Theorem unbdqndv2lem1 34616

Description: Lemma for unbdqndv2 34618. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2lem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2	⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2lem1	⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		unbdqndv2lem1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	subcld 11262	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
4		unbdqndv2lem1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
5		unbdqndv2lem1.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
6	3, 4, 5	absdivd 15095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)))
8	3	abscld 15076	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		unbdqndv2lem1.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
11	1, 10	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 15076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	2, 10	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
14	13	abscld 15076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
15	12, 14	readdcld 10935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
17		2re 11977	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19		unbdqndv2lem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
21	18, 20	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
22	4	abscld 15076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
23	21, 22	remulcld 10936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
25	1, 2, 10	abs3difd 15100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))))
26	10, 2	abssubd 15093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐶 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
27	26	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐶 − 𝐵))) = ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
28	25, 27	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
30	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
31	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
32	20, 22	remulcld 10936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
33	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34		pm2.45 878	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)))
36	12, 32	ltnled 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
37	36	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶))))
38	35, 37	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39		pm2.46 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))
41	14, 32	ltnled 11052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
42	41	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))
43	40, 42	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
44	30, 31, 33, 33, 38, 43	lt2addd 11528	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
45	32	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46	45	2timesd 12146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
47	46	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
48	18	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
49	20	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
50	22	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
51	48, 49, 50	mulassd 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
52	51	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
53	47, 52	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
54	53	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
55	44, 54	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
56	9, 16, 24, 29, 55	lelttrd 11063	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57		absgt0 14964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
58	4, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
59	5, 58	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
60	22, 59	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
61	8, 21, 60	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62		ltdivmul2 11782	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
63	61, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
65	56, 64	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
66	7, 65	eqbrtrd 5092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67		unbdqndv2lem1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)))
68	3, 4, 5	divcld 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
69	68	abscld 15076	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
70	21, 69	lenltd 11051	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
71	67, 70	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
72	71	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
73	66, 72	condan 814	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐶))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  ℝ⁺crp 12659  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  unbdqndv2lem2  34617