Theorem abs2difabs 15046

Description: Absolute value of difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2difabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem abs2difabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs2dif 15044	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
2	1	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
3		abscl 14990	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5		abscl 14990	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11003	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
7		negsubdi2 11280	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
9		abssub 15038	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
10	2, 8, 9	3brtr4d 5106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
11		abs2dif 15044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
12		resubcl 11285	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	3, 5, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		subcl 11220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15		abscl 14990	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
17		absle 15027	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
19		lenegcon1 11479	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
20	13, 16, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
21	20	anbi1d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	18, 21	bitr4d 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
23	10, 11, 22	mpbir2and 710	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  abs2difabsd  15171  abscn2  15308  abs2difabsi  33641