2itscp - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem 2itscp 44758

Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients (for the intersection points of a line with a circle) to have (exactly) two different real solutions. (Contributed by AV, 5-Mar-2023.) (Revised by AV, 16-May-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2itscp.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
2itscp.l	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
2itscp.n	⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
2itscp.q	⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
2itscp.s	⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
2itscp	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)

**Proof of Theorem 2itscp**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	recnd 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		2itscp.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
6	5	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
7		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → 𝐵 ≠ 𝑌)
8	3, 6, 7	subne0d 10998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ 𝑌) → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
9	8	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 → (𝐵 − 𝑌) ≠ 0))
10		2itscp.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
11	10	recnd 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
12	11	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
13		2itscp.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 10661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
16		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝐴 ≠ 𝑋)
17	16	necomd 3069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝐴)
18	12, 15, 17	subne0d 10998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → (𝑋 − 𝐴) ≠ 0)
19	18	ex 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝑋 → (𝑋 − 𝐴) ≠ 0))
20		2itscp.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
21	20	neeq1i 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ≠ 0 ↔ (𝐵 − 𝑌) ≠ 0)
22		2itscp.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
23	22	neeq1i 3078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ≠ 0 ↔ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0)
24	21, 23	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0))
25		2re 11703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
27	10, 13	resubcld 11060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℝ)
28	22, 27	eqeltrid 2915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
29	28, 13	remulcld 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	1, 4	resubcld 11060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
31	20, 30	eqeltrid 2915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
32	31, 1	remulcld 10663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℝ)
33	29, 32	remulcld 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
34	26, 33	remulcld 10663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
35	34	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ∈ ℝ)
36	31	resqcld 13603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
37	1	resqcld 13603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
38	36, 37	remulcld 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
39	28	resqcld 13603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℝ)
40	13	resqcld 13603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
41	39, 40	remulcld 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
42	38, 41	readdcld 10662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
43	42	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
44		2itscp.r	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
45	44	resqcld 13603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑2) ∈ ℝ)
46	45, 40	resubcld 11060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
47	36, 46	remulcld 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
48	45, 37	resubcld 11060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
49	39, 48	remulcld 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
50	47, 49	readdcld 10662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
51	50	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ∈ ℝ)
52	29, 32	resubcld 11060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵)) ∈ ℝ)
53	52	sqge0d 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
54	13, 1, 10, 4, 22, 20	2itscplem1 44755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) = (((𝐷 · 𝐴) − (𝐸 · 𝐵))↑2))
55	53, 54	breqtrrd 5085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
56	42, 34	subge0d 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) ↔ (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))))
57	55, 56	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
58	57	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) ≤ (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))))
59	38	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
60	41	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
61	47	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
62	49	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
63	37	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
64	46	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
65		simpl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐸 ≠ 0)
66		sqn0rp 13484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ≠ 0) → (𝐸↑2) ∈ ℝ⁺)
67	31, 65, 66	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ⁺)
68		2itscp.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2))
69	40, 37, 45	ltaddsub2d 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
70	68, 69	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
71	70	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
72	63, 64, 67, 71	ltmul2dd 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
73	40	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
74	48	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
75		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
76		sqn0rp 13484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐷↑2) ∈ ℝ⁺)
77	28, 75, 76	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ⁺)
78	40, 37, 45	ltaddsubd 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
79	68, 78	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
80	79	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
81	73, 74, 77, 80	ltmul2dd 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
82	59, 60, 61, 62, 72, 81	lt2addd 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐴↑2))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
83	35, 43, 51, 58, 82	lelttrd 10790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
84	83	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
85	24, 84	syl5bir 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
86	9, 19, 85	syl2and 609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
87	86	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
88		nne 3018	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 𝑋 ↔ 𝐴 = 𝑋)
89		eqcom 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝐴)
90	11, 14	subeq0ad 10999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐴))
91	90	biimprd 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝐴 → (𝑋 − 𝐴) = 0))
92	89, 91	syl5bi 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑋 → (𝑋 − 𝐴) = 0))
93	88, 92	syl5bi 244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 ≠ 𝑋 → (𝑋 − 𝐴) = 0))
94	22	eqeq1i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 = 0 ↔ (𝑋 − 𝐴) = 0)
95	21, 94	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) ↔ ((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) = 0))
96		0red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ∈ ℝ)
97	38	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
98	47	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℝ)
99	31	sqge0d 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
100	1	sqge0d 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐵↑2))
101	36, 37, 99, 100	mulge0d 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
102	101	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 ≤ ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)))
103	37	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
104	46	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
105		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 𝐸 ≠ 0)
106	31, 105, 66	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐸↑2) ∈ ℝ⁺)
107	70	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐵↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)))
108	103, 104, 106, 107	ltmul2dd 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐸↑2) · (𝐵↑2)) < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
109	96, 97, 98, 102, 108	lelttrd 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → 0 < ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
110		oveq1 7155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 = 0 → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
111	110	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
