1413ralbidv 3170 . . . . 5 (𝑧 = -𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
1511, 14anbi12d 631 . . . 4 (𝑧 = -𝑥 → ((-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
164, 10, 15reuxfr1 3696 . . 3 (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
17 zre 12402 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
18 leneg 11557 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
1917, 18sylan 580 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
2019ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
21 znegcl 12434 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → -𝑤 ∈ ℤ)
22 breq1 5089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝐴 ↔ -𝑤𝐴))
23 breq1 5089 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = -𝑤 → (𝑦𝑥 ↔ -𝑤𝑥))
2422, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = -𝑤 → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
2524rspcv 3565 . . . . . . . . . 10 (-𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
2621, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥)))
27 zre 12402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℤ → 𝑤 ∈ ℝ)
28 lenegcon1 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
2928adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝐴 ↔ -𝐴𝑤))
30 lenegcon1 11558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
3117, 30sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
3231adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (-𝑤𝑥 ↔ -𝑥𝑤))
3329, 32imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
3427, 33sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) ↔ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
3534biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
3635ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
3736com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℤ → ((-𝑤𝐴 → -𝑤𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
3826, 37syld 47 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
3938com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → (𝑤 ∈ ℤ → (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
4039ralrimdv 3145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) → ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
41 znegcl 12434 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
42 breq2 5090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝐴𝑤 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
43 breq2 5090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = -𝑦 → (-𝑥𝑤 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
4442, 43imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = -𝑦 → ((-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4544rspcv 3565 . . . . . . . . . 10 (-𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
4641, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
47 zre 12402 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
48 leneg 11557 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
4948adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑦))
50 leneg 11557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
5117, 50sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
5251adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → (𝑦𝑥 ↔ -𝑥 ≤ -𝑦))
5349, 52imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
5447, 53sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ)) → ((𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦)))
5554exbiri 808 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5655com23 86 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝐴 ≤ -𝑦 → -𝑥 ≤ -𝑦) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5746, 56syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5857com13 88 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
5958ralrimdv 3145 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
6040, 59impbid 211 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥) ↔ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤)))
6120, 60anbi12d 631 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6261reubidva 3365 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤 → -𝑥𝑤))))
6316, 62bitr4id 289 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑧 ∈ ℤ (-𝐴𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℤ (-𝐴𝑤𝑧𝑤)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥))))
643, 63mpbid 231 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑦𝐴𝑦𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  ∃!wreu 3347   class class class wbr 5086  cc 10948  cr 10949  cle 11089  -cneg 11285  cz 12398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4850  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-2nd 7878  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-sup 9277  df-inf 9278  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-nn 12053  df-n0 12313  df-z 12399  df-uz 12662
This theorem is referenced by:  flval2  13613
  Copyright terms: Public domain W3C validator