Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem13 42585
Description: Lemma for stoweid 42635. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem13.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
stoweidlem13.3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem13.4 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
stoweidlem13.5 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
stoweidlem13.6 (𝜑𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
stoweidlem13.7 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
stoweidlem13.8 (𝜑𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸))

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2 stoweidlem13.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 11066 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
4 2re 11708 . . . 4 2 ∈ ℝ
5 stoweidlem13.1 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
65rpred 12428 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 remulcl 10620 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
84, 6, 7sylancr 590 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
91recnd 10667 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
102recnd 10667 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
119, 10negsubdi2d 11011 . . . 4 (𝜑 → -(𝑌𝑋) = (𝑋𝑌))
122, 1resubcld 11066 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℝ)
13 1red 10640 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1413, 6remulcld 10669 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝐸) ∈ ℝ)
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
16 3re 11714 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
17 3ne0 11740 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
1816, 17rereccli 11403 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
2015, 19resubcld 11066 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
2120, 6remulcld 10669 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
2221, 1resubcld 11066 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) ∈ ℝ)
23 4re 11718 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
2423, 16, 173pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
25 redivcl 11357 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (4 / 3) ∈ ℝ)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
2715, 26resubcld 11066 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
2827, 6remulcld 10669 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
2921, 28resubcld 11066 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ∈ ℝ)
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
312, 21, 1, 30lesub1dd 11254 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑌) ≤ (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌))
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 11251 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 10796 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
3515recnd 10667 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 ∈ ℂ)
3619recnd 10667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℂ)
3826recnd 10667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℂ)
3935, 38subcld 10995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℂ)
406recnd 10667 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
4137, 39, 40subdird 11095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
4235, 36, 35, 38sub4d 11044 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))))
4335, 35subcld 10995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗𝑗) ∈ ℂ)
4443, 36, 38subsub2d 11024 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
4542, 44eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
4645oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4741, 46eqtr3d 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4834, 47breqtrd 5078 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4935subidd 10983 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗𝑗) = 0)
5049oveq1d 7164 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))))
51 4cn 11719 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
52 3cn 11715 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
5351, 52, 17divcli 11380 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) ∈ ℂ
54 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
5554, 52, 17divcli 11380 . . . . . . . . . . 11 (1 / 3) ∈ ℂ
56 1div1e1 11328 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 1) = 1
5756oveq2i 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58 ax-1ne0 10604 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 11400 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
6057, 59eqtr3i 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 3) + 1) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
6152, 54addcomi 10829 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = (1 + 3)
62 df-4 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
63 1t1e1 11796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 1) = 1
6452mulid2i 10644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 3) = 3
6563, 64oveq12i 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 1) + (1 · 3)) = (1 + 3)
6661, 62, 653eqtr4ri 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 1) + (1 · 3)) = 4
6766oveq1i 7159 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1)) = (4 / (3 · 1))
68 3t1e3 11799 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
6968oveq2i 7160 . . . . . . . . . . . 12 (4 / (3 · 1)) = (4 / 3)
7060, 67, 693eqtri 2851 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
7153, 55, 54, 70subaddrii 10973 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) − (1 / 3)) = 1
7271oveq2i 7160 . . . . . . . . 9 (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + 1)
73 1e0p1 12137 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
7472, 73eqtr4i 2850 . . . . . . . 8 (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1
7550, 74syl6eq 2875 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1)
7675oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
7748, 76breqtrd 5078 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (1 · 𝐸))
78 1lt2 11805 . . . . . 6 1 < 2
