Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem13 45314
Description: Lemma for stoweid 45364. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem13.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
stoweidlem13.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
stoweidlem13.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
stoweidlem13.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
stoweidlem13.5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘‹)
stoweidlem13.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ))
stoweidlem13.7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘Œ)
stoweidlem13.8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)) < (2 ยท ๐ธ))

Proof of Theorem stoweidlem13
StepHypRef Expression
1 stoweidlem13.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2 stoweidlem13.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
31, 2resubcld 11658 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆˆ โ„)
4 2re 12302 . . . 4 2 โˆˆ โ„
5 stoweidlem13.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
65rpred 13034 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
7 remulcl 11209 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
84, 6, 7sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
91recnd 11258 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
102recnd 11258 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
119, 10negsubdi2d 11603 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) = (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ))
122, 1resubcld 11658 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
13 1red 11231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
1413, 6remulcld 11260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
15 stoweidlem13.4 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
16 3re 12308 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„
17 3ne0 12334 . . . . . . . . . . . . 13 3 โ‰  0
1816, 17rereccli 11995 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) โˆˆ โ„
1918a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„)
2015, 19resubcld 11658 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆˆ โ„)
2120, 6remulcld 11260 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
2221, 1resubcld 11658 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
23 4re 12312 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
2423, 16, 173pm3.2i 1337 . . . . . . . . . . . 12 (4 โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 โ‰  0)
25 redivcl 11949 . . . . . . . . . . . 12 ((4 โˆˆ โ„ โˆง 3 โˆˆ โ„ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (4 / 3) โˆˆ โ„)
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (4 / 3) โˆˆ โ„)
2715, 26resubcld 11658 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3)) โˆˆ โ„)
2827, 6remulcld 11260 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
2921, 28resubcld 11658 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„)
30 stoweidlem13.6 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰ค ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ))
312, 21, 1, 30lesub1dd 11846 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) โ‰ค (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ๐‘Œ))
32 stoweidlem13.7 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘Œ)
3328, 1, 21, 32ltsub2dd 11843 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ๐‘Œ) < (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
3412, 22, 29, 31, 33lelttrd 11388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
3515recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
3619recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„‚)
3735, 36subcld 11587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆˆ โ„‚)
3826recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 / 3) โˆˆ โ„‚)
3935, 38subcld 11587 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3)) โˆˆ โ„‚)
406recnd 11258 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
4137, 39, 40subdird 11687 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) ยท ๐ธ) = (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
4235, 36, 35, 38sub4d 11636 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) = ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) โˆ’ ((1 / 3) โˆ’ (4 / 3))))
4335, 35subcld 11587 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
4443, 36, 38subsub2d 11616 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) โˆ’ ((1 / 3) โˆ’ (4 / 3))) = ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))))
4542, 44eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) = ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))))
4645oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) โˆ’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3))) ยท ๐ธ) = (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ))
4741, 46eqtr3d 2769 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆ’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) = (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ))
4834, 47breqtrd 5168 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ))
4935subidd 11575 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ ๐‘—) = 0)
5049oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))))
51 4cn 12313 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„‚
