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Theorem 2itscp 48169
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients (for the intersection points of a line with a circle) to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
2itscp.n (𝜑 → (𝐵𝑌𝐴𝑋))
2itscp.q 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscp.s 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
Assertion
Ref Expression
2itscp (𝜑 → 0 < 𝑆)

Proof of Theorem 2itscp
StepHypRef Expression
1 2itscp.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
32adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 2itscp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
54recnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
65adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
7 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝑌) → 𝐵𝑌)
83, 6, 7subne0d 11630 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝑌) → (𝐵𝑌) ≠ 0)
98ex 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝑌 → (𝐵𝑌) ≠ 0))
10 2itscp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110recnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
1211adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
13 2itscp.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1413recnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
16 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
1716necomd 2986 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝑋) → 𝑋𝐴)
1812, 15, 17subne0d 11630 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝑋) → (𝑋𝐴) ≠ 0)
1918ex 411 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝑋 → (𝑋𝐴) ≠ 0))
20 2itscp.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝐵𝑌)
2120neeq1i 2995 . . . . . . . 8 (𝐸 ≠ 0 ↔ (𝐵𝑌) ≠ 0)
22 2itscp.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑋𝐴)
2322neeq1i 2995 . . . . . . . 8 (𝐷 ≠ 0 ↔ (𝑋𝐴) ≠ 0)
2421, 23anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
25 2re 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
2710, 13resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℝ)
2822, 27eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
2928, 13remulcld 11294 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℝ)
301, 4resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℝ)
3120, 30eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
3231, 1remulcld 11294 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℝ)
3329, 32remulcld 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
3426, 33remulcld 11294 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
3534adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
3631resqcld 14144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
371resqcld 14144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
3836, 37remulcld 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
3928resqcld 14144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
4013resqcld 14144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
4139, 40remulcld 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4238, 41readdcld 11293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
44 2itscp.r . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
4544resqcld 14144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
4645, 40resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
4736, 46remulcld 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
4845, 37resubcld 11692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
4939, 48remulcld 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 11293 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
5229, 32resubcld 11692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
5352sqge0d 14156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
5413, 1, 10, 4, 22, 202itscplem1 48166 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
5553, 54breqtrrd 5181 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
5642, 34subge0d 11854 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ↔ (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))))
5755, 56mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
5857adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
5938adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
6041adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
6147adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
6249adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
6337adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
6446adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
65 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐸 ≠ 0)
66 sqn0rp 14146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ≠ 0) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
6731, 65, 66syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
68 2itscp.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
6940, 37, 45ltaddsub2d 11865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
7068, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
7170adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
7263, 64, 67, 71ltmul2dd 13126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
7340adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
7448adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
75 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
76 sqn0rp 14146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
7728, 75, 76syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
7840, 37, 45ltaddsubd 11864 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
7968, 78mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
8079adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
8173, 74, 77, 80ltmul2dd 13126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
8259, 60, 61, 62, 72, 81lt2addd 11887 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
8335, 43, 51, 58, 82lelttrd 11422 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
8483ex 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
8524, 84biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
869, 19, 85syl2and 606 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑌𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
8786imp 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵𝑌𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
88 nne 2934 . . . . . . 7 𝐴𝑋𝐴 = 𝑋)
89 eqcom 2733 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑋𝑋 = 𝐴)
9011, 14subeq0ad 11631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐴))
9190biimprd 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 = 𝐴 → (𝑋𝐴) = 0))
9289, 91biimtrid 241 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 = 𝑋 → (𝑋𝐴) = 0))
9388, 92biimtrid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴𝑋 → (𝑋𝐴) = 0))
9422eqeq1i 2731 . . . . . . . 8 (𝐷 = 0 ↔ (𝑋𝐴) = 0)
9521, 94anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) ↔ ((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) = 0))
96 0red 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ∈ ℝ)
9738adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
9847adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
9931sqge0d 14156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
1001sqge0d 14156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵↑2))
10136, 37, 99, 100mulge0d 11841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
102101adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
10337adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
10446adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
105 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 𝐸 ≠ 0)
10631, 105, 66syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
10770adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
108103, 104, 106, 107ltmul2dd 13126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
