Theorem coprm 16892

Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		gcddvds 16678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3	1, 2	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4	3	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5		breq1 5105	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	6	con3d 153	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8		0nnn 12377	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9		prmnn 16854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
11	9, 10	syl5ibcom 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
12	8, 11	mtoi 202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
13	12	intnanrd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15		gcdn0cl 16677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
17	1, 16	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
19	3	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20		isprm2 16862	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	20	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22		breq1 5105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23		eqeq1 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24		eqeq1 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
25	23, 24	orbi12d 932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
26	22, 25	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
27	26	rspcv 3572	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
28	21, 27	syl5com 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
30	18, 19, 29	mp2d 50	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31		biorf 950	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32		orcom 884	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
33	31, 32	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
34	30, 33	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
35	7, 34	syld 48	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36		iddvds 16444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
37	1, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
39		dvdslegcd 16679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
40	39	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41	40	3anidm12 1446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
42	1, 41	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
43	14, 42	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
44	38, 43	mpand 708	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45		prmgt1 16878	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47		1re 11311	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	1	zred 12806	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
49	18	nnred 12353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50		ltletr 11405	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
51	47, 48, 49, 50	mp3an2ani 1497	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
52	46, 51	mpand 708	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53		ltne 11410	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
54	47, 53	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
56	44, 52, 55	3syld 61	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
57	56	necon2bd 2971	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
58	35, 57	impbid 215	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   < clt 11346   ≤ cle 11347  ℕcn 12338  2c2 12400  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968   ∥ cdvds 16427   gcd cgcd 16669  ℙcprime 16851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-prm 16852

This theorem is used by:  prmrp  16893  euclemma  16894  cncongrprm  16910  isoddgcd1  16912  phiprmpw  16958  fermltl  16966  prmdiv  16967  prmdiveq  16968  vfermltl  16984  prmpwdvds  17087  1259lem5  17318  2503lem3  17322  4001lem4  17327  gexexlem  20071  ablfac1lem  20289  ablfac1eu  20294  pgpfac1lem3  20298  perfect1  27560  perfectlem1  27561  perfectlem2  27562  lgslem1  27629  lgsprme0  27671  lgsqrlem2  27679  lgsqr  27683  gausslemma2dlem0c  27690  lgsquad2lem2  27717  2sqblem  27763  rpvmasumlem  27819  dchrisum0flblem2  27841  nn0prpwlem  37202  aks4d1p8d1  43227  aks4d1p8d2  43228  aks4d1p8d3  43229  aks6d1c6lem4  43316  isodd7  48856  gcd2odd1  48859