Theorem abs2difabs 15258

Description: Absolute value of difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2difabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem abs2difabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs2dif 15256	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
3		abscl 15201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 11160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5		abscl 15201	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11160	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℂ)
7		negsubdi2 11440	. . . 4 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) = ((abs‘𝐵) − (abs‘𝐴)))
9		abssub 15250	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
10	2, 8, 9	3brtr4d 5130	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
11		abs2dif 15256	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
12		resubcl 11445	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐵) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	3, 5, 12	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		subcl 11379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
15		abscl 15201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
17		absle 15239	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
19		lenegcon1 11641	. . . . 5 ⊢ ((((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
20	13, 16, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))))
21	20	anbi1d 631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
22	18, 21	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
23	10, 11, 22	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365  abscabs 15157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159

This theorem is referenced by:  abs2difabsd  15385  abscn2  15522  abs2difabsi  35877