stoweidlem13 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stoweidlem13 45460

Description: Lemma for stoweid 45510. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stoweidlem13.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
stoweidlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
stoweidlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ)
stoweidlem13.5	⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
stoweidlem13.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
stoweidlem13.7	⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
stoweidlem13.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))

**Assertion**
Ref	Expression
stoweidlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸))

**Proof of Theorem stoweidlem13**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem13.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		stoweidlem13.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
4		2re 12311	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		stoweidlem13.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
6	5	rpred 13043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
7		remulcl 11218	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
9	1	recnd 11267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
10	2	recnd 11267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	negsubdi2d 11612	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) = (𝑋 − 𝑌))
12	2, 1	resubcld 11667	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℝ)
13		1red 11240	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	13, 6	remulcld 11269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) ∈ ℝ)
15		stoweidlem13.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ)
16		3re 12317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
17		3ne0 12343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
18	16, 17	rereccli 12004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
20	15, 19	resubcld 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
21	20, 6	remulcld 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
22	21, 1	resubcld 11667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) ∈ ℝ)
23		4re 12321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
24	23, 16, 17	3pm3.2i 1336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
25		redivcl 11958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (4 / 3) ∈ ℝ)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
27	15, 26	resubcld 11667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
28	27, 6	remulcld 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
29	21, 28	resubcld 11667	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ∈ ℝ)
30		stoweidlem13.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
31	2, 21, 1, 30	lesub1dd 11855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≤ (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌))
32		stoweidlem13.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
33	28, 1, 21, 32	ltsub2dd 11852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
34	12, 22, 29, 31, 33	lelttrd 11397	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
35	15	recnd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℂ)
36	19	recnd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℂ)
38	26	recnd 11267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℂ)
39	35, 38	subcld 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℂ)
40	6	recnd 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
41	37, 39, 40	subdird 11696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
42	35, 36, 35, 38	sub4d 11645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))))
43	35, 35	subcld 11596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − 𝑗) ∈ ℂ)
44	43, 36, 38	subsub2d 11625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
45	42, 44	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
46	45	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
47	41, 46	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
48	34, 47	breqtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
49	35	subidd 11584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − 𝑗) = 0)
50	49	oveq1d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))))
51		4cn 12322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
52		3cn 12318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
53	51, 52, 17	divcli 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) ∈ ℂ
54		ax-1cn 11191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54, 52, 17	divcli 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
56		1div1e1 11929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 1) = 1
57	56	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58		ax-1ne0 11202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
59	54, 52, 54, 54, 17, 58	divadddivi 12001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
60	57, 59	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 3) + 1) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
61	52, 54	addcomi 11430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
62		df-4 12302	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 = (3 + 1)
63		1t1e1 12399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 1) = 1
64	52	mullidi 11244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 3) = 3
65	63, 64	oveq12i 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 1) + (1 · 3)) = (1 + 3)
66	61, 62, 65	3eqtr4ri 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 1) + (1 · 3)) = 4
67	66	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1)) = (4 / (3 · 1))
68		3t1e3 12402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 1) = 3
69	68	oveq2i 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / (3 · 1)) = (4 / 3)
70	60, 67, 69	3eqtri 2757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
71	53, 55, 54, 70	subaddrii 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) − (1 / 3)) = 1
72	71	oveq2i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + 1)
73		1e0p1 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
74	72, 73	eqtr4i 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1
75	50, 74	eqtrdi 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1)
76	75	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
77	48, 76	breqtrd 5170	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (1 · 𝐸))
78		1lt2 12408	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
79	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
80	13, 79, 5	ltmul1d 13084	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸)))
81	78, 80	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