10996, 97, 98, 102, 108lelttrd 11422 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
110 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 = 0 → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
11214mul02d 11462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
113111, 112sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷 · 𝐴) = 0)
114113oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = (0 · (𝐸 · 𝐵)))
11532recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
116115mul02d 11462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
117116adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
118114, 117eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
119118oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
120 2t0e0 12433 . . . . . . . . . 10 (2 · 0) = 0
121119, 120eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
122 sq0i 14211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 = 0 → (𝐷↑2) = 0)
123122adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷↑2) = 0)
124123adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷↑2) = 0)
125124oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
12648recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
127126mul02d 11462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
129125, 128eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
130129oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0))
13147recnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
132131addridd 11464 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
133132adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
134130, 133eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
135109, 121, 1343brtr4d 5185 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
136135ex 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
13795, 136biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋𝐴) = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
1389, 93, 137syl2and 606 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
139138imp 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
140 nne 2934 . . . . . . 7 𝐵𝑌𝐵 = 𝑌)
1412, 5subeq0ad 11631 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝑌) = 0 ↔ 𝐵 = 𝑌))
142141biimprd 247 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 = 𝑌 → (𝐵𝑌) = 0))
143140, 142biimtrid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐵𝑌 → (𝐵𝑌) = 0))
14420eqeq1i 2731 . . . . . . . 8 (𝐸 = 0 ↔ (𝐵𝑌) = 0)
145144, 23anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵𝑌) = 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0))
146 0red 11267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
14741adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
14849adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
14928sqge0d 14156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐷↑2))
15013sqge0d 14156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
15139, 40, 149, 150mulge0d 11841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
152151adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
15340adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
15448adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
155 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ≠ 0)
15628, 155, 76syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ+)
15737recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
15840recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
159157, 158addcomd 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
160159, 68eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2))
16137, 40, 45ltaddsub2d 11865 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
162160, 161mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
163162adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
164153, 154, 156, 163ltmul2dd 13126 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
165146, 147, 148, 152, 164lelttrd 11422 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
166 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
167166adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
1682mul02d 11462 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
169167, 168sylan9eqr 2788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸 · 𝐵) = 0)
170169oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐴) · 0))
17128adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℝ)
172171recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
17314adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
174172, 173mulcld 11284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
175174mul01d 11463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · 0) = 0)
176170, 175eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
177176oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
178177, 120eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
179 sq0i 14211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 = 0 → (𝐸↑2) = 0)
180179adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸↑2) = 0)
181180adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) = 0)
182181oveq1d 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
18346recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
184183mul02d 11462 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
185184adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
186182, 185eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
187186oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
18849recnd 11292 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
189188addlidd 11465 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
190189adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
191187, 190eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
192165, 178, 1913brtr4d 5185 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
193192ex 411 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
194145, 193biimtrrid 242 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵𝑌) = 0 ∧ (𝑋𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
195143, 19, 194syl2and 606 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐵𝑌𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
196195imp 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵𝑌𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
197 ioran 981 . . . . . 6 (¬ (𝐵𝑌𝐴𝑋) ↔ (¬ 𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋))
198 2itscp.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝑌𝐴𝑋))
199198pm2.24d 151 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝐵𝑌𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
200197, 199biimtrrid 242 . . . . 5 (𝜑 → ((¬ 𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
201200imp 405 . . . 4 ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵𝑌 ∧ ¬ 𝐴𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
20287, 139, 196, 2014casesdan 1039 . . 3 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
20334, 50posdifd 11851 . . 3 (𝜑 → ((2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ↔ 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
204202, 203mpbid 231 . 2 (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
205 2itscp.c . . 3 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
206 2itscp.q . . 3 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
207 2itscp.s . . 3 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
20813, 1, 10, 4, 22, 20, 205, 44, 206, 2072itscplem3 48168 . 2 (𝜑𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
209204, 208breqtrrd 5181 1 (𝜑 → 0 < 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  2c2 12319  +crp 13028  cexp 14081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14022  df-exp 14082
This theorem is referenced by:  itscnhlinecirc02plem1  48170  inlinecirc02p  48175
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