52 3cn 12309 . . . . . . . . . . . 12 3 โˆˆ โ„‚
5351, 52, 17divcli 11972 . . . . . . . . . . 11 (4 / 3) โˆˆ โ„‚
54 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
5554, 52, 17divcli 11972 . . . . . . . . . . 11 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
56 1div1e1 11920 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 1) = 1
5756oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58 ax-1ne0 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โ‰  0
5954, 52, 54, 54, 17, 58divadddivi 11992 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) / (3 ยท 1))
6057, 59eqtr3i 2757 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 3) + 1) = (((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) / (3 ยท 1))
6152, 54addcomi 11421 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 + 1) = (1 + 3)
62 df-4 12293 . . . . . . . . . . . . . 14 4 = (3 + 1)
63 1t1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท 1) = 1
6452mullidi 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ยท 3) = 3
6563, 64oveq12i 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) = (1 + 3)
6661, 62, 653eqtr4ri 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) = 4
6766oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ยท 1) + (1 ยท 3)) / (3 ยท 1)) = (4 / (3 ยท 1))
68 3t1e3 12393 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ยท 1) = 3
6968oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . 12 (4 / (3 ยท 1)) = (4 / 3)
7060, 67, 693eqtri 2759 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
7153, 55, 54, 70subaddrii 11565 . . . . . . . . . 10 ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3)) = 1
7271oveq2i 7425 . . . . . . . . 9 (0 + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = (0 + 1)
73 1e0p1 12735 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
7472, 73eqtr4i 2758 . . . . . . . 8 (0 + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = 1
7550, 74eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) = 1)
7675oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ ๐‘—) + ((4 / 3) โˆ’ (1 / 3))) ยท ๐ธ) = (1 ยท ๐ธ))
7748, 76breqtrd 5168 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (1 ยท ๐ธ))
78 1lt2 12399 . . . . . 6 1 < 2
794a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
8013, 79, 5ltmul1d 13075 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 < 2 โ†” (1 ยท ๐ธ) < (2 ยท ๐ธ)))
8178, 80mpbii 232 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ธ) < (2 ยท ๐ธ))
8212, 14, 8, 77, 81lttrd 11391 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Œ) < (2 ยท ๐ธ))
8311, 82eqbrtrd 5164 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < (2 ยท ๐ธ))
843, 8, 83ltnegcon1d 11810 . 2 (๐œ‘ โ†’ -(2 ยท ๐ธ) < (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
85 5re 12315 . . . . . 6 5 โˆˆ โ„
8685a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„)
8716a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
8817a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰  0)
8986, 87, 88redivcld 12058 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (5 / 3) โˆˆ โ„)
9089, 6remulcld 11260 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((5 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
912renegcld 11657 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -๐‘‹ โˆˆ โ„)
9215, 19readdcld 11259 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— + (1 / 3)) โˆˆ โ„)
9392, 6remulcld 11260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
9428renegcld 11657 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
95 stoweidlem13.8 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ < ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ))
96 stoweidlem13.5 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘‹)
9728, 2ltnegd 11808 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) < ๐‘‹ โ†” -๐‘‹ < -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
9896, 97mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -๐‘‹ < -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ))
991, 91, 93, 94, 95, 98lt2addd 11853 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + -๐‘‹) < (((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) + -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)))
1009, 10negsubd 11593 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ + -๐‘‹) = (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹))
10135, 36, 40adddird 11255 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)))
10235, 38negsubd 11593 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— + -(4 / 3)) = (๐‘— โˆ’ (4 / 3)))
103102eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— โˆ’ (4 / 3)) = (๐‘— + -(4 / 3)))
104103oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— + -(4 / 3)) ยท ๐ธ))
10538negcld 11574 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(4 / 3) โˆˆ โ„‚)
10635, 105, 40adddird 11255 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— + -(4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + (-(4 / 3) ยท ๐ธ)))
10738, 40mulneg1d 11683 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(4 / 3) ยท ๐ธ) = -((4 / 3) ยท ๐ธ))
108107oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— ยท ๐ธ) + (-(4 / 3) ยท ๐ธ)) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)))
109104, 106, 1083eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)))
