MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmul0 22734
Description: A scaled value of the "characteristic factor function" is zero almost always. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chfacfisf.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chfacfisf.y π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
chfacfscmulcl.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chfacfscmulcl.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
chfacfscmulcl.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmul0 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2))) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐡   𝑛,𝐾   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   Β· (𝑛,𝑠,𝑏)   Γ— (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   βˆ’ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   π‘Œ(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmul0
StepHypRef Expression
1 eluz2 12844 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾))
2 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3 nngt0 12259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑠)
4 nnre 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6 2rp 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
85, 7ltaddrpd 13067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 𝑠 < (𝑠 + 2))
9 0red 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
10 2re 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
125, 11readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (𝑠 + 2) ∈ ℝ)
13 lttr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ) β†’ ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
149, 5, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
158, 14mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑠 β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
1615ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ β„€ β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (0 < 𝑠 β†’ 0 < (𝑠 + 2))))
1716com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑠 β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„€ β†’ 0 < (𝑠 + 2))))
183, 17mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„€ β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
1918impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑠 + 2))
20 zre 12578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
22 ltleletr 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 0 ≀ 𝐾))
239, 12, 21, 22syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 0 ≀ 𝐾))
2419, 23mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 β†’ 0 ≀ 𝐾))
2524imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 0 ≀ 𝐾)
26 elnn0z 12587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
272, 25, 26sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
28 nncn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
29 add1p1 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„• β†’ ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3231eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (𝑠 + 2) = ((𝑠 + 1) + 1))
3332breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾))
34 nnz 12595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ β„€)
3534peano2zd 12685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝑠 + 1) ∈ β„€)
3635anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 1) ∈ β„€))
3736ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
38 zltp1le 12628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((𝑠 + 1) < 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾))
3938bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4133, 40bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4241biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝐾)
4327, 42jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4443ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4544impancom 451 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
46453adant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑠 + 2) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4746com12 32 . . . . . 6 (𝑠 ∈ β„• β†’ (((𝑠 + 2) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
481, 47biimtrid 241 . . . . 5 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4948adantr 480 . . . 4 ((𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
5049adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
51 chfacfisf.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
52 0red 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 ∈ ℝ)
53 peano2re 11403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
58 nn0re 12497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
60 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ β„•0)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) β†’ 𝑠 ∈ β„•0)
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑠 ∈ β„•0)
63 nn0p1gt0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„•0 β†’ 0 < (𝑠 + 1))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝑠 + 1))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 < (𝑠 + 1))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝐾)
6752, 57, 59, 65, 66lttrd 11391 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 < 𝐾)
6867gt0ne0d 11794 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  0)
6968neneqd 2940 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
7069adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
71 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 β†’ (𝑛 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
7271notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 β†’ (Β¬ 𝑛 = 0 ↔ Β¬ 𝐾 = 0))
7372adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (Β¬ 𝑛 = 0 ↔ Β¬ 𝐾 = 0))
7470, 73mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
7574iffalsed 4535 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))) = if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›)))))))
7655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
77 ltne 11327 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  (𝑠 + 1))
7876, 77sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  (𝑠 + 1))
7978neneqd 2940 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
81 eqeq1 2731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 β†’ (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8281notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 β†’ (Β¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8382adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (Β¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8480, 83mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝑛 = (𝑠 + 1))
8584iffalsed 4535 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›)))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))
86 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝐾)
87 breq2 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 β†’ ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8887adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8986, 88mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝑛)
9089iftrued 4532 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))) = 0 )
9175, 85, 903eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))) = 0 )
92 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
93 chfacfisf.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
9493fvexi 6905 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 ∈ V)
9651, 91, 92, 95fvmptd2 7007 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = 0 )
9796oveq2d 7430 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· 0 ))
98 crngring 20169 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
99 chfacfisf.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
