Theorem stoweidlem13 46462

Description: Lemma for stoweid 46512. This lemma is used to prove the statement abs( f(t) - g(t) ) < 2 epsilon, in the last step of the proof in [BrosowskiDeutsh] p. 92. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem13.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem13.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
stoweidlem13.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
stoweidlem13.4	⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ)
stoweidlem13.5	⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
stoweidlem13.6	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
stoweidlem13.7	⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
stoweidlem13.8	⊢ (𝜑 → 𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem13	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸))

Proof of Theorem stoweidlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem13.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2		stoweidlem13.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
4		2re 12249	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		stoweidlem13.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
6	5	rpred 12980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
7		remulcl 11117	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
9	1	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
10	2	recnd 11167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
11	9, 10	negsubdi2d 11515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) = (𝑋 − 𝑌))
12	2, 1	resubcld 11572	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ ℝ)
13		1red 11139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14	13, 6	remulcld 11169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) ∈ ℝ)
15		stoweidlem13.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℝ)
16		3re 12255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℝ
17		3ne0 12281	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
18	16, 17	rereccli 11914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
20	15, 19	resubcld 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℝ)
21	20, 6	remulcld 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
22	21, 1	resubcld 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) ∈ ℝ)
23		4re 12259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
24	23, 16, 17	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
25		redivcl 11868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (4 / 3) ∈ ℝ)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℝ)
27	15, 26	resubcld 11572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℝ)
28	27, 6	remulcld 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
29	21, 28	resubcld 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) ∈ ℝ)
30		stoweidlem13.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸))
31	2, 21, 1, 30	lesub1dd 11760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ≤ (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌))
32		stoweidlem13.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑌)
33	28, 1, 21, 32	ltsub2dd 11757	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
34	12, 22, 29, 31, 33	lelttrd 11298	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
35	15	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑗 ∈ ℂ)
36	19	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℂ)
37	35, 36	subcld 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (1 / 3)) ∈ ℂ)
38	26	recnd 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (4 / 3) ∈ ℂ)
39	35, 38	subcld 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) ∈ ℂ)
40	6	recnd 11167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
41	37, 39, 40	subdird 11601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
42	35, 36, 35, 38	sub4d 11548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))))
43	35, 35	subcld 11499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − 𝑗) ∈ ℂ)
44	43, 36, 38	subsub2d 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) − ((1 / 3) − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
45	42, 44	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) = ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))))
46	45	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) − (𝑗 − (4 / 3))) · 𝐸) = (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
47	41, 46	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (1 / 3)) · 𝐸) − ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
48	34, 47	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸))
49	35	subidd 11487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − 𝑗) = 0)
50	49	oveq1d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))))
51		4cn 12260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℂ
52		3cn 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
53	51, 52, 17	divcli 11891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 / 3) ∈ ℂ
54		ax-1cn 11090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
55	54, 52, 17	divcli 11891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
56		1div1e1 11839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 / 1) = 1
57	56	oveq2i 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 3) + (1 / 1)) = ((1 / 3) + 1)
58		ax-1ne0 11101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
59	54, 52, 54, 54, 17, 58	divadddivi 11911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 3) + (1 / 1)) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
60	57, 59	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 / 3) + 1) = (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1))
61	52, 54	addcomi 11331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = (1 + 3)
62		df-4 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 = (3 + 1)
63		1t1e1 12332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 1) = 1
64	52	mullidi 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 3) = 3
65	63, 64	oveq12i 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 1) + (1 · 3)) = (1 + 3)
66	61, 62, 65	3eqtr4ri 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 1) + (1 · 3)) = 4
67	66	oveq1i 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · 1) + (1 · 3)) / (3 · 1)) = (4 / (3 · 1))
68		3t1e3 12335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 1) = 3
69	68	oveq2i 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / (3 · 1)) = (4 / 3)
70	60, 67, 69	3eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) + 1) = (4 / 3)
71	53, 55, 54, 70	subaddrii 11477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 / 3) − (1 / 3)) = 1
72	71	oveq2i 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = (0 + 1)
73		1e0p1 12680	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
74	72, 73	eqtr4i 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1
75	50, 74	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) = 1)
76	75	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − 𝑗) + ((4 / 3) − (1 / 3))) · 𝐸) = (1 · 𝐸))
77	48, 76	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (1 · 𝐸))
78		1lt2 12341	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
79	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
