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Theorem unbdqndv2lem1 33962
Description: Lemma for unbdqndv2 33964. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
unbdqndv2lem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
unbdqndv2lem1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
unbdqndv2lem1.1 (𝜑𝐷 ≠ 0)
unbdqndv2lem1.2 (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
unbdqndv2lem1 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))

Proof of Theorem unbdqndv2lem1
StepHypRef Expression
1 unbdqndv2lem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 unbdqndv2lem1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
31, 2subcld 10990 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4 unbdqndv2lem1.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5 unbdqndv2lem1.1 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ 0)
63, 4, 5absdivd 14811 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)))
76adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)))
83abscld 14792 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
10 unbdqndv2lem1.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
111, 10subcld 10990 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1211abscld 14792 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
132, 10subcld 10990 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
1413abscld 14792 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
1512, 14readdcld 10663 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
17 2re 11703 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
19 unbdqndv2lem1.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2019rpred 12423 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2118, 20remulcld 10664 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐸) ∈ ℝ)
224abscld 14792 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℝ)
2321, 22remulcld 10664 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
2423adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
251, 2, 10abs3difd 14816 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))))
2610, 2abssubd 14809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐶)))
2726oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐶𝐵))) = ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
2825, 27breqtrd 5059 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
2928adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))))
3012adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
3114adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3220, 22remulcld 10664 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
3332adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℝ)
34 pm2.45 879 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3534adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3612, 32ltnled 10780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶))))
3736adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶))))
3835, 37mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
39 pm2.46 880 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4039adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
4114, 32ltnled 10780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4241adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐵𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)) ↔ ¬ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
4340, 42mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐵𝐶)) < (𝐸 · (abs‘𝐷)))
4430, 31, 33, 33, 38, 43lt2addd 11256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) < ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
4532recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (abs‘𝐷)) ∈ ℂ)
46452timesd 11872 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))))
4746eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
4818recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4920recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
5022recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘𝐷) ∈ ℂ)
5148, 49, 50mulassd 10657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)) = (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))))
5251eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
5347, 52eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
5453adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) + (𝐸 · (abs‘𝐷))) = ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
5544, 54breqtrd 5059 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐶)) + (abs‘(𝐵𝐶))) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
569, 16, 24, 29, 55lelttrd 10791 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷)))
57 absgt0 14680 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℂ → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
584, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝐷)))
595, 58mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < (abs‘𝐷))
6022, 59jca 515 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷)))
618, 21, 603jca 1125 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))))
62 ltdivmul2 11510 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐸) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘𝐷))) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
6361, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
6463adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((2 · 𝐸) · (abs‘𝐷))))
6556, 64mpbird 260 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐷)) < (2 · 𝐸))
667, 65eqbrtrd 5055 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
67 unbdqndv2lem1.2 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)))
683, 4, 5divcld 11409 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐷) ∈ ℂ)
6968abscld 14792 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) ∈ ℝ)
7021, 69lenltd 10779 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐸) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) ↔ ¬ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸)))
7167, 70mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ¬ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
7271adantr 484 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))) → ¬ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐷)) < (2 · 𝐸))
7366, 72condan 817 1 (𝜑 → ((𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐴𝐶)) ∨ (𝐸 · (abs‘𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863   / cdiv 11290  2c2 11684  +crp 12381  abscabs 14589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591
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