112	14	mul02d 10830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
113	111, 112	sylan9eqr 2876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷 · 𝐴) = 0)
114	113	oveq1d 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = (0 · (𝐸 · 𝐵)))
115	32	recnd 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐵) ∈ ℂ)
116	115	mul02d 10830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
117	116	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
118	114, 117	eqtrd 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
119	118	oveq2d 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
120		2t0e0 11798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 0) = 0
121	119, 120	syl6eq 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
122		sq0i 13548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐷 = 0 → (𝐷↑2) = 0)
123	122	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (𝐷↑2) = 0)
124	123	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (𝐷↑2) = 0)
125	124	oveq1d 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
126	48	recnd 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
127	126	mul02d 10830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
128	127	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
129	125, 128	eqtrd 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) = 0)
130	129	oveq2d 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0))
131	47	recnd 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
132	131	addid1d 10832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
133	132	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + 0) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
134	130, 133	eqtrd 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
135	109, 121, 134	3brtr4d 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
136	135	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ≠ 0 ∧ 𝐷 = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
137	95, 136	syl5bir 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑌) ≠ 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) = 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
138	9, 93, 137	syl2and 609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
139	138	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
140		nne 3018	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ↔ 𝐵 = 𝑌)
141	2, 5	subeq0ad 10999	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) = 0 ↔ 𝐵 = 𝑌))
142	141	biimprd 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑌) = 0))
143	140, 142	syl5bi 244	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 → (𝐵 − 𝑌) = 0))
144	20	eqeq1i 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 = 0 ↔ (𝐵 − 𝑌) = 0)
145	144, 23	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) ↔ ((𝐵 − 𝑌) = 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0))
146		0red 10636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ∈ ℝ)
147	41	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) ∈ ℝ)
148	49	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℝ)
149	28	sqge0d 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐷↑2))
150	13	sqge0d 13604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑2))
151	39, 40, 149, 150	mulge0d 11209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
152	151	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 ≤ ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)))
153	40	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
154	48	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)) ∈ ℝ)
155		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ≠ 0)
156	28, 155, 76	syl2an2r 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷↑2) ∈ ℝ⁺)
157	37	recnd 10661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
158	40	recnd 10661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
159	157, 158	addcomd 10834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
160	159, 68	eqbrtrd 5079	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2))
161	37, 40, 45	ltaddsub2d 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) < (𝑅↑2) ↔ (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
162	160, 161	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
163	162	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐴↑2) < ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))
164	153, 154, 156, 163	ltmul2dd 12479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷↑2) · (𝐴↑2)) < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
165	146, 147, 148, 152, 164	lelttrd 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 0 < ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
166		oveq1 7155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
167	166	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
168	2	mul02d 10830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐵) = 0)
169	167, 168	sylan9eqr 2876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸 · 𝐵) = 0)
170	169	oveq2d 7164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = ((𝐷 · 𝐴) · 0))
171	28	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℝ)
172	171	recnd 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐷 ∈ ℂ)
173	14	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
174	172, 173	mulcld 10653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
175	174	mul01d 10831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · 0) = 0)
176	170, 175	eqtrd 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)) = 0)
177	176	oveq2d 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = (2 · 0))
178	177, 120	syl6eq 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) = 0)
179		sq0i 13548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 = 0 → (𝐸↑2) = 0)
180	179	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐸↑2) = 0)
181	180	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐸↑2) = 0)
182	181	oveq1d 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))))
183	46	recnd 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑2) − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
184	183	mul02d 10830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
185	184	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
186	182, 185	eqtrd 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) = 0)
187	186	oveq1d 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
188	49	recnd 10661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
189	188	addid2d 10833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
190	189	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (0 + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
191	187, 190	eqtrd 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) = ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))
192	165, 178, 191	3brtr4d 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
193	192	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 = 0 ∧ 𝐷 ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
194	145, 193	syl5bir 245	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑌) = 0 ∧ (𝑋 − 𝐴) ≠ 0) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
195	143, 19, 194	syl2and 609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
196	195	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
197		ioran 979	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋) ↔ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋))
198		2itscp.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋))
199	198	pm2.24d 154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐵 ≠ 𝑌 ∨ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
200	197, 199	syl5bir 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2))))))
201	200	imp 409	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (¬ 𝐵 ≠ 𝑌 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 𝑋)) → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
202	87, 139, 196, 201	4casesdan 1035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))))
203	34, 50	posdifd 11219	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))) < (((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) ↔ 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))))
204	202, 203	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
205		2itscp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
206		2itscp.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐸↑2) + (𝐷↑2))
207		2itscp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (((𝑅↑2) · 𝑄) − (𝐶↑2))
208	13, 1, 10, 4, 22, 20, 205, 44, 206, 207	2itscplem3 44757	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((((𝐸↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐴↑2))) + ((𝐷↑2) · ((𝑅↑2) − (𝐵↑2)))) − (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
209	204, 208	breqtrrd 5085	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑆)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 398 ∨ wo 843 = wceq 1530 ∈ wcel 2107 ≠ wne 3014 class class class wbr 5057 (class class class)co 7148 ℂcc 10527 ℝcr 10528 0cc0 10529 + caddc 10532 · cmul 10534 < clt 10667 ≤ cle 10668 − cmin 10862 2c2 11684 ℝ⁺crp 12381 ↑cexp 13421

