Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp21 1207 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β π β π΅) |
3 | | simp23r 1296 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β Β¬ π β€ π) |
4 | | cdleme32.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | cdleme32.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdleme32.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | cdleme32.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
8 | | cdleme32.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | | cdleme32.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
10 | 4, 5, 6, 7, 8, 9 | lhpmcvr2 38516 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
11 | 1, 2, 3, 10 | syl12anc 836 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
12 | | nfv 1918 |
. . 3
β’
β²π (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) |
13 | | cdleme32.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), π, π₯)) |
14 | | nfcv 2908 |
. . . . . . 7
β’
β²π π΅ |
15 | | nfv 1918 |
. . . . . . . 8
β’
β²π (π β π β§ Β¬ π₯ β€ π) |
16 | | cdleme32.o |
. . . . . . . . 9
β’ π = (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (π β¨ (π₯ β§ π)))) |
17 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (π β¨ (π₯ β§ π))) |
18 | 17, 14 | nfriota 7331 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (π β¨ (π₯ β§ π)))) |
19 | 16, 18 | nfcxfr 2906 |
. . . . . . . 8
β’
β²π π |
20 | | nfcv 2908 |
. . . . . . . 8
β’
β²π π₯ |
21 | 15, 19, 20 | nfif 4521 |
. . . . . . 7
β’
β²π if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), π, π₯) |
22 | 14, 21 | nfmpt 5217 |
. . . . . 6
β’
β²π (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), π, π₯)) |
23 | 13, 22 | nfcxfr 2906 |
. . . . 5
β’
β²π πΉ |
24 | | nfcv 2908 |
. . . . 5
β’
β²π π |
25 | 23, 24 | nffv 6857 |
. . . 4
β’
β²π (πΉβπ) |
26 | | nfcv 2908 |
. . . 4
β’
β²π
β€ |
27 | | nfcv 2908 |
. . . . 5
β’
β²π π |
28 | 23, 27 | nffv 6857 |
. . . 4
β’
β²π (πΉβπ) |
29 | 25, 26, 28 | nfbr 5157 |
. . 3
β’
β²π (πΉβπ) β€ (πΉβπ) |
30 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
31 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π))) |
32 | | simprl 770 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β π β π΄) |
33 | | simprrl 780 |
. . . . . 6
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β Β¬ π β€ π) |
34 | 32, 33 | jca 513 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
35 | | simprrr 781 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
36 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β π β€ π) |
37 | | cdleme32.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
38 | | cdleme32.c |
. . . . . 6
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π ) β§ π))) |
39 | | cdleme32.d |
. . . . . 6
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
40 | | cdleme32.e |
. . . . . 6
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
41 | | cdleme32.i |
. . . . . 6
β’ πΌ = (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)) |
42 | | cdleme32.n |
. . . . . 6
β’ π = if(π β€ (π β¨ π), πΌ, πΆ) |
43 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 16, 13 | cdleme32c 38935 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (πΉβπ) β€ (πΉβπ)) |
44 | 30, 31, 34, 35, 36, 43 | syl113anc 1383 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (πΉβπ) β€ (πΉβπ)) |
45 | 44 | exp32 422 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β (π β π΄ β ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β (πΉβπ) β€ (πΉβπ)))) |
46 | 12, 29, 45 | rexlimd 3252 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β (βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π) β (πΉβπ) β€ (πΉβπ))) |
47 | 11, 46 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ (π β π β§ Β¬ π β€ π)) β§ π β€ π) β (πΉβπ) β€ (πΉβπ)) |