Theorem unbdqndv2lem1 34689

Description: Lemma for unbdqndv2 34691. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		unbdqndv2lem1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		unbdqndv2lem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		unbdqndv2lem1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
6	3, 4, 5	absdivd 15167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
8	3	abscld 15148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		unbdqndv2lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	1, 10	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	2, 10	subcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17		2re 12047	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		unbdqndv2lem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
22	4	abscld 15148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
23	21, 22	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
24	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
25	1, 2, 10	abs3difd 15172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))))
26	10, 2	abssubd 15165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
27	26	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
28	25, 27	breqtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
29	28	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
30	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
31	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	20, 22	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34		pm2.45 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
36	12, 32	ltnled 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
37	36	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
38	35, 37	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39		pm2.46 880	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
41	14, 32	ltnled 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42	41	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
43	40, 42	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
44	30, 31, 33, 33, 38, 43	lt2addd 11598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
45	32	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46	45	2timesd 12216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
47	46	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
48	18	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
49	20	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	mulassd 10998	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
53	47, 52	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
54	53	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
55	44, 54	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
56	9, 16, 24, 29, 55	lelttrd 11133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57		absgt0 15036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
59	5, 58	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
60	22, 59	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
61	8, 21, 60	3jca 1127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62		ltdivmul2 11852	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
64	63	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
65	56, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
66	7, 65	eqbrtrd 5096	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67		unbdqndv2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))
68	3, 4, 5	divcld 11751	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
69	68	abscld 15148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
70	21, 69	lenltd 11121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
71	67, 70	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
72	71	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
73	66, 72	condan 815	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  34690