MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprm 16594
Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprm ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 16558 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 gcddvds 16390 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31, 2sylan 581 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
43simprd 497 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5 breq1 5113 . . . . 5 ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑃𝑁))
64, 5syl5ibcom 244 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃𝑃𝑁))
76con3d 152 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8 0nnn 12196 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
9 prmnn 16557 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 eleq1 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
119, 10syl5ibcom 244 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
128, 11mtoi 198 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
1312intnanrd 491 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
1413adantr 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15 gcdn0cl 16389 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
1615ex 414 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
171, 16sylan 581 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
1814, 17mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
193simpld 496 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20 isprm2 16565 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2120simprbi 498 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22 breq1 5113 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24 eqeq1 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
2523, 24orbi12d 918 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
2622, 25imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2726rspcv 3580 . . . . . . 7 ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2821, 27syl5com 31 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2928adantr 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
3018, 19, 29mp2d 49 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31 biorf 936 . . . . 5 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32 orcom 869 . . . . 5 (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
3331, 32bitrdi 287 . . . 4 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
3430, 33syl5ibrcom 247 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
357, 34syld 47 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36 iddvds 16159 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
371, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
3837adantr 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃𝑃)
39 dvdslegcd 16391 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4039ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41403anidm12 1420 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
421, 41sylan 581 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
4314, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4438, 43mpand 694 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45 prmgt1 16580 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4645adantr 482 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
481zred 12614 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4918nnred 12175 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50 ltletr 11254 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5147, 48, 49, 50mp3an2ani 1469 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5246, 51mpand 694 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53 ltne 11259 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5447, 53mpan 689 . . . . 5 (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5554a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5644, 52, 553syld 60 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5756necon2bd 2960 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃𝑁))
5835, 57impbid 211 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  cle 11197  cn 12160  2c2 12215  cz 12506  cuz 12770  cdvds 16143   gcd cgcd 16381  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  prmrp  16595  euclemma  16596  cncongrprm  16611  isoddgcd1  16613  phiprmpw  16655  fermltl  16663  prmdiv  16664  prmdiveq  16665  vfermltl  16680  prmpwdvds  16783  1259lem5  17014  2503lem3  17018  4001lem4  17023  gexexlem  19637  ablfac1lem  19854  ablfac1eu  19859  pgpfac1lem3  19863  perfect1  26592  perfectlem1  26593  perfectlem2  26594  lgslem1  26661  lgsprme0  26703  lgsqrlem2  26711  lgsqr  26715  gausslemma2dlem0c  26722  lgsquad2lem2  26749  2sqblem  26795  rpvmasumlem  26851  dchrisum0flblem2  26873  nn0prpwlem  34823  aks4d1p8d1  40570  aks4d1p8d2  40571  aks4d1p8d3  40572  isodd7  45931  gcd2odd1  45934
  Copyright terms: Public domain W3C validator