MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs2difabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs2difabs 14481
Description: Absolute value of difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2difabs ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem abs2difabs
StepHypRef Expression
1 abs2dif 14479 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
21ancoms 452 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3 abscl 14425 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 10405 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5 abscl 14425 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
65recnd 10405 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
7 negsubdi2 10682 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
84, 6, 7syl2an 589 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
9 abssub 14473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
102, 8, 93brtr4d 4918 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
11 abs2dif 14479 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
12 resubcl 10687 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
133, 5, 12syl2an 589 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14 subcl 10621 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
15 abscl 14425 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
17 absle 14462 . . . 4 ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
1813, 16, 17syl2anc 579 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
19 lenegcon1 10879 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
2013, 16, 19syl2anc 579 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
2120anbi1d 623 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵))) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
2218, 21bitr4d 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
2310, 11, 22mpbir2and 703 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  cle 10412  cmin 10606  -cneg 10607  abscabs 14381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-seq 13120  df-exp 13179  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383
This theorem is referenced by:  abs2difabsd  14606  abscn2  14737  abs2difabsi  32174
  Copyright terms: Public domain W3C validator