794a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8013, 79, 5ltmul1d 12469 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸)))
8178, 80mpbii 236 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 10799 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (2 · 𝐸))
8311, 82eqbrtrd 5074 . . 3 (𝜑 → -(𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))
843, 8, 83ltnegcon1d 11218 . 2 (𝜑 → -(2 · 𝐸) < (𝑌𝑋))
85 5re 11721 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
8716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
8817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ≠ 0)
8986, 87, 88redivcld 11466 . . . 4 (𝜑 → (5 / 3) ∈ ℝ)
9089, 6remulcld 10669 . . 3 (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
912renegcld 11065 . . . . 5 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
9215, 19readdcld 10668 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
9392, 6remulcld 10669 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
9428renegcld 11065 . . . . 5 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
95 stoweidlem13.8 . . . . 5 (𝜑𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
9728, 2ltnegd 11216 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋 ↔ -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
9896, 97mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 11261 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) < (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
1009, 10negsubd 11001 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) = (𝑌𝑋))
10135, 36, 40adddird 10664 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)))
10235, 38negsubd 11001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 + -(4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
103102eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 + -(4 / 3)))
104103oveq1d 7164 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸))
10538negcld 10982 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(4 / 3) ∈ ℂ)
10635, 105, 40adddird 10664 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)))
10738, 40mulneg1d 11091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(4 / 3) · 𝐸) = -((4 / 3) · 𝐸))
108107oveq2d 7165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
109104, 106, 1083eqtrd 2863 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
110109negeqd 10878 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
11135, 40mulcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
11238, 40mulcld 10659 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
113112negcld 10982 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
114111, 113negdid 11008 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)))
115112negnegd 10986 . . . . . . . 8 (𝜑 → --((4 / 3) · 𝐸) = ((4 / 3) · 𝐸))
116115oveq2d 7165 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
117110, 114, 1163eqtrd 2863 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
118101, 117oveq12d 7167 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
11936, 40mulcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
120111negcld 10982 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
121111, 119, 120, 112add4d 10866 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
122111negidd 10985 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) = 0)
123122oveq1d 7164 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
124119, 112addcld 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)) ∈ ℂ)
125124addid2d 10839 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
126121, 123, 1253eqtrd 2863 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
12736, 38, 40adddird 10664 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
12887recnd 10667 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
12936, 38addcld 10658 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) ∈ ℂ)
130128, 36, 38adddid 10663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))))
13154, 51addcomi 10829 . . . . . . . . . 10 (1 + 4) = (4 + 1)
13254, 52, 17divcan2i 11381 . . . . . . . . . . 11 (3 · (1 / 3)) = 1
13351, 52, 17divcan2i 11381 . . . . . . . . . . 11 (3 · (4 / 3)) = 4
134132, 133oveq12i 7161 . . . . . . . . . 10 ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = (1 + 4)
135 df-5 11700 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
136131, 134, 1353eqtr4i 2857 . . . . . . . . 9 ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = 5
137130, 136syl6eq 2875 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138128, 129, 88, 137mvllmuld 11470 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139138oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = ((5 / 3) · 𝐸))
140126, 127, 1393eqtr2d 2865 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = ((5 / 3) · 𝐸))
141118, 140eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = ((5 / 3) · 𝐸))
14299, 100, 1413brtr3d 5083 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑋) < ((5 / 3) · 𝐸))
143 5lt6 11815 . . . . . . 7 5 < 6
144 3t2e6 11800 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
145143, 144breqtrri 5079 . . . . . 6 5 < (3 · 2)
146 3pos 11739 . . . . . . . 8 0 < 3
14716, 146pm3.2i 474 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
148 ltdivmul 11513 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2)))
14985, 4, 147, 148mp3an 1458 . . . . . 6 ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2))
150145, 149mpbir 234 . . . . 5 (5 / 3) < 2
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (5 / 3) < 2)
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 12483 . . 3 (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) < (2 · 𝐸))
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 10799 . 2 (𝜑 → (𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))
1543, 8absltd 14789 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸) ↔ (-(2 · 𝐸) < (𝑌𝑋) ∧ (𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))))
15584, 153, 154mpbir2and 712 1 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540   < clt 10673  cle 10674  cmin 10868  -cneg 10869   / cdiv 11295  2c2 11689  3c3 11690  4c4 11691  5c5 11692  6c6 11693  +crp 12386  abscabs 14593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  42633
  Copyright terms: Public domain W3C validator