Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme29ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme29ex 37396
Description: Lemma for cdleme29b 37397. (Compare cdleme25a 37375.) TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 7-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdleme26.l = (le‘𝐾)
cdleme26.j = (join‘𝐾)
cdleme26.m = (meet‘𝐾)
cdleme26.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme26.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme27.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme27.f 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
cdleme27.z 𝑍 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
cdleme27.n 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝑍 ((𝑠 𝑧) 𝑊)))
cdleme27.d 𝐷 = (𝑢𝐵𝑧𝐴 ((¬ 𝑧 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
cdleme27.c 𝐶 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐷, 𝐹)
Assertion
Ref Expression
cdleme29ex ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑠,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑢,𝑧   𝑢,𝐹   𝐻,𝑠,𝑧   ,𝑠,𝑢,𝑧   𝐾,𝑠,𝑧   ,𝑠,𝑢,𝑧   ,𝑠,𝑢,𝑧   𝑢,𝑁   𝑃,𝑠,𝑢,𝑧   𝑄,𝑠,𝑢,𝑧   𝑈,𝑠,𝑢,𝑧   𝑊,𝑠,𝑢,𝑧   𝑋,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧,𝑢,𝑠)   𝐷(𝑧,𝑢,𝑠)   𝐹(𝑧,𝑠)   𝐻(𝑢)   𝐾(𝑢)   𝑁(𝑧,𝑠)   𝑋(𝑧,𝑢)   𝑍(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem cdleme29ex
StepHypRef Expression
1 simp11 1197 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3 1132 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
3 cdleme26.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 cdleme26.l . . . 4 = (le‘𝐾)
5 cdleme26.j . . . 4 = (join‘𝐾)
6 cdleme26.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
7 cdleme26.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 cdleme26.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
93, 4, 5, 6, 7, 8lhpmcvr2 37046 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
101, 2, 9syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
11 simp11l 1278 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
1312hllatd 36386 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
14 simp11r 1279 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → 𝑊𝐻)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝑊𝐻)
16 simpl12 1243 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
17 simpl13 1244 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
18 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊))
19 simpl2 1186 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝑃𝑄)
20 cdleme27.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
21 cdleme27.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((𝑠 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑠) 𝑊)))
22 cdleme27.z . . . . . . . . 9 𝑍 = ((𝑧 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑧) 𝑊)))
23 cdleme27.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((𝑃 𝑄) (𝑍 ((𝑠 𝑧) 𝑊)))
24 cdleme27.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑢𝐵𝑧𝐴 ((¬ 𝑧 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 (𝑃 𝑄)) → 𝑢 = 𝑁))
25 cdleme27.c . . . . . . . . 9 𝐶 = if(𝑠 (𝑃 𝑄), 𝐷, 𝐹)
263, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 21, 22, 23, 24, 25cdleme27cl 37388 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊) ∧ 𝑃𝑄)) → 𝐶𝐵)
2712, 15, 16, 17, 18, 19, 26syl222anc 1380 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝐶𝐵)
28 simpl3l 1222 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝑋𝐵)
293, 8lhpbase 37020 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
3015, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → 𝑊𝐵)
313, 6latmcl 17657 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑊𝐵) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
3213, 28, 30, 31syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵)
333, 5latjcl 17656 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐶𝐵 ∧ (𝑋 𝑊) ∈ 𝐵) → (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵)
3413, 27, 32, 33syl3anc 1365 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 𝑊)) → (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵)
3534expr 457 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 𝑊 → (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵))
3635adantrd 492 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠𝐴) → ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵))
3736ancld 551 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ 𝑠𝐴) → ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵)))
3837reximdva 3279 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → (∃𝑠𝐴𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) → ∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵)))
3910, 38mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝑃𝑄 ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) → ∃𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑋 𝑊)) = 𝑋) ∧ (𝐶 (𝑋 𝑊)) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cfv 6354  crio 7107  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  meetcmee 17550  Latclat 17650  Atomscatm 36285  HLchlt 36372  LHypclh 37006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36198  df-ol 36200  df-oml 36201  df-covers 36288  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-llines 36520  df-lplanes 36521  df-lvols 36522  df-lines 36523  df-psubsp 36525  df-pmap 36526  df-padd 36818  df-lhyp 37010
This theorem is referenced by:  cdleme29b  37397
  Copyright terms: Public domain W3C validator