MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprm 16268
Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprm ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16232 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 gcddvds 16062 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31, 2sylan 583 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
43simprd 499 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5 breq1 5056 . . . . 5 ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑃𝑁))
64, 5syl5ibcom 248 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃𝑃𝑁))
76con3d 155 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8 0nnn 11866 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
9 prmnn 16231 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
119, 10syl5ibcom 248 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
128, 11mtoi 202 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
1312intnanrd 493 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
1413adantr 484 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15 gcdn0cl 16061 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
1615ex 416 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
171, 16sylan 583 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
1814, 17mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
193simpld 498 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20 isprm2 16239 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2120simprbi 500 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22 breq1 5056 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
2523, 24orbi12d 919 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
2622, 25imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2726rspcv 3532 . . . . . . 7 ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2821, 27syl5com 31 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2928adantr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
3018, 19, 29mp2d 49 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31 biorf 937 . . . . 5 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32 orcom 870 . . . . 5 (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
3331, 32bitrdi 290 . . . 4 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
3430, 33syl5ibrcom 250 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
357, 34syld 47 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36 iddvds 15831 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
371, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
3837adantr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃𝑃)
39 dvdslegcd 16063 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4039ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41403anidm12 1421 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
421, 41sylan 583 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
4314, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4438, 43mpand 695 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45 prmgt1 16254 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4645adantr 484 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47 1re 10833 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
481zred 12282 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4918nnred 11845 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50 ltletr 10924 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5147, 48, 49, 50mp3an2ani 1470 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5246, 51mpand 695 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53 ltne 10929 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5447, 53mpan 690 . . . . 5 (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5554a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5644, 52, 553syld 60 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5756necon2bd 2956 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃𝑁))
5835, 57impbid 215 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   < clt 10867  cle 10868  cn 11830  2c2 11885  cz 12176  cuz 12438  cdvds 15815   gcd cgcd 16053  cprime 16228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229
This theorem is referenced by:  prmrp  16269  euclemma  16270  cncongrprm  16285  isoddgcd1  16287  phiprmpw  16329  fermltl  16337  prmdiv  16338  prmdiveq  16339  vfermltl  16354  prmpwdvds  16457  1259lem5  16688  2503lem3  16692  4001lem4  16697  gexexlem  19237  ablfac1lem  19455  ablfac1eu  19460  pgpfac1lem3  19464  perfect1  26109  perfectlem1  26110  perfectlem2  26111  lgslem1  26178  lgsprme0  26220  lgsqrlem2  26228  lgsqr  26232  gausslemma2dlem0c  26239  lgsquad2lem2  26266  2sqblem  26312  rpvmasumlem  26368  dchrisum0flblem2  26390  nn0prpwlem  34248  isodd7  44790  gcd2odd1  44793
  Copyright terms: Public domain W3C validator