Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32f Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme32f 39773
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme32.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdleme32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdleme32.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme32.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme32f ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐢   𝐷,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑦,𝐻   𝑦,𝐾   𝑦,π‘Œ   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   π‘Œ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐷(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem cdleme32f
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21r 1288 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simp23r 1292 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)
4 cdleme32.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme32.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdleme32.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdleme32.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 cdleme32.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdleme32.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
104, 5, 6, 7, 8, 9lhpmcvr2 39351 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))
111, 2, 3, 10syl12anc 834 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))
12 nfv 1909 . . 3 Ⅎ𝑠(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)
13 cdleme32.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
14 nfcv 2895 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠𝐡
15 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠(𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š)
16 cdleme32.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
17 nfra1 3273 . . . . . . . . . 10 β„²π‘ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))
1817, 14nfriota 7370 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠(℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
1916, 18nfcxfr 2893 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠𝑂
20 nfcv 2895 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠π‘₯
2115, 19, 20nfif 4550 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯)
2214, 21nfmpt 5245 . . . . . 6 Ⅎ𝑠(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
2313, 22nfcxfr 2893 . . . . 5 Ⅎ𝑠𝐹
24 nfcv 2895 . . . . 5 Ⅎ𝑠𝑋
2523, 24nffv 6891 . . . 4 Ⅎ𝑠(πΉβ€˜π‘‹)
26 nfcv 2895 . . . 4 Ⅎ𝑠 ≀
27 nfcv 2895 . . . . 5 β„²π‘ π‘Œ
2823, 27nffv 6891 . . . 4 Ⅎ𝑠(πΉβ€˜π‘Œ)
2925, 26, 28nfbr 5185 . . 3 Ⅎ𝑠(πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)
30 simpl1 1188 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
31 simpl2 1189 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)))
32 simprl 768 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
33 simprrl 778 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)
3432, 33jca 511 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
35 simprrr 779 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
36 simpl3 1190 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
37 cdleme32.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
38 cdleme32.c . . . . . 6 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
39 cdleme32.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
40 cdleme32.e . . . . . 6 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
41 cdleme32.i . . . . . 6 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
42 cdleme32.n . . . . . 6 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 16, 13cdleme32e 39772 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
4430, 31, 34, 35, 36, 43syl113anc 1379 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
4544exp32 420 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))))
4612, 29, 45rexlimd 3255 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
4711, 46mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062  ifcif 4520   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  β„©crio 7356  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  lecple 17202  joincjn 18265  meetcmee 18266  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LHypclh 39311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315
This theorem is referenced by:  cdleme32le  39774
  Copyright terms: Public domain W3C validator