Theorem unbdqndv2lem1 33308

Description: Lemma for unbdqndv2 33310. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		unbdqndv2lem1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 10790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		unbdqndv2lem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		unbdqndv2lem1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
6	3, 4, 5	absdivd 14666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
7	6	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
8	3	abscld 14647	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		unbdqndv2lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	1, 10	subcld 10790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 14647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	2, 10	subcld 10790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	abscld 14647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 10461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
16	15	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17		2re 11507	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		unbdqndv2lem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 10462	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
22	4	abscld 14647	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
23	21, 22	remulcld 10462	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
24	23	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
25	1, 2, 10	abs3difd 14671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))))
26	10, 2	abssubd 14664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
27	26	oveq2d 6986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
28	25, 27	breqtrd 4949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
29	28	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
30	12	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
31	14	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	20, 22	remulcld 10462	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34		pm2.45 865	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
35	34	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
36	12, 32	ltnled 10579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
37	36	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
38	35, 37	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39		pm2.46 866	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
40	39	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
41	14, 32	ltnled 10579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42	41	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
43	40, 42	mpbird 249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
44	30, 31, 33, 33, 38, 43	lt2addd 11056	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
45	32	recnd 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46	45	2timesd 11683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
47	46	eqcomd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
48	18	recnd 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
49	20	recnd 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
50	22	recnd 10460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	mulassd 10455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
52	51	eqcomd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
53	47, 52	eqtrd 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
54	53	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
55	44, 54	breqtrd 4949	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
56	9, 16, 24, 29, 55	lelttrd 10590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57		absgt0 14535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
59	5, 58	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
60	22, 59	jca 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
61	8, 21, 60	3jca 1108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62		ltdivmul2 11310	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
64	63	adantr 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
65	56, 64	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
66	7, 65	eqbrtrd 4945	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67		unbdqndv2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))
68	3, 4, 5	divcld 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
69	68	abscld 14647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
70	21, 69	lenltd 10578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
71	67, 70	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
72	71	adantr 473	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
73	66, 72	condan 805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  ℝcr 10326  0cc0 10327   + caddc 10330   · cmul 10332   < clt 10466   ≤ cle 10467   − cmin 10662   / cdiv 11090  2c2 11488  ℝ⁺crp 12197  abscabs 14444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-seq 13178  df-exp 13238  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446

This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  33309