82	12, 14, 8, 77, 81	lttrd 11400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (2 · 𝐸))
83	11, 82	eqbrtrd 5166	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))
84	3, 8, 83	ltnegcon1d 11819	. 2 ⊢ (𝜑 → -(2 · 𝐸) < (𝑌 − 𝑋))
85		5re 12324	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
87	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
88	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
89	86, 87, 88	redivcld 12067	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (5 / 3) ∈ ℝ)
90	89, 6	remulcld 11269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
91	2	renegcld 11666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
92	15, 19	readdcld 11268	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
93	92, 6	remulcld 11269	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
94	28	renegcld 11666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
95		stoweidlem13.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
96		stoweidlem13.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
97	28, 2	ltnegd 11817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋 ↔ -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
98	96, 97	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
99	1, 91, 93, 94, 95, 98	lt2addd 11862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) < (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
100	9, 10	negsubd 11602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) = (𝑌 − 𝑋))
101	35, 36, 40	adddird 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)))
102	35, 38	negsubd 11602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 + -(4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
103	102	eqcomd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 + -(4 / 3)))
104	103	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸))
105	38	negcld 11583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(4 / 3) ∈ ℂ)
106	35, 105, 40	adddird 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)))
107	38, 40	mulneg1d 11692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(4 / 3) · 𝐸) = -((4 / 3) · 𝐸))
108	107	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
109	104, 106, 108	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
110	109	negeqd 11479	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
111	35, 40	mulcld 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
112	38, 40	mulcld 11259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
113	112	negcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
114	111, 113	negdid 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)))
115	112	negnegd 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --((4 / 3) · 𝐸) = ((4 / 3) · 𝐸))
116	115	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
117	110, 114, 116	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
118	101, 117	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
119	36, 40	mulcld 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
120	111	negcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
121	111, 119, 120, 112	add4d 11467	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
122	111	negidd 11586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) = 0)
123	122	oveq1d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
124	119, 112	addcld 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)) ∈ ℂ)
125	124	addlidd 11440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
126	121, 123, 125	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
127	36, 38, 40	adddird 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
128	87	recnd 11267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
129	36, 38	addcld 11258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) ∈ ℂ)
130	128, 36, 38	adddid 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))))
131	54, 51	addcomi 11430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 4) = (4 + 1)
132	54, 52, 17	divcan2i 11982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (1 / 3)) = 1
133	51, 52, 17	divcan2i 11982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (4 / 3)) = 4
134	132, 133	oveq12i 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = (1 + 4)
135		df-5 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
136	131, 134, 135	3eqtr4i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = 5
137	130, 136	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138	128, 129, 88, 137	mvllmuld 12071	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139	138	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = ((5 / 3) · 𝐸))
140	126, 127, 139	3eqtr2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = ((5 / 3) · 𝐸))
141	118, 140	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = ((5 / 3) · 𝐸))
142	99, 100, 141	3brtr3d 5175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) < ((5 / 3) · 𝐸))
143		5lt6 12418	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
144		3t2e6 12403	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
145	143, 144	breqtrri 5171	. . . . . 6 ⊢ 5 < (3 · 2)
146		3pos 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
147	16, 146	pm3.2i 469	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
148		ltdivmul 12114	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2)))
149	85, 4, 147, 148	mp3an 1457	. . . . . 6 ⊢ ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2))
150	145, 149	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (5 / 3) < 2
151	150	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (5 / 3) < 2)
152	89, 79, 5, 151	ltmul1dd 13098	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) < (2 · 𝐸))
153	3, 90, 8, 142, 152	lttrd 11400	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))
154	3, 8	absltd 15403	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸) ↔ (-(2 · 𝐸) < (𝑌 − 𝑋) ∧ (𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))))
155	84, 153, 154	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 class class class wbr 5144 ‘cfv 6543 (class class class)co 7413 ℝcr 11132 0cc0 11133 1c1 11134 + caddc 11136 · cmul 11138 < clt 11273 ≤ cle 11274 − cmin 11469 -cneg 11470 / cdiv 11896 2c2 12292 3c3 12293 4c4 12294 5c5 12295 6c6 12296 ℝ⁺crp 13001 abscabs 15208

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-op 4632 df-uni 4905 df-iun 4994 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-om 7866 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-sup 9460 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-n0 12498 df-z 12584 df-uz 12848 df-rp 13002 df-seq 13994 df-exp 14054 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210

This theorem is referenced by: stoweidlem61 45508

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