80	13, 79, 5	ltmul1d 13021	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 < 2 ↔ (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸)))
81	78, 80	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐸) < (2 · 𝐸))
82	12, 14, 8, 77, 81	lttrd 11301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) < (2 · 𝐸))
83	11, 82	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))
84	3, 8, 83	ltnegcon1d 11724	. 2 ⊢ (𝜑 → -(2 · 𝐸) < (𝑌 − 𝑋))
85		5re 12262	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℝ
86	85	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℝ)
87	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
88	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
89	86, 87, 88	redivcld 11977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (5 / 3) ∈ ℝ)
90	89, 6	remulcld 11169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) ∈ ℝ)
91	2	renegcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑋 ∈ ℝ)
92	15, 19	readdcld 11168	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
93	92, 6	remulcld 11169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
94	28	renegcld 11571	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
95		stoweidlem13.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
96		stoweidlem13.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋)
97	28, 2	ltnegd 11722	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) < 𝑋 ↔ -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
98	96, 97	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑋 < -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸))
99	1, 91, 93, 94, 95, 98	lt2addd 11767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) < (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)))
100	9, 10	negsubd 11505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + -𝑋) = (𝑌 − 𝑋))
101	35, 36, 40	adddird 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)))
102	35, 38	negsubd 11505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑗 + -(4 / 3)) = (𝑗 − (4 / 3)))
103	102	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑗 − (4 / 3)) = (𝑗 + -(4 / 3)))
104	103	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸))
105	38	negcld 11486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(4 / 3) ∈ ℂ)
106	35, 105, 40	adddird 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 + -(4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)))
107	38, 40	mulneg1d 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(4 / 3) · 𝐸) = -((4 / 3) · 𝐸))
108	107	oveq2d 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + (-(4 / 3) · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
109	104, 106, 108	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
110	109	negeqd 11381	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)))
111	35, 40	mulcld 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
112	38, 40	mulcld 11159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
113	112	negcld 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((4 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
114	111, 113	negdid 11512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 · 𝐸) + -((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)))
115	112	negnegd 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --((4 / 3) · 𝐸) = ((4 / 3) · 𝐸))
116	115	oveq2d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑗 · 𝐸) + --((4 / 3) · 𝐸)) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
117	110, 114, 116	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸) = (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
118	101, 117	oveq12d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
119	36, 40	mulcld 11159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) · 𝐸) ∈ ℂ)
120	111	negcld 11486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(𝑗 · 𝐸) ∈ ℂ)
121	111, 119, 120, 112	add4d 11369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
122	111	negidd 11489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) = 0)
123	122	oveq1d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + -(𝑗 · 𝐸)) + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))))
124	119, 112	addcld 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)) ∈ ℂ)
125	124	addlidd 11341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
126	121, 123, 125	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
127	36, 38, 40	adddird 11164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = (((1 / 3) · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸)))
128	87	recnd 11167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
129	36, 38	addcld 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) ∈ ℂ)
130	128, 36, 38	adddid 11163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))))
131	54, 51	addcomi 11331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 4) = (4 + 1)
132	54, 52, 17	divcan2i 11892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (1 / 3)) = 1
133	51, 52, 17	divcan2i 11892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · (4 / 3)) = 4
134	132, 133	oveq12i 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = (1 + 4)
135		df-5 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
136	131, 134, 135	3eqtr4i 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · (1 / 3)) + (3 · (4 / 3))) = 5
137	130, 136	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (3 · ((1 / 3) + (4 / 3))) = 5)
138	128, 129, 88, 137	mvllmuld 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3) + (4 / 3)) = (5 / 3))
139	138	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3) + (4 / 3)) · 𝐸) = ((5 / 3) · 𝐸))
140	126, 127, 139	3eqtr2d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 · 𝐸) + ((1 / 3) · 𝐸)) + (-(𝑗 · 𝐸) + ((4 / 3) · 𝐸))) = ((5 / 3) · 𝐸))
141	118, 140	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) + -((𝑗 − (4 / 3)) · 𝐸)) = ((5 / 3) · 𝐸))
142	99, 100, 141	3brtr3d 5117	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) < ((5 / 3) · 𝐸))
143		5lt6 12351	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
144		3t2e6 12336	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 2) = 6
145	143, 144	breqtrri 5113	. . . . . 6 ⊢ 5 < (3 · 2)
146		3pos 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
147	16, 146	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
148		ltdivmul 12025	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2)))
149	85, 4, 147, 148	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ ((5 / 3) < 2 ↔ 5 < (3 · 2))
150	145, 149	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ (5 / 3) < 2
151	150	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (5 / 3) < 2)
152	89, 79, 5, 151	ltmul1dd 13035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((5 / 3) · 𝐸) < (2 · 𝐸))
153	3, 90, 8, 142, 152	lttrd 11301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))
154	3, 8	absltd 15388	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸) ↔ (-(2 · 𝐸) < (𝑌 − 𝑋) ∧ (𝑌 − 𝑋) < (2 · 𝐸))))
155	84, 153, 154	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) < (2 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  -cneg 11372   / cdiv 11801  2c2 12230  3c3 12231  4c4 12232  5c5 12233  6c6 12234  ℝ⁺crp 12936  abscabs 15190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192

This theorem is referenced by:  stoweidlem61  46510