Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg7aN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg7aN 39800
Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg7.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg7.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg7.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg7.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg7.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg7aN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
Proof of Theorem cdlemg7aN
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1197 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 simp2r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
4 cdlemg7.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdlemg7.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 eqid 2731 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
7 eqid 2731 . . . 4 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
8 cdlemg7.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg7.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
104, 5, 6, 7, 8, 9lhpmcvr2 39199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
111, 2, 3, 10syl21anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋))
12 simp11 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 simp2 1136 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝐴)
14 simp3l 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)
1513, 14jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š))
16 simp12r 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
17 simp131 1307 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
18 simp132 1308 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
19 simp3r 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)
20 cdlemg7.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
214, 5, 6, 7, 8, 9, 20cdlemg7fvN 39799 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Ÿ))(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
2212, 15, 16, 17, 18, 19, 21syl123anc 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Ÿ))(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
23 simp12l 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
24 simp133 1309 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)
255, 8, 9, 20cdlemg6 39798 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
2612, 23, 15, 17, 18, 24, 25syl123anc 1386 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Ÿ)) = π‘Ÿ)
2726oveq1d 7427 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘Ÿ))(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
2822, 27, 193eqtrd 2775 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2928rexlimdv3a 3158 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (π‘Ÿ(joinβ€˜πΎ)(𝑋(meetβ€˜πΎ)π‘Š)) = 𝑋) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = 𝑋))
3011, 29mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) = 𝑃)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8262  df-map 8826  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334
This theorem is referenced by:  cdlemg7N  39801
  Copyright terms: Public domain W3C validator