Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  unbdqndv2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unbdqndv2lem1 35688
Description: Lemma for unbdqndv2 35690. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2lem1.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
unbdqndv2lem1.e (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
unbdqndv2lem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
unbdqndv2lem1.2 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โ‰ค (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2lem1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1
StepHypRef Expression
1 unbdqndv2lem1.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 unbdqndv2lem1.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31, 2subcld 11575 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4 unbdqndv2lem1.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
5 unbdqndv2lem1.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โ‰  0)
63, 4, 5absdivd 15406 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)))
76adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)))
83abscld 15387 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
98adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
10 unbdqndv2lem1.c . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
111, 10subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1211abscld 15387 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
132, 10subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 15387 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
1512, 14readdcld 11247 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โˆˆ โ„)
1615adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โˆˆ โ„)
17 2re 12290 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
19 unbdqndv2lem1.e . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
2019rpred 13020 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
2118, 20remulcld 11248 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„)
224abscld 15387 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
2321, 22remulcld 11248 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
2423adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
251, 2, 10abs3difd 15411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))))
2610, 2abssubd 15404 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต)) = (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))
2726oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ถ โˆ’ ๐ต))) = ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
2825, 27breqtrd 5173 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
2928adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โ‰ค ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
3012adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3114adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) โˆˆ โ„)
3220, 22remulcld 11248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
3332adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
34 pm2.45 878 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
3534adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)))
3612, 32ltnled 11365 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3736adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ))))
3835, 37mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)))
39 pm2.46 879 . . . . . . . . 9 (ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))
4039adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))
4114, 32ltnled 11365 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
4241adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ†” ยฌ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
4340, 42mpbird 256 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)) < (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)))
4430, 31, 33, 33, 38, 43lt2addd 11841 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) < ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
4532recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„‚)
46452timesd 12459 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
4746eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
4818recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4920recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
5022recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
5148, 49, 50mulassd 11241 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)) = (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))))
5251eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
5347, 52eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
5453adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) + (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท))) = ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
5544, 54breqtrd 5173 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) + (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
569, 16, 24, 29, 55lelttrd 11376 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท)))
57 absgt0 15275 . . . . . . . . . 10 (๐ท โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ท)))
584, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†” 0 < (absโ€˜๐ท)))
595, 58mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 < (absโ€˜๐ท))
6022, 59jca 510 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ท)))
618, 21, 603jca 1126 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))))
62 ltdivmul2 12095 . . . . . 6 (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ธ) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ท) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (absโ€˜๐ท))) โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท))))
6361, 62syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท))))
6463adantr 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ) โ†” (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) < ((2 ยท ๐ธ) ยท (absโ€˜๐ท))))
6556, 64mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ต)) / (absโ€˜๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
667, 65eqbrtrd 5169 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
67 unbdqndv2lem1.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ธ) โ‰ค (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)))
683, 4, 5divcld 11994 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท) โˆˆ โ„‚)
6968abscld 15387 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) โˆˆ โ„)
7021, 69lenltd 11364 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ธ) โ‰ค (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) โ†” ยฌ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ)))
7167, 70mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
7271adantr 479 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ)))) โ†’ ยฌ (absโ€˜((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐ท)) < (2 ยท ๐ธ))
7366, 72condan 814 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ด โˆ’ ๐ถ)) โˆจ (๐ธ ยท (absโ€˜๐ท)) โ‰ค (absโ€˜(๐ต โˆ’ ๐ถ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„+crp 12978  abscabs 15185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187
This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  35689
  Copyright terms: Public domain W3C validator