Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem13 41764
Description: Lemma for stoweid 41814. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem13.2 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
stoweidlem13.3 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem13.4 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
stoweidlem13.5 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
stoweidlem13.6 (𝜑𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
stoweidlem13.7 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
stoweidlem13.8 (𝜑𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸))

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2 stoweidlem13.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
31, 2resubcld 10875 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
4 2re 11520 . . . 4 2 ∈ ℝ
5 stoweidlem13.1 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
65rpred 12254 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
7 remulcl 10426 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
84, 6, 7sylancr 579 . . 3 (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
91recnd 10474 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
102recnd 10474 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
119, 10negsubdi2d 10820 . . . 4 (𝜑 → -(𝑌𝑋) = (𝑋𝑌))
122, 1resubcld 10875 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ ℝ)
13 1red 10446 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1413, 6remulcld 10476 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝐸) ∈ ℝ)
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
16 3re 11526 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
17 3ne0 11559 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
1816, 17rereccli 11212 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
2015, 19resubcld 10875 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
2120, 6remulcld 10476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
2221, 1resubcld 10875 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) ∈ ℝ)
23 4re 11531 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
2423, 16, 173pm3.2i 1320 . . . . . . . . . . . 12 (4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
25 redivcl 11166 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (4 / 3) ∈ ℝ)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
2715, 26resubcld 10875 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
2827, 6remulcld 10476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
2921, 28resubcld 10875 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ∈ ℝ)
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
312, 21, 1, 30lesub1dd 11063 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑌) ≤ (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌))
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 11060 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 10604 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
3515recnd 10474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 ∈ ℂ)
3619recnd 10474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℂ)
3826recnd 10474 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℂ)
3935, 38subcld 10804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℂ)
406recnd 10474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
4137, 39, 40subdird 10904 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
4235, 36, 35, 38sub4d 10853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))))
4335, 35subcld 10804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗𝑗) ∈ ℂ)
4443, 36, 38subsub2d 10833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
4542, 44eqtrd 2816 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
4645oveq1d 6997 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4741, 46eqtr3d 2818 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4834, 47breqtrd 4960 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
4935subidd 10792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗𝑗) = 0)
5049oveq1d 6997 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))))
51 4cn 11532 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
52 3cn 11527 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
5351, 52, 17divcli 11189 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) ∈ ℂ
54 ax-1cn 10399 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
5554, 52, 17divcli 11189 . . . . . . . . . . 11 (1 / 3) ∈ ℂ
56 1div1e1 11137 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 1) = 1
5756oveq2i 6993 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58 ax-1ne0 10410 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
6057, 59eqtr3i 2806 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 3) + 1) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
6152, 54addcomi 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = (1 + 3)
62 df-4 11511 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
63 1t1e1 11615 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 1) = 1
6452mulid2i 10451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 · 3) = 3
6563, 64oveq12i 6994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 · 1) + (1 · 3)) = (1 + 3)
6661, 62, 653eqtr4ri 2815 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 · 1) + (1 · 3)) = 4
6766oveq1i 6992 . . . . . . . . . . . 12 (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1)) = (4 / (3 · 1))
68 3t1e3 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 1) = 3
6968oveq2i 6993 . . . . . . . . . . . 12 (4 / (3 · 1)) = (4 / 3)
7060, 67, 693eqtri 2808 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
7153, 55, 54, 70subaddrii 10782 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) − (1 / 3)) = 1
7271oveq2i 6993 . . . . . . . . 9 (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + 1)
73 1e0p1 11960 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
7472, 73eqtr4i 2807 . . . . . . . 8 (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1
7550, 74syl6eq 2832 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1)
7675oveq1d 6997 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
7748, 76breqtrd 4960 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (1 · 𝐸))
78 1lt2 11624 . . . . . 6 1 < 2
794a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
8013, 79, 5ltmul1d 12295 . . . . . 6 (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸)))
