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Theorem 2itscp 45182
 Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients (for the intersection points of a line with a circle) to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
2itscp.n (𝜑 → (𝐵𝑌𝐴𝑋))
2itscp.q 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscp.s 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
2itscp (𝜑 → 0 < 𝑆)

Proof of Theorem 2itscp
StepHypRef Expression
1 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 2itscp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
7 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝑌) → 𝐵𝑌)
83, 6, 7subne0d 10999 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝑌) → (𝐵𝑌) ≠ 0)
98ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑌 → (𝐵𝑌) ≠ 0))
10 2itscp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
13 2itscp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1413recnd 10662 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
1716necomd 3045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝑋𝐴)
1812, 15, 17subne0d 10999 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑋) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1918ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋 → (𝑋𝐴) ≠ 0))
20 2itscp.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐵𝑌)
2120neeq1i 3054 . . . . . . . 8 (𝐸 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑌) ≠ 0)
22 2itscp.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑋𝐴)
2322neeq1i 3054 . . . . . . . 8 (𝐷 ≠ 0 ↔ (𝑋𝐴) ≠ 0)
2421, 23anbi12i 629 . . . . . . 7 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
25 2re 11703 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2710, 13resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℝ)
2822, 27eqeltrid 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2928, 13remulcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℝ)
301, 4resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
3120, 30eqeltrid 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3231, 1remulcld 10664 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℝ)
3329, 32remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
3426, 33remulcld 10664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
3534adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
3631resqcld 13611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
371resqcld 13611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
3836, 37remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
3928resqcld 13611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
4013resqcld 13611 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4139, 40remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4238, 41readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
4342adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
44 2itscp.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
4544resqcld 13611 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
4645, 40resubcld 11061 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4736, 46remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
4845, 37resubcld 11061 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
4939, 48remulcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
5150adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
5229, 32resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
5352sqge0d 13612 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
5413, 1, 10, 4, 22, 202itscplem1 45179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
5553, 54breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
5642, 34subge0d 11223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ↔ (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))))
5755, 56mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
5857adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
5938adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
6041adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
6147adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
6249adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
6337adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
6446adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
65 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐸 ≠ 0)
66 sqn0rp 13492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ≠ 0) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
6731, 65, 66syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
68 2itscp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
6940, 37, 45ltaddsub2d 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
7068, 69mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
7170adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
7263, 64, 67, 71ltmul2dd 12479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
7340adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7448adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
75 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
76 sqn0rp 13492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
7728, 75, 76syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
7840, 37, 45ltaddsubd 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
7968, 78mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
8079adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
8173, 74, 77, 80ltmul2dd 12479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
8259, 60, 61, 62, 72, 81lt2addd 11256 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
8335, 43, 51, 58, 82lelttrd 10791 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
8483ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
8524, 84syl5bir 246 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
869, 19, 85syl2and 610 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑌𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
8786imp 410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵𝑌𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
88 nne 2994 . . . . . . 7 𝐴𝑋𝐴 = 𝑋)
89 eqcom 2808 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑋𝑋 = 𝐴)
9011, 14subeq0ad 11000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐴))
9190biimprd 251 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 = 𝐴 → (𝑋𝐴) = 0))
9289, 91syl5bi 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = 𝑋 → (𝑋𝐴) = 0))
9388, 92syl5bi 245 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴𝑋 → (𝑋𝐴) = 0))
9422eqeq1i 2806 . . . . . . . 8 (𝐷 = 0 ↔ (𝑋𝐴) = 0)
9521, 94anbi12i 629 . . . . . . 7 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) ↔ ((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) = 0))
96 0red 10637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ∈ ℝ)
9738adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
9847adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
9931sqge0d 13612 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
1001sqge0d 13612 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵↑2))
10136, 37, 99, 100mulge0d 11210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
102101adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
10337adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
10446adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
105 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 𝐸 ≠ 0)
10631, 105, 66syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10770adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
108103, 104, 106, 107ltmul2dd 12479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
10996, 97, 98, 102, 108lelttrd 10791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
