Theorem unbdqndv2lem1 36574

Description: Lemma for unbdqndv2 36576. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		unbdqndv2lem1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		unbdqndv2lem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		unbdqndv2lem1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
6	3, 4, 5	absdivd 15367	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
8	3	abscld 15348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		unbdqndv2lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	1, 10	subcld 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	2, 10	subcld 11479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17		2re 12206	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		unbdqndv2lem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 11149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
22	4	abscld 15348	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
23	21, 22	remulcld 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
25	1, 2, 10	abs3difd 15372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))))
26	10, 2	abssubd 15365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
27	26	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
28	25, 27	breqtrd 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
30	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
31	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	20, 22	remulcld 11149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34		pm2.45 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
36	12, 32	ltnled 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
38	35, 37	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39		pm2.46 882	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
41	14, 32	ltnled 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
43	40, 42	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
44	30, 31, 33, 33, 38, 43	lt2addd 11747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
45	32	recnd 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46	45	2timesd 12371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
47	46	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
48	18	recnd 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
49	20	recnd 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	mulassd 11142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
52	51	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
53	47, 52	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
55	44, 54	breqtrd 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
56	9, 16, 24, 29, 55	lelttrd 11278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57		absgt0 15234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
59	5, 58	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
60	22, 59	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
61	8, 21, 60	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62		ltdivmul2 12006	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
65	56, 64	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
66	7, 65	eqbrtrd 5115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67		unbdqndv2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))
68	3, 4, 5	divcld 11904	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
69	68	abscld 15348	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
70	21, 69	lenltd 11266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
71	67, 70	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
72	71	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
73	66, 72	condan 817	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351   / cdiv 11781  2c2 12187  ℝ⁺crp 12892  abscabs 15143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-seq 13911  df-exp 13971  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145

This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  36575