MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abs2difabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abs2difabs 15339
Description: Absolute value of difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2difabs ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem abs2difabs
StepHypRef Expression
1 abs2dif 15337 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
21ancoms 457 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵𝐴)))
3 abscl 15283 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
43recnd 11292 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5 abscl 15283 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
65recnd 11292 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
7 negsubdi2 11569 . . . 4 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
84, 6, 7syl2an 594 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
9 abssub 15331 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
102, 8, 93brtr4d 5185 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
11 abs2dif 15337 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
12 resubcl 11574 . . . . 5 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
133, 5, 12syl2an 594 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14 subcl 11509 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
15 abscl 15283 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
17 absle 15320 . . . 4 ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
1813, 16, 17syl2anc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
19 lenegcon1 11768 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
2013, 16, 19syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
2120anbi1d 629 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵))) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
2218, 21bitr4d 281 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
2310, 11, 22mpbir2and 711 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495  abscabs 15239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241
This theorem is referenced by:  abs2difabsd  15464  abscn2  15601  abs2difabsi  35511
  Copyright terms: Public domain W3C validator