110 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 = 0 → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
111110adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
11214mul02d 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
113111, 112sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷 · 𝐴) = 0)
114113oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = (0 · (𝐸 · 𝐵)))
11532recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
116115mul02d 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
117116adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
118114, 117eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
119118oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
120 2t0e0 11798 . . . . . . . . . 10 (2 · 0) = 0
121119, 120eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
122 sq0i 13556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 = 0 → (𝐷↑2) = 0)
123122adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷↑2) = 0)
124123adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷↑2) = 0)
125124oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
12648recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
127126mul02d 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
128127adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
129125, 128eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
130129oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0))
13147recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
132131addid1d 10833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
133132adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
134130, 133eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
135109, 121, 1343brtr4d 5065 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
136135ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
13795, 136syl5bir 246 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
1389, 93, 137syl2and 610 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
139138imp 410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
140 nne 2994 . . . . . . 7 𝐵𝑌𝐵 = 𝑌)
1412, 5subeq0ad 11000 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑌) = 0 ↔ 𝐵 = 𝑌))
142141biimprd 251 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 = 𝑌 → (𝐵𝑌) = 0))
143140, 142syl5bi 245 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐵𝑌 → (𝐵𝑌) = 0))
14420eqeq1i 2806 . . . . . . . 8 (𝐸 = 0 ↔ (𝐵𝑌) = 0)
145144, 23anbi12i 629 . . . . . . 7 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑌) = 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
146 0red 10637 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
14741adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
14849adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
14928sqge0d 13612 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐷↑2))
15013sqge0d 13612 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
15139, 40, 149, 150mulge0d 11210 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
152151adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
15340adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
15448adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
155 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ≠ 0)
15628, 155, 76syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
15737recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
15840recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
159157, 158addcomd 10835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
160159, 68eqbrtrd 5055 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2))
16137, 40, 45ltaddsub2d 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
162160, 161mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
163162adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
164153, 154, 156, 163ltmul2dd 12479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
165146, 147, 148, 152, 164lelttrd 10791 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
166 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
167166adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
1682mul02d 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
169167, 168sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸 · 𝐵) = 0)
170169oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐴) · 0))
17128adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℝ)
172171recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
17314adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
174172, 173mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
175174mul01d 10832 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · 0) = 0)
176170, 175eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
177176oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
178177, 120eqtrdi 2852 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
179 sq0i 13556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 = 0 → (𝐸↑2) = 0)
180179adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸↑2) = 0)
181180adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) = 0)
182181oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
18346recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
184183mul02d 10831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
185184adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
186182, 185eqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
187186oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
18849recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
189188addid2d 10834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
190189adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
191187, 190eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
192165, 178, 1913brtr4d 5065 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
193192ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
194145, 193syl5bir 246 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑌) = 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
195143, 19, 194syl2and 610 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐵𝑌𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
196195imp 410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵𝑌𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
197 ioran 981 . . . . . 6 (¬ (𝐵𝑌𝐴𝑋) ↔ (¬ 𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋))
198 2itscp.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑌𝐴𝑋))
199198pm2.24d 154 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝐵𝑌𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
200197, 199syl5bir 246 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
201200imp 410 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
20287, 139, 196, 2014casesdan 1037 . . 3 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
20334, 50posdifd 11220 . . 3 (𝜑 → ((2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ↔ 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
204202, 203mpbid 235 . 2 (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
205 2itscp.c . . 3 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
206 2itscp.q . . 3 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
207 2itscp.s . . 3 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
20813, 1, 10, 4, 22, 20, 205, 44, 206, 2072itscplem3 45181 . 2 (𝜑𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
209204, 208breqtrrd 5061 1 (𝜑 → 0 < 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863  2c2 11684  ℝ+crp 12381  ↑cexp 13429 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430 This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem1  45183  inlinecirc02p  45188
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