MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprm 15909
Description: A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
coprm ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem coprm
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmz 15873 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2 gcddvds 15710 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
31, 2sylan 572 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
43simprd 488 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
5 breq1 4928 . . . . 5 ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑁𝑃𝑁))
64, 5syl5ibcom 237 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃𝑃𝑁))
76con3d 150 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → ¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
8 0nnn 11474 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
9 prmnn 15872 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10 eleq1 2847 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
119, 10syl5ibcom 237 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → 0 ∈ ℕ))
128, 11mtoi 191 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 0)
1312intnanrd 482 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
1413adantr 473 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
15 gcdn0cl 15709 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
1615ex 405 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
171, 16sylan 572 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ))
1814, 17mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
193simpld 487 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃)
20 isprm2 15880 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2120simprbi 489 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
22 breq1 4928 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃))
23 eqeq1 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
24 eqeq1 2776 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑧 = 𝑃 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
2523, 24orbi12d 902 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
2622, 25imbi12d 337 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑃 gcd 𝑁) → ((𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2726rspcv 3525 . . . . . . 7 ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2821, 27syl5com 31 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
2928adantr 473 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℕ → ((𝑃 gcd 𝑁) ∥ 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))))
3018, 19, 29mp2d 49 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
31 biorf 920 . . . . 5 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1)))
32 orcom 856 . . . . 5 (((𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃))
3331, 32syl6bb 279 . . . 4 (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ↔ ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 ∨ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃)))
3430, 33syl5ibrcom 239 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 gcd 𝑁) = 𝑃 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
357, 34syld 47 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
36 iddvds 15481 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
371, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
3837adantr 473 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑃𝑃)
39 dvdslegcd 15711 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4039ex 405 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
41403anidm12 1399 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
421, 41sylan 572 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑃 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁))))
4314, 42mpd 15 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑃𝑃𝑁) → 𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
4438, 43mpand 682 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)))
45 prmgt1 15895 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4645adantr 473 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 1 < 𝑃)
47 1re 10437 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
481zred 11898 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4918nnred 11454 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
50 ltletr 10530 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 gcd 𝑁) ∈ ℝ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5147, 48, 49, 50mp3an2ani 1447 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑃𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁)) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
5246, 51mpand 682 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ (𝑃 gcd 𝑁) → 1 < (𝑃 gcd 𝑁)))
53 ltne 10535 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < (𝑃 gcd 𝑁)) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5447, 53mpan 677 . . . . 5 (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1)
5554a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 < (𝑃 gcd 𝑁) → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5644, 52, 553syld 60 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑃𝑁 → (𝑃 gcd 𝑁) ≠ 1))
5756necon2bd 2977 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑃𝑁))
5835, 57impbid 204 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑁 ↔ (𝑃 gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961  wral 3082   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   < clt 10472  cle 10473  cn 11437  2c2 11493  cz 11791  cuz 12056  cdvds 15465   gcd cgcd 15701  cprime 15869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-seq 13183  df-exp 13243  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-dvds 15466  df-gcd 15702  df-prm 15870
This theorem is referenced by:  prmrp  15910  euclemma  15911  cncongrprm  15923  isoddgcd1  15925  phiprmpw  15967  fermltl  15975  prmdiv  15976  prmdiveq  15977  vfermltl  15992  prmpwdvds  16094  1259lem5  16322  2503lem3  16326  4001lem4  16331  gexexlem  18740  ablfac1lem  18952  ablfac1eu  18957  pgpfac1lem3  18961  perfect1  25518  perfectlem1  25519  perfectlem2  25520  lgslem1  25587  lgsprme0  25629  lgsqrlem2  25637  lgsqr  25641  gausslemma2dlem0c  25648  lgsquad2lem2  25675  2sqblem  25721  rpvmasumlem  25777  dchrisum0flblem2  25799  nn0prpwlem  33220  isodd7  43223  gcd2odd1  43226
  Copyright terms: Public domain W3C validator