2itscp - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2itscp 49027

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients (for the intersection points of a line with a circle) to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
2itscp.n	⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
2itscp.q	⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscp.s	⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
2itscp	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)

**Proof of Theorem 2itscp**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		2itscp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → 𝐵 ≠ 𝑌)
8	3, 6, 7	subne0d 11501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
9	8	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0))
10		2itscp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
13		2itscp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝐴 ≠ 𝑋)
17	16	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐴)
18	12, 15, 17	subne0d 11501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → (𝑋 − 𝐴) ≠ 0)
19	18	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝑋 → (𝑋 − 𝐴) ≠ 0))
20		2itscp.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
21	20	neeq1i 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ≠ 0 ↔ (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
22		2itscp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
23	22	neeq1i 2996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ≠ 0 ↔ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0)
24	21, 23	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0))
25		2re 12219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
27	10, 13	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ)
28	22, 27	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
29	28, 13	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	1, 4	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
31	20, 30	eqeltrid 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
32	31, 1	remulcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℝ)
33	29, 32	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
34	26, 33	remulcld 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
36	31	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
37	1	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
38	36, 37	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
39	28	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
40	13	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
41	39, 40	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
42	38, 41	readdcld 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
44		2itscp.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
45	44	resqcld 14048	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
46	45, 40	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
47	36, 46	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
48	45, 37	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
49	39, 48	remulcld 11162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
52	29, 32	resubcld 11565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
53	52	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
54	13, 1, 10, 4, 22, 20	2itscplem1 49024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
55	53, 54	breqtrrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
56	42, 34	subge0d 11727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ↔ (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))))
57	55, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
58	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
59	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
60	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
61	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
62	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
63	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
64	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
65		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐸 ≠ 0)
66		sqn0rp 14050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ≠ 0) → (𝐸↑2) ∈ ℝ⁺)
67	31, 65, 66	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ⁺)
68		2itscp.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
69	40, 37, 45	ltaddsub2d 11738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
70	68, 69	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
72	63, 64, 67, 71	ltmul2dd 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
73	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
74	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
75		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
76		sqn0rp 14050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷↑2) ∈ ℝ⁺)
77	28, 75, 76	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ⁺)
78	40, 37, 45	ltaddsubd 11737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
79	68, 78	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
81	73, 74, 77, 80	ltmul2dd 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
82	59, 60, 61, 62, 72, 81	lt2addd 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
83	35, 43, 51, 58, 82	lelttrd 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
84	83	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
85	24, 84	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
86	9, 19, 85	syl2and 608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
87	86	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
88		nne 2936	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑋 ↔ 𝐴 = 𝑋)
89		eqcom 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝐴)
90	11, 14	subeq0ad 11502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐴))
91	90	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝐴 → (𝑋 − 𝐴) = 0))
92	89, 91	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑋 → (𝑋 − 𝐴) = 0))
93	88, 92	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≠ 𝑋 → (𝑋 − 𝐴) = 0))
94	22	eqeq1i 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = 0 ↔ (𝑋 − 𝐴) = 0)
95	21, 94	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) ↔ ((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) = 0))
96		0red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ∈ ℝ)
97	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
98	47	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
99	31	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
100	1	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵↑2))
101	36, 37, 99, 100	mulge0d 11714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
103	37	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
104	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
105		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 𝐸 ≠ 0)
106	31, 105, 66	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ⁺)
107	70	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
108	103, 104, 106, 107	ltmul2dd 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
109	96, 97, 98, 102, 108	lelttrd 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
110		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 = 0 → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
112	14	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
113	111, 112	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷 · 𝐴) = 0)
114	113	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = (0 · (𝐸 · 𝐵)))
115	32	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
117	116	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
118	114, 117	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
119	118	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
120		2t0e0 12309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 0) = 0
121	119, 120	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
122		sq0i 14116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 = 0 → (𝐷↑2) = 0)
123	122	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷↑2) = 0)
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷↑2) = 0)
125	124	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
126	48	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
127	126	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
128	127	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
129	125, 128	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
130	129	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0))
131	47	recnd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
132	131	addridd 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
134	130, 133	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
135	109, 121, 134	3brtr4d 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
136	135	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
137	95, 136	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
138	9, 93, 137	syl2and 608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
139	138	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
140		nne 2936	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ↔ 𝐵 = 𝑌)
141	2, 5	subeq0ad 11502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) = 0 ↔ 𝐵 = 𝑌))
142	141	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑌) = 0))
143	140, 142	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 → (𝐵 − 𝑌) = 0))
144	20	eqeq1i 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = 0 ↔ (𝐵 − 𝑌) = 0)
145	144, 23	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵 − 𝑌) = 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0))
146		0red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
147	41	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
148	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
149	28	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷↑2))
150	13	sqge0d 14060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
151	39, 40, 149, 150	mulge0d 11714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
153	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
154	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
155		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ≠ 0)
156	28, 155, 76	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ⁺)
157	37	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
158	40	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 11335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
160	159, 68	eqbrtrd 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2))
161	37, 40, 45	ltaddsub2d 11738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
162	160, 161	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
163	162	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
164	153, 154, 156, 163	ltmul2dd 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
165	146, 147, 148, 152, 164	lelttrd 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
166		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
167	166	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
168	2	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
169	167, 168	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸 · 𝐵) = 0)
170	169	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐴) · 0))
171	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℝ)
172	171	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
173	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
174	172, 173	mulcld 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
175	174	mul01d 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · 0) = 0)
176	170, 175	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
177	176	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
178	177, 120	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
179		sq0i 14116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸↑2) = 0)
180	179	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸↑2) = 0)
181	180	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) = 0)
182	181	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
183	46	recnd 11160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
184	183	mul02d 11331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
185	184	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
186	182, 185	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
187	186	oveq1d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
188	49	recnd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
189	188	addlidd 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
191	187, 190	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
192	165, 178, 191	3brtr4d 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
193	192	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
194	145, 193	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑌) = 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
195	143, 19, 194	syl2and 608	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
196	195	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
197		ioran 985	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋) ↔ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋))
198		2itscp.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
199	198	pm2.24d 151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
200	197, 199	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
201	200	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
202	87, 139, 196, 201	4casesdan 1041	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
203	34, 50	posdifd 11724	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ↔ 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
204	202, 203	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
205		2itscp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
206		2itscp.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
207		2itscp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
208	13, 1, 10, 4, 22, 20, 205, 44, 206, 207	2itscplem3 49026	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
209	204, 208	breqtrrd 5126	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 class class class wbr 5098 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 + caddc 11029 · cmul 11031 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 2c2 12200 ℝ⁺crp 12905 ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-nn 12146 df-2 12208 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-seq 13925 df-exp 13985

This theorem is referenced by: itscnhlinecirc02plem1 49028 inlinecirc02p 49033

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