Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihlsscpre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihlsscpre 38488
Description: Closure of isomorphism H for a lattice 𝐾 when ¬ 𝑋 𝑊. (Contributed by NM, 6-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihval.l = (le‘𝐾)
dihval.j = (join‘𝐾)
dihval.m = (meet‘𝐾)
dihval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihval.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihval.d 𝐷 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
dihval.c 𝐶 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dihval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dihval.p = (LSSum‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihlsscpre (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dihlsscpre
Dummy variables 𝑞 𝑢 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 dihval.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dihval.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 dihval.m . . 3 = (meet‘𝐾)
5 dihval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 dihval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 dihval.i . . 3 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihval.d . . 3 𝐷 = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
9 dihval.c . . 3 𝐶 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
10 dihval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
11 dihval.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
12 dihval.p . . 3 = (LSSum‘𝑈)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dihvalc 38487 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) = (𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))))
14 simp1l 1194 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 simp2l 1196 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → 𝑞𝐴)
16 simp3ll 1241 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ¬ 𝑞 𝑊)
1715, 16jca 515 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
18 simp2r 1197 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → 𝑟𝐴)
19 simp3rl 1243 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ¬ 𝑟 𝑊)
2018, 19jca 515 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊))
21 simp1rl 1235 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → 𝑋𝐵)
22 simp3lr 1242 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
23 simp3rr 1244 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
2422, 23eqtr4d 2860 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝑞 (𝑋 𝑊)) = (𝑟 (𝑋 𝑊)))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12dihjust 38471 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊) ∧ (𝑟𝐴 ∧ ¬ 𝑟 𝑊) ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = (𝑟 (𝑋 𝑊))) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))
2614, 17, 20, 21, 24, 25syl131anc 1380 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴𝑟𝐴) ∧ ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))
27263exp 1116 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ((𝑞𝐴𝑟𝐴) → (((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))))
2827ralrimivv 3180 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∀𝑞𝐴𝑟𝐴 (((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))))
291, 2, 3, 4, 5, 6lhpmcvr2 37278 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
30 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
316, 10, 30dvhlmod 38364 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝑈 ∈ LMod)
322, 5, 6, 10, 9, 11diclss 38447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝐶𝑞) ∈ 𝑆)
3332adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝐶𝑞) ∈ 𝑆)
34 hllat 36617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
36 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝑋𝐵)
371, 6lhpbase 37252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3837ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → 𝑊𝐵)
391, 4latmcl 17653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
4035, 36, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
411, 2, 4latmle2 17678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
4235, 36, 38, 41syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝑋 𝑊) 𝑊)
431, 2, 6, 10, 8, 11diblss 38424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑋 𝑊) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) 𝑊)) → (𝐷‘(𝑋 𝑊)) ∈ 𝑆)
4430, 40, 42, 43syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → (𝐷‘(𝑋 𝑊)) ∈ 𝑆)
4511, 12lsmcl 19846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐶𝑞) ∈ 𝑆 ∧ (𝐷‘(𝑋 𝑊)) ∈ 𝑆) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆)
4631, 33, 44, 45syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆)
4746a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) → ((𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆))
4847expr 460 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 𝑊 → ((𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆)))
4948impd 414 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆))
5049ancld 554 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆)))
5150reximdva 3260 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆)))
5229, 51mpd 15 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆))
53 breq1 5045 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 𝑊𝑟 𝑊))
5453notbid 321 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑟 → (¬ 𝑞 𝑊 ↔ ¬ 𝑟 𝑊))
55 oveq1 7147 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 (𝑋 𝑊)) = (𝑟 (𝑋 𝑊)))
5655eqeq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑟 → ((𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋 ↔ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
5754, 56anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ↔ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)))
58 fveq2 6652 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑟 → (𝐶𝑞) = (𝐶𝑟))
5958oveq1d 7155 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))
6057, 59reusv3 5283 . . . . . 6 (∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) ∈ 𝑆) → (∀𝑞𝐴𝑟𝐴 (((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))) ↔ ∃𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))))
6152, 60syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∀𝑞𝐴𝑟𝐴 (((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (¬ 𝑟 𝑊 ∧ (𝑟 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))) = ((𝐶𝑟) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))) ↔ ∃𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))))
6228, 61mpbid 235 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))))
63 reusv1 5275 . . . . 5 (∃𝑞𝐴𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (∃!𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))) ↔ ∃𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))))
6429, 63syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∃!𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))) ↔ ∃𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))))
6562, 64mpbird 260 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃!𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))))
66 riotacl 7115 . . 3 (∃!𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊)))) → (𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))) ∈ 𝑆)
6765, 66syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑢𝑆𝑞𝐴 ((¬ 𝑞 𝑊 ∧ (𝑞 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → 𝑢 = ((𝐶𝑞) (𝐷‘(𝑋 𝑊))))) ∈ 𝑆)
6813, 67eqeltrd 2914 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131  ∃!wreu 3132   class class class wbr 5042  cfv 6334  crio 7097  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  lecple 16563  joincjn 17545  meetcmee 17546  Latclat 17646  LSSumclsm 18750  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  Atomscatm 36517  HLchlt 36604  LHypclh 37238  DVecHcdvh 38332  DIsoBcdib 38392  DIsoCcdic 38426  DIsoHcdih 38482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 36207
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-proset 17529  df-poset 17547  df-plt 17559  df-lub 17575  df-glb 17576  df-join 17577  df-meet 17578  df-p0 17640  df-p1 17641  df-lat 17647  df-clat 17709  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-oposet 36430  df-ol 36432  df-oml 36433  df-covers 36520  df-ats 36521  df-atl 36552  df-cvlat 36576  df-hlat 36605  df-llines 36752  df-lplanes 36753  df-lvols 36754  df-lines 36755  df-psubsp 36757  df-pmap 36758  df-padd 37050  df-lhyp 37242  df-laut 37243  df-ldil 37358  df-ltrn 37359  df-trl 37413  df-tendo 38009  df-edring 38011  df-disoa 38283  df-dvech 38333  df-dib 38393  df-dic 38427  df-dih 38483
This theorem is referenced by:  dihvalcqpre  38489  dihlss  38504
  Copyright terms: Public domain W3C validator