Theorem unbdqndv2lem1 37552

Description: Lemma for unbdqndv2 37554. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		unbdqndv2lem1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11693	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		unbdqndv2lem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		unbdqndv2lem1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
6	3, 4, 5	absdivd 15651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
8	3	abscld 15632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		unbdqndv2lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	1, 10	subcld 11693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	2, 10	subcld 11693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 11362	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17		2re 12441	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		unbdqndv2lem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 11363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
22	4	abscld 15632	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
23	21, 22	remulcld 11363	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
25	1, 2, 10	abs3difd 15656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))))
26	10, 2	abssubd 15649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
27	26	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
28	25, 27	breqtrd 5134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
30	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
31	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	20, 22	remulcld 11363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34		pm2.45 895	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
36	12, 32	ltnled 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
37	36	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
38	35, 37	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39		pm2.46 896	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
40	39	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
41	14, 32	ltnled 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42	41	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
43	40, 42	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
44	30, 31, 33, 33, 38, 43	lt2addd 11963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
45	32	recnd 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46	45	2timesd 12613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
47	46	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
48	18	recnd 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
49	20	recnd 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
50	22	recnd 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	mulassd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
52	51	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
53	47, 52	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
54	53	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
55	44, 54	breqtrd 5134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
56	9, 16, 24, 29, 55	lelttrd 11492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57		absgt0 15518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
58	4, 57	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
59	5, 58	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
60	22, 59	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
61	8, 21, 60	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62		ltdivmul2 12218	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
63	61, 62	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
64	63	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
65	56, 64	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
66	7, 65	eqbrtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67		unbdqndv2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))
68	3, 4, 5	divcld 12117	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
69	68	abscld 15632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
70	21, 69	lenltd 11480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
71	67, 70	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
72	71	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
73	66, 72	condan 830	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   / cdiv 11997  2c2 12421  ℝ⁺crp 13144  abscabs 15427

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429

This theorem is used by:  unbdqndv2lem2  37553