110109negeqd 11470 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = -((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)))
11135, 40mulcld 11250 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘— ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
11238, 40mulcld 11250 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((4 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
113112negcld 11574 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -((4 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
114111, 113negdid 11600 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— ยท ๐ธ) + -((4 / 3) ยท ๐ธ)) = (-(๐‘— ยท ๐ธ) + --((4 / 3) ยท ๐ธ)))
115112negnegd 11578 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ --((4 / 3) ยท ๐ธ) = ((4 / 3) ยท ๐ธ))
116115oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘— ยท ๐ธ) + --((4 / 3) ยท ๐ธ)) = (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
117110, 114, 1163eqtrd 2771 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ) = (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
118101, 117oveq12d 7432 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) + -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) = (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))))
11936, 40mulcld 11250 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3) ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
120111negcld 11574 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘— ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
121111, 119, 120, 112add4d 11458 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (((๐‘— ยท ๐ธ) + -(๐‘— ยท ๐ธ)) + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))))
122111negidd 11577 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘— ยท ๐ธ) + -(๐‘— ยท ๐ธ)) = 0)
123122oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + -(๐‘— ยท ๐ธ)) + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (0 + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))))
124119, 112addcld 11249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)) โˆˆ โ„‚)
125124addlidd 11431 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 + (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
126121, 123, 1253eqtrd 2771 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
12736, 38, 40adddird 11255 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3) + (4 / 3)) ยท ๐ธ) = (((1 / 3) ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ)))
12887recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„‚)
12936, 38addcld 11249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3) + (4 / 3)) โˆˆ โ„‚)
130128, 36, 38adddid 11254 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 ยท (1 / 3)) + (3 ยท (4 / 3))))
13154, 51addcomi 11421 . . . . . . . . . 10 (1 + 4) = (4 + 1)
13254, 52, 17divcan2i 11973 . . . . . . . . . . 11 (3 ยท (1 / 3)) = 1
13351, 52, 17divcan2i 11973 . . . . . . . . . . 11 (3 ยท (4 / 3)) = 4
134132, 133oveq12i 7426 . . . . . . . . . 10 ((3 ยท (1 / 3)) + (3 ยท (4 / 3))) = (1 + 4)
135 df-5 12294 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
136131, 134, 1353eqtr4i 2765 . . . . . . . . 9 ((3 ยท (1 / 3)) + (3 ยท (4 / 3))) = 5
137130, 136eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (3 ยท ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138128, 129, 88, 137mvllmuld 12062 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139138oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3) + (4 / 3)) ยท ๐ธ) = ((5 / 3) ยท ๐ธ))
140126, 127, 1393eqtr2d 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— ยท ๐ธ) + ((1 / 3) ยท ๐ธ)) + (-(๐‘— ยท ๐ธ) + ((4 / 3) ยท ๐ธ))) = ((5 / 3) ยท ๐ธ))
141118, 140eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘— + (1 / 3)) ยท ๐ธ) + -((๐‘— โˆ’ (4 / 3)) ยท ๐ธ)) = ((5 / 3) ยท ๐ธ))
14299, 100, 1413brtr3d 5173 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < ((5 / 3) ยท ๐ธ))
143 5lt6 12409 . . . . . . 7 5 < 6
144 3t2e6 12394 . . . . . . 7 (3 ยท 2) = 6
145143, 144breqtrri 5169 . . . . . 6 5 < (3 ยท 2)
146 3pos 12333 . . . . . . . 8 0 < 3
14716, 146pm3.2i 470 . . . . . . 7 (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)
148 ltdivmul 12105 . . . . . . 7 ((5 โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง (3 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 3)) โ†’ ((5 / 3) < 2 โ†” 5 < (3 ยท 2)))
14985, 4, 147, 148mp3an 1458 . . . . . 6 ((5 / 3) < 2 โ†” 5 < (3 ยท 2))
150145, 149mpbir 230 . . . . 5 (5 / 3) < 2
151150a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (5 / 3) < 2)
15289, 79, 5, 151ltmul1dd 13089 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((5 / 3) ยท ๐ธ) < (2 ยท ๐ธ))
1533, 90, 8, 142, 152lttrd 11391 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < (2 ยท ๐ธ))
1543, 8absltd 15394 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (-(2 ยท ๐ธ) < (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) โˆง (๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹) < (2 ยท ๐ธ))))
15584, 153, 154mpbir2and 712 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐‘Œ โˆ’ ๐‘‹)) < (2 ยท ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  5c5 12286  6c6 12287  โ„+crp 12992  abscabs 15199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201
This theorem is referenced by:  stoweidlem61  45362
  Copyright terms: Public domain W3C validator