Theorem coprm 16650

Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
coprm	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 16614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2		gcddvds 16442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
3	1, 2	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4	3	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5		breq1 5103	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
6	4, 5	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → 𝑃 ∥ 𝑁))
7	6	con3d 152	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8		0nnn 12193	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
9		prmnn 16613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10		eleq1 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
11	9, 10	syl5ibcom 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
12	8, 11	mtoi 199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
13	12	intnanrd 489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15		gcdn0cl 16441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
17	1, 16	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
18	14, 17	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
19	3	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20		isprm2 16621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
21	20	simprbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22		breq1 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
25	23, 24	orbi12d 919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
26	22, 25	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
27	26	rspcv 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
28	21, 27	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
30	18, 19, 29	mp2d 49	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31		biorf 937	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32		orcom 871	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
33	31, 32	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
35	7, 34	syld 47	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36		iddvds 16208	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
37	1, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∥ 𝑃)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃 ∥ 𝑃)
39		dvdslegcd 16443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
40	39	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41	40	3anidm12 1422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
42	1, 41	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
43	14, 42	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
44	38, 43	mpand 696	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45		prmgt1 16636	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
48	1	zred 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
49	18	nnred 12172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50		ltletr 11237	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
51	47, 48, 49, 50	mp3an2ani 1471	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
52	46, 51	mpand 696	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53		ltne 11242	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
54	47, 53	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
56	44, 52, 55	3syld 60	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ 𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
57	56	necon2bd 2949	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))
58	35, 57	impbid 212	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763   ∥ cdvds 16191   gcd cgcd 16433  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  prmrp  16651  euclemma  16652  cncongrprm  16668  isoddgcd1  16670  phiprmpw  16715  fermltl  16723  prmdiv  16724  prmdiveq  16725  vfermltl  16741  prmpwdvds  16844  1259lem5  17074  2503lem3  17078  4001lem4  17083  gexexlem  19793  ablfac1lem  20011  ablfac1eu  20016  pgpfac1lem3  20020  perfect1  27207  perfectlem1  27208  perfectlem2  27209  lgslem1  27276  lgsprme0  27318  lgsqrlem2  27326  lgsqr  27330  gausslemma2dlem0c  27337  lgsquad2lem2  27364  2sqblem  27410  rpvmasumlem  27466  dchrisum0flblem2  27488  nn0prpwlem  36535  aks4d1p8d1  42451  aks4d1p8d2  42452  aks4d1p8d3  42453  aks6d1c6lem4  42540  isodd7  48022  gcd2odd1  48025