Theorem stoweidlem13 43444

Description: Lemma for stoweid 43494. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem13.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
stoweidlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ)
stoweidlem13.5	⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
stoweidlem13.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
stoweidlem13.7	⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
stoweidlem13.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸))

Proof of Theorem stoweidlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem13.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		stoweidlem13.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11333	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
4		2re 11977	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		stoweidlem13.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
6	5	rpred 12701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
7		remulcl 10887	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
9	1	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
10	2	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	negsubdi2d 11278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) = (𝑋 − 𝑌))
12	2, 1	resubcld 11333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℝ)
13		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	13, 6	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) ∈ ℝ)
15		stoweidlem13.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ)
16		3re 11983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
17		3ne0 12009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
18	16, 17	rereccli 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
20	15, 19	resubcld 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
21	20, 6	remulcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
22	21, 1	resubcld 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) ∈ ℝ)
23		4re 11987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
24	23, 16, 17	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
25		redivcl 11624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (4 / 3) ∈ ℝ)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
27	15, 26	resubcld 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
28	27, 6	remulcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
29	21, 28	resubcld 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ∈ ℝ)
30		stoweidlem13.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
31	2, 21, 1, 30	lesub1dd 11521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≤ (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌))
32		stoweidlem13.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
33	28, 1, 21, 32	ltsub2dd 11518	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
34	12, 22, 29, 31, 33	lelttrd 11063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
35	15	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℂ)
36	19	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℂ)
38	26	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℂ)
39	35, 38	subcld 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℂ)
40	6	recnd 10934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
41	37, 39, 40	subdird 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
42	35, 36, 35, 38	sub4d 11311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))))
43	35, 35	subcld 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − 𝑗) ∈ ℂ)
44	43, 36, 38	subsub2d 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
45	42, 44	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
46	45	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
47	41, 46	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
48	34, 47	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
49	35	subidd 11250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − 𝑗) = 0)
50	49	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))))
51		4cn 11988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
52		3cn 11984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
53	51, 52, 17	divcli 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) ∈ ℂ
54		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54, 52, 17	divcli 11647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
56		1div1e1 11595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 1) = 1
57	56	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58		ax-1ne0 10871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
59	54, 52, 54, 54, 17, 58	divadddivi 11667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
60	57, 59	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 3) + 1) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
61	52, 54	addcomi 11096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
62		df-4 11968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 = (3 + 1)
63		1t1e1 12065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 1) = 1
64	52	mulid2i 10911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 3) = 3
65	63, 64	oveq12i 7267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 1) + (1 · 3)) = (1 + 3)
66	61, 62, 65	3eqtr4ri 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 1) + (1 · 3)) = 4
67	66	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1)) = (4 / (3 · 1))
68		3t1e3 12068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 1) = 3
69	68	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / (3 · 1)) = (4 / 3)
70	60, 67, 69	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
71	53, 55, 54, 70	subaddrii 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) − (1 / 3)) = 1
72	71	oveq2i 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + 1)
73		1e0p1 12408	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
74	72, 73	eqtr4i 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1
75	50, 74	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1)
76	75	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
77	48, 76	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (1 · 𝐸))
78		1lt2 12074	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
79	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
80	13, 79, 5	ltmul1d 12742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸)))
81	78, 80	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
82	12, 14, 8, 77, 81	lttrd 11066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (2 · 𝐸))
83	11, 82	eqbrtrd 5092	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))
84	3, 8, 83	ltnegcon1d 11485	. 2 ⊢ (𝜑 → -(2 · 𝐸) < (𝑌 − 𝑋))
85		5re 11990	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
87	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
88	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
89	86, 87, 88	redivcld 11733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (5 / 3) ∈ ℝ)
90	89, 6	remulcld 10936	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
91	2	renegcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
92	15, 19	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
93	92, 6	remulcld 10936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
94	28	renegcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
95		stoweidlem13.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
96		stoweidlem13.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
97	28, 2	ltnegd 11483	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋 ↔ -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
98	96, 97	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
99	1, 91, 93, 94, 95, 98	lt2addd 11528	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) < (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
100	9, 10	negsubd 11268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) = (𝑌 − 𝑋))
101	35, 36, 40	adddird 10931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)))
102	35, 38	negsubd 11268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 + -(4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
103	102	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 + -(4 / 3)))
104	103	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸))
105	38	negcld 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(4 / 3) ∈ ℂ)
106	35, 105, 40	adddird 10931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)))
107	38, 40	mulneg1d 11358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(4 / 3) · 𝐸) = -((4 / 3) · 𝐸))
108	107	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
109	104, 106, 108	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
110	109	negeqd 11145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
111	35, 40	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
112	38, 40	mulcld 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
113	112	negcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
114	111, 113	negdid 11275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)))
115	112	negnegd 11253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --((4 / 3) · 𝐸) = ((4 / 3) · 𝐸))
116	115	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
117	110, 114, 116	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
118	101, 117	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
119	36, 40	mulcld 10926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
120	111	negcld 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
121	111, 119, 120, 112	add4d 11133	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
122	111	negidd 11252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) = 0)
123	122	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
124	119, 112	addcld 10925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)) ∈ ℂ)
125	124	addid2d 11106	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
126	121, 123, 125	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
127	36, 38, 40	adddird 10931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
128	87	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
129	36, 38	addcld 10925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) ∈ ℂ)
130	128, 36, 38	adddid 10930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))))
131	54, 51	addcomi 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 4) = (4 + 1)
132	54, 52, 17	divcan2i 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (1 / 3)) = 1
133	51, 52, 17	divcan2i 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (4 / 3)) = 4
134	132, 133	oveq12i 7267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = (1 + 4)
135		df-5 11969	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
136	131, 134, 135	3eqtr4i 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = 5
137	130, 136	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138	128, 129, 88, 137	mvllmuld 11737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139	138	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = ((5 / 3) · 𝐸))
140	126, 127, 139	3eqtr2d 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = ((5 / 3) · 𝐸))
141	118, 140	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = ((5 / 3) · 𝐸))
142	99, 100, 141	3brtr3d 5101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) < ((5 / 3) · 𝐸))
143		5lt6 12084	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
144		3t2e6 12069	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
145	143, 144	breqtrri 5097	. . . . . 6 ⊢ 5 < (3 · 2)
146		3pos 12008	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
147	16, 146	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
148		ltdivmul 11780	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2)))
149	85, 4, 147, 148	mp3an 1459	. . . . . 6 ⊢ ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2))
150	145, 149	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (5 / 3) < 2
151	150	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (5 / 3) < 2)
152	89, 79, 5, 151	ltmul1dd 12756	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) < (2 · 𝐸))
153	3, 90, 8, 142, 152	lttrd 11066	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))
154	3, 8	absltd 15069	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸) ↔ (-(2 · 𝐸) < (𝑌 − 𝑋) ∧ (𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))))
155	84, 153, 154	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  stoweidlem61  43492