8178, 80mpbii 225 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 10607 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑌) < (2 · 𝐸))
8311, 82eqbrtrd 4956 . . 3 (𝜑 → -(𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))
843, 8, 83ltnegcon1d 11027 . 2 (𝜑 → -(2 · 𝐸) < (𝑌𝑋))
85 5re 11535 . . . . . 6 5 ∈ ℝ
8685a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
8716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
8817a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 3 ≠ 0)
8986, 87, 88redivcld 11275 . . . 4 (𝜑 → (5 / 3) ∈ ℝ)
9089, 6remulcld 10476 . . 3 (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
912renegcld 10874 . . . . 5 (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
9215, 19readdcld 10475 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
9392, 6remulcld 10476 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
9428renegcld 10874 . . . . 5 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
95 stoweidlem13.8 . . . . 5 (𝜑𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
9728, 2ltnegd 11025 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋 ↔ -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
9896, 97mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 11070 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) < (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
1009, 10negsubd 10810 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) = (𝑌𝑋))
10135, 36, 40adddird 10471 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)))
10235, 38negsubd 10810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 + -(4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
103102eqcomd 2786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 + -(4 / 3)))
104103oveq1d 6997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸))
10538negcld 10791 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(4 / 3) ∈ ℂ)
10635, 105, 40adddird 10471 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)))
10738, 40mulneg1d 10900 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(4 / 3) · 𝐸) = -((4 / 3) · 𝐸))
108107oveq2d 6998 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
109104, 106, 1083eqtrd 2820 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
110109negeqd 10686 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
11135, 40mulcld 10466 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
11238, 40mulcld 10466 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
113112negcld 10791 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
114111, 113negdid 10817 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)))
115112negnegd 10795 . . . . . . . 8 (𝜑 → --((4 / 3) · 𝐸) = ((4 / 3) · 𝐸))
116115oveq2d 6998 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
117110, 114, 1163eqtrd 2820 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
118101, 117oveq12d 7000 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
11936, 40mulcld 10466 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
120111negcld 10791 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
121111, 119, 120, 112add4d 10674 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
122111negidd 10794 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) = 0)
123122oveq1d 6997 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
124119, 112addcld 10465 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)) ∈ ℂ)
125124addid2d 10647 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
126121, 123, 1253eqtrd 2820 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
12736, 38, 40adddird 10471 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
12887recnd 10474 . . . . . . . 8 (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
12936, 38addcld 10465 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) ∈ ℂ)
130128, 36, 38adddid 10470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))))
13154, 51addcomi 10637 . . . . . . . . . 10 (1 + 4) = (4 + 1)
13254, 52, 17divcan2i 11190 . . . . . . . . . . 11 (3 · (1 / 3)) = 1
13351, 52, 17divcan2i 11190 . . . . . . . . . . 11 (3 · (4 / 3)) = 4
134132, 133oveq12i 6994 . . . . . . . . . 10 ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = (1 + 4)
135 df-5 11512 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
136131, 134, 1353eqtr4i 2814 . . . . . . . . 9 ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = 5
137130, 136syl6eq 2832 . . . . . . . 8 (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138128, 129, 88, 137mvllmuld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139138oveq1d 6997 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = ((5 / 3) · 𝐸))
140126, 127, 1393eqtr2d 2822 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = ((5 / 3) · 𝐸))
141118, 140eqtrd 2816 . . . 4 (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = ((5 / 3) · 𝐸))
14299, 100, 1413brtr3d 4965 . . 3 (𝜑 → (𝑌𝑋) < ((5 / 3) · 𝐸))
143 5lt6 11634 . . . . . . 7 5 < 6
144 3t2e6 11619 . . . . . . 7 (3 · 2) = 6
145143, 144breqtrri 4961 . . . . . 6 5 < (3 · 2)
146 3pos 11558 . . . . . . . 8 0 < 3
14716, 146pm3.2i 463 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
148 ltdivmul 11322 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2)))
14985, 4, 147, 148mp3an 1441 . . . . . 6 ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2))
150145, 149mpbir 223 . . . . 5 (5 / 3) < 2
151150a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (5 / 3) < 2)
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 12309 . . 3 (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) < (2 · 𝐸))
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 10607 . 2 (𝜑 → (𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))
1543, 8absltd 14656 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸) ↔ (-(2 · 𝐸) < (𝑌𝑋) ∧ (𝑌𝑋) < (2 · 𝐸))))
15584, 153, 154mpbir2and 701 1 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑋)) < (2 · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069  wcel 2051  wne 2969   class class class wbr 4934  cfv 6193  (class class class)co 6982  cr 10340  0cc0 10341  1c1 10342   + caddc 10344   · cmul 10346   < clt 10480  cle 10481  cmin 10676  -cneg 10677   / cdiv 11104  2c2 11501  3c3 11502  4c4 11503  5c5 11504  6c6 11505  +crp 12210  abscabs 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-sup 8707  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-rp 12211  df-seq 13191  df-exp 13251  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  41812
  Copyright terms: Public domain W3C validator