Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32f Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme32f 39305
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme32.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme32.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme32.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme32.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme32.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme32.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme32.c 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme32.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.e 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme32.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
cdleme32.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
cdleme32.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme32.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme32f ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐢   𝐷,𝑠,𝑦,𝑧   𝑦,𝐸   𝐻,𝑠,𝑑   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   𝑃,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑦,𝐻   𝑦,𝐾   𝑦,π‘Œ   𝑧,𝐻   𝑧,𝐾   π‘Œ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐷(π‘₯,𝑑)   𝐸(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem cdleme32f
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp21r 1291 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simp23r 1295 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)
4 cdleme32.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme32.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cdleme32.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cdleme32.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
8 cdleme32.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdleme32.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
104, 5, 6, 7, 8, 9lhpmcvr2 38883 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))
111, 2, 3, 10syl12anc 835 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))
12 nfv 1917 . . 3 Ⅎ𝑠(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)
13 cdleme32.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
14 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠𝐡
15 nfv 1917 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠(𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š)
16 cdleme32.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
17 nfra1 3281 . . . . . . . . . 10 β„²π‘ βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))
1817, 14nfriota 7374 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠(℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
1916, 18nfcxfr 2901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠𝑂
20 nfcv 2903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑠π‘₯
2115, 19, 20nfif 4557 . . . . . . 7 Ⅎ𝑠if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯)
2214, 21nfmpt 5254 . . . . . 6 Ⅎ𝑠(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
2313, 22nfcxfr 2901 . . . . 5 Ⅎ𝑠𝐹
24 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑠𝑋
2523, 24nffv 6898 . . . 4 Ⅎ𝑠(πΉβ€˜π‘‹)
26 nfcv 2903 . . . 4 Ⅎ𝑠 ≀
27 nfcv 2903 . . . . 5 β„²π‘ π‘Œ
2823, 27nffv 6898 . . . 4 Ⅎ𝑠(πΉβ€˜π‘Œ)
2925, 26, 28nfbr 5194 . . 3 Ⅎ𝑠(πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)
30 simpl1 1191 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
31 simpl2 1192 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)))
32 simprl 769 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
33 simprrl 779 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)
3432, 33jca 512 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
35 simprrr 780 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
36 simpl3 1193 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
37 cdleme32.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
38 cdleme32.c . . . . . 6 𝐢 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
39 cdleme32.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
40 cdleme32.e . . . . . 6 𝐸 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
41 cdleme32.i . . . . . 6 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐸))
42 cdleme32.n . . . . . 6 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐢)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 16, 13cdleme32e 39304 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š) ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
4430, 31, 34, 35, 36, 43syl113anc 1382 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
4544exp32 421 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))))
4612, 29, 45rexlimd 3263 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ)))
4711, 46mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ Β¬ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘Œ ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ≀ (πΉβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdleme32le  39306
  Copyright terms: Public domain W3C validator