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1904 ax-6 1963 ax-7 2008 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2153 ax-12 2169 ax-ext 2791 ax-sep 5194 ax-nul 5201 ax-pow 5257 ax-pr 5320 ax-un 7453 ax-cnex 10585 ax-resscn 10586 ax-1cn 10587 ax-icn 10588 ax-addcl 10589 ax-addrcl 10590 ax-mulcl 10591 ax-mulrcl 10592 ax-mulcom 10593 ax-addass 10594 ax-mulass 10595 ax-distr 10596 ax-i2m1 10597 ax-1ne0 10598 ax-1rid 10599 ax-rnegex 10600 ax-rrecex 10601 ax-cnre 10602 ax-pre-lttri 10603 ax-pre-lttrn 10604 ax-pre-ltadd 10605 ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1082 df-3an 1083 df-tru 1533 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2063 df-mo 2616 df-eu 2648 df-clab 2798 df-cleq 2812 df-clel 2891 df-nfc 2961 df-ne 3015 df-nel 3122 df-ral 3141 df-rex 3142 df-reu 3143 df-rab 3145 df-v 3495 df-sbc 3771 df-csb 3882 df-dif 3937 df-un 3939 df-in 3941 df-ss 3950 df-pss 3952 df-nul 4290 df-if 4466 df-pw 4539 df-sn 4560 df-pr 4562 df-tp 4564 df-op 4566 df-uni 4831 df-iun 4912 df-br 5058 df-opab 5120 df-mpt 5138 df-tr 5164 df-id 5453 df-eprel 5458 df-po 5467 df-so 5468 df-fr 5507 df-we 5509 df-xp 5554 df-rel 5555 df-cnv 5556 df-co 5557 df-dm 5558 df-rn 5559 df-res 5560 df-ima 5561 df-pred 6141 df-ord 6187 df-on 6188 df-lim 6189 df-suc 6190 df-iota 6307 df-fun 6350 df-fn 6351 df-f 6352 df-f1 6353 df-fo 6354 df-f1o 6355 df-fv 6356 df-riota 7106 df-ov 7151 df-oprab 7152 df-mpo 7153 df-om 7573 df-2nd 7682 df-wrecs 7939 df-recs 8000 df-rdg 8038 df-er 8281 df-en 8502 df-dom 8503 df-sdom 8504 df-pnf 10669 df-mnf 10670 df-xr 10671 df-ltxr 10672 df-le 10673 df-sub 10864 df-neg 10865 df-nn 11631 df-2 11692 df-n0 11890 df-z 11974 df-uz 12236 df-rp 12382 df-seq 13362 df-exp 13422

This theorem is referenced by: itscnhlinecirc02plem1 44759 inlinecirc02p 44764

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