Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem13 45460
Description: Lemma for stoweid 45510. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
stoweidlem13.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
stoweidlem13.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
stoweidlem13.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
stoweidlem13.5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘‹)
stoweidlem13.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ))
stoweidlem13.7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘Œ)
stoweidlem13.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)) < (2 ยท ๐ธ))

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2 stoweidlem13.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 11667 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4 2re 12311 . . . 4 2 โˆˆ โ„
5 stoweidlem13.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
65rpred 13043 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
7 remulcl 11218 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
84, 6, 7sylancr 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
91recnd 11267 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
102recnd 11267 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
119, 10negsubdi2d 11612 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ))
122, 1resubcld 11667 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
13 1red 11240 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1413, 6remulcld 11269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
16 3re 12317 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
17 3ne0 12343 . . . . . . . . . . . . 13 3 โ‰  0
1816, 17rereccli 12004 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„)
2015, 19resubcld 11667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆˆ โ„)
2120, 6remulcld 11269 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
2221, 1resubcld 11667 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
23 4re 12321 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
2423, 16, 173pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . 12 (4 โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 โ‰  0)
25 redivcl 11958 . . . . . . . . . . . 12 ((4 โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (4 / 3) โˆˆ โ„)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (4 / 3) โˆˆ โ„)
2715, 26resubcld 11667 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3)) โˆˆ โ„)
2827, 6remulcld 11269 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
2921, 28resubcld 11667 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„)
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ))
312, 21, 1, 30lesub1dd 11855 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ๐‘Œ))
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘Œ)
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 11852 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ๐‘Œ) < (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 11397 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
3515recnd 11267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
3619recnd 11267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„‚)
3735, 36subcld 11596 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆˆ โ„‚)
3826recnd 11267 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 / 3) โˆˆ โ„‚)
3935, 38subcld 11596 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3)) โˆˆ โ„‚)
406recnd 11267 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
4137, 39, 40subdird 11696 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) ยท ๐ธ) = (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
4235, 36, 35, 38sub4d 11645 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) = ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) โˆ’ ((1 / 3) โˆ’ (4 / 3))))
4335, 35subcld 11596 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4443, 36, 38subsub2d 11625 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) โˆ’ ((1 / 3) โˆ’ (4 / 3))) = ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))))
4542, 44eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) = ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))))
4645oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) ยท ๐ธ) = (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ))
4741, 46eqtr3d 2767 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) = (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ))
4834, 47breqtrd 5170 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ))
4935subidd 11584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ ๐‘—) = 0)
5049oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))))
51 4cn 12322 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„‚
52 3cn 12318 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
5351, 52, 17divcli 11981 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) โˆˆ โ„‚
54 ax-1cn 11191 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
5554, 52, 17divcli 11981 . . . . . . . . . . 11 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
56 1div1e1 11929 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 1) = 1
5756oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58 ax-1ne0 11202 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โ‰  0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 12001 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) / (3 ยท 1))
6057, 59eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 3) + 1) = (((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) / (3 ยท 1))
6152, 54addcomi 11430 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = (1 + 3)
62 df-4 12302 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
63 1t1e1 12399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท 1) = 1
6452mullidi 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท 3) = 3
6563, 64oveq12i 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) = (1 + 3)
6661, 62, 653eqtr4ri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) = 4
6766oveq1i 7423 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) / (3 ยท 1)) = (4 / (3 ยท 1))
68 3t1e3 12402 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 1) = 3
6968oveq2i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (4 / (3 ยท 1)) = (4 / 3)
7060, 67, 693eqtri 2757 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
7153, 55, 54, 70subaddrii 11574 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3)) = 1
7271oveq2i 7424 . . . . . . . . 9 (0 + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = (0 + 1)
73 1e0p1 12744 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
7472, 73eqtr4i 2756 . . . . . . . 8 (0 + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = 1
7550, 74eqtrdi 2781 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = 1)
7675oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ) = (1 ยท ๐ธ))
7748, 76breqtrd 5170 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (1 ยท ๐ธ))
78 1lt2 12408 . . . . . 6 1 < 2
794a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8013, 79, 5ltmul1d 13084 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 < 2 โ†” (1 ยท ๐ธ) < (2 ยท ๐ธ)))
8178, 80mpbii 232 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) < (2 ยท ๐ธ))
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 11400 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (2 ยท ๐ธ))
8311, 82eqbrtrd 5166 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < (2 ยท ๐ธ))
843, 8, 83ltnegcon1d 11819 . 2 (๐œ‘ โ†’ -(2 ยท ๐ธ) < (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
85 5re 12324 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„
8685a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„)
8716a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
8817a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
8986, 87, 88redivcld 12067 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (5 / 3) โˆˆ โ„)
9089, 6remulcld 11269 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((5 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
912renegcld 11666 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„)
9215, 19readdcld 11268 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— + (1 / 3)) โˆˆ โ„)
9392, 6remulcld 11269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
9428renegcld 11666 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
95 stoweidlem13.8 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ))
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘‹)
9728, 2ltnegd 11817 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘‹ โ†” -๐‘‹ < -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
9896, 97mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -๐‘‹ < -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ))
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 11862 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + -๐‘‹) < (((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) + -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
1009, 10negsubd 11602 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + -๐‘‹) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
10135, 36, 40adddird 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)))
10235, 38negsubd 11602 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— + -(4 / 3)) = (๐‘— โˆ’ (4 / 3)))
103102eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3)) = (๐‘— + -(4 / 3)))
104103oveq1d 7428 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— + -(4 / 3)) ยท ๐ธ))
10538negcld 11583 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(4 / 3) โˆˆ โ„‚)
10635, 105, 40adddird 11264 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— + -(4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + (-(4 / 3) ยท ๐ธ)))
10738, 40mulneg1d 11692 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(4 / 3) ยท ๐ธ) = -((4 / 3) ยท ๐ธ))
108107oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— ยท ๐ธ) + (-(4 / 3) ยท ๐ธ)) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)))
109104, 106, 1083eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)))
110109negeqd 11479 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = -((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)))
11135, 40mulcld 11259 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
11238, 40mulcld 11259 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((4 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
113112negcld 11583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -((4 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
114111, 113negdid 11609 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)) = (-(๐‘— ยท ๐ธ) + --((4 / 3) ยท ๐ธ)))
115112negnegd 11587 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ --((4 / 3) ยท ๐ธ) = ((4 / 3) ยท ๐ธ))
116115oveq2d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘— ยท ๐ธ) + --((4 / 3) ยท ๐ธ)) = (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
117110, 114, 1163eqtrd 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
118101, 117oveq12d 7431 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) + -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) = (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))))
11936, 40mulcld 11259 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
120111negcld 11583 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘— ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
121111, 119, 120, 112add4d 11467 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (((๐‘— ยท ๐ธ) + -(๐‘— ยท ๐ธ)) + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))))
122111negidd 11586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— ยท ๐ธ) + -(๐‘— ยท ๐ธ)) = 0)
123122oveq1d 7428 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + -(๐‘— ยท ๐ธ)) + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (0 + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))))
124119, 112addcld 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„‚)
125124addlidd 11440 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
126121, 123, 1253eqtrd 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
12736, 38, 40adddird 11264 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3) + (4 / 3)) ยท ๐ธ) = (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
12887recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
12936, 38addcld 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3) + (4 / 3)) โˆˆ โ„‚)
130128, 36, 38adddid 11263 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 ยท (1 / 3)) + (3 ยท (4 / 3))))
13154, 51addcomi 11430 . . . . . . . . . 10 (1 + 4) = (4 + 1)
13254, 52, 17divcan2i 11982 . . . . . . . . . . 11 (3 ยท (1 / 3)) = 1
13351, 52, 17divcan2i 11982 . . . . . . . . . . 11 (3 ยท (4 / 3)) = 4
134132, 133oveq12i 7425 . . . . . . . . . 10 ((3 ยท (1 / 3)) + (3 ยท (4 / 3))) = (1 + 4)
135 df-5 12303 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
136131, 134, 1353eqtr4i 2763 . . . . . . . . 9 ((3 ยท (1 / 3)) + (3 ยท (4 / 3))) = 5
137130, 136eqtrdi 2781 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138128, 129, 88, 137mvllmuld 12071 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139138oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3) + (4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((5 / 3) ยท ๐ธ))
140126, 127, 1393eqtr2d 2771 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = ((5 / 3) ยท ๐ธ))
141118, 140eqtrd 2765 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) + -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) = ((5 / 3) ยท ๐ธ))
14299, 100, 1413brtr3d 5175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < ((5 / 3) ยท ๐ธ))
143 5lt6 12418 . . . . . . 7 5 < 6
144 3t2e6 12403 . . . . . . 7 (3 ยท 2) = 6
145143, 144breqtrri 5171 . . . . . 6 5 < (3 ยท 2)
146 3pos 12342 . . . . . . . 8 0 < 3
14716, 146pm3.2i 469 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)
148 ltdivmul 12114 . . . . . . 7 ((5 โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ ((5 / 3) < 2 โ†” 5 < (3 ยท 2)))
14985, 4, 147, 148mp3an 1457 . . . . . 6 ((5 / 3) < 2 โ†” 5 < (3 ยท 2))
150145, 149mpbir 230 . . . . 5 (5 / 3) < 2
151150a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (5 / 3) < 2)
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 13098 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((5 / 3) ยท ๐ธ) < (2 ยท ๐ธ))
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 11400 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < (2 ยท ๐ธ))
1543, 8absltd 15403 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (-(2 ยท ๐ธ) < (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < (2 ยท ๐ธ))))
15584, 153, 154mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)) < (2 ยท ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  2c2 12292  3c3 12293  4c4 12294  5c5 12295  6c6 12296  โ„+crp 13001  abscabs 15208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  45508
  Copyright terms: Public domain W3C validator