Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2lem1 35689
Description: Lemma for unbdqndv2 35691. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2lem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
unbdqndv2lem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
unbdqndv2lem1.2 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โ‰ค (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2lem1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1
StepHypRef Expression
1 unbdqndv2lem1.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 unbdqndv2lem1.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2subcld 11576 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 unbdqndv2lem1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5 unbdqndv2lem1.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
63, 4, 5absdivd 15407 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)))
76adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)))
83abscld 15388 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
10 unbdqndv2lem1.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
111, 10subcld 11576 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1211abscld 15388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
132, 10subcld 11576 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 15388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1512, 14readdcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โˆˆ โ„)
1615adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โˆˆ โ„)
17 2re 12291 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
19 unbdqndv2lem1.e . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
2019rpred 13021 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
2118, 20remulcld 11249 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
224abscld 15388 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
2321, 22remulcld 11249 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
2423adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
251, 2, 10abs3difd 15412 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2610, 2abssubd 15405 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))
2726oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
2825, 27breqtrd 5175 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
2928adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
3012adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3114adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3220, 22remulcld 11249 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
3332adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
34 pm2.45 879 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
3612, 32ltnled 11366 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3835, 37mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)))
39 pm2.46 880 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))
4039adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))
4114, 32ltnled 11366 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
4241adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
4340, 42mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)))
4430, 31, 33, 33, 38, 43lt2addd 11842 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) < ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
4532recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
46452timesd 12460 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
4746eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
4818recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4920recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
5022recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
5148, 49, 50mulassd 11242 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)) = (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
5251eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
5347, 52eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
5453adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
5544, 54breqtrd 5175 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
569, 16, 24, 29, 55lelttrd 11377 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
57 absgt0 15276 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ท)))
584, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ท)))
595, 58mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < (absโ€˜๐ท))
6022, 59jca 511 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ท)))
618, 21, 603jca 1127 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))))
62 ltdivmul2 12096 . . . . . 6 (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท))))
6361, 62syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท))))
6463adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท))))
6556, 64mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
667, 65eqbrtrd 5171 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
67 unbdqndv2lem1.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โ‰ค (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)))
683, 4, 5divcld 11995 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6968abscld 15388 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) โˆˆ โ„)
7021, 69lenltd 11365 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ธ) โ‰ค (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) โ†” ยฌ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ)))
7167, 70mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
7271adantr 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ยฌ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
7366, 72condan 815 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  โ„+crp 12979  abscabs 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188
This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  35690
  Copyright terms: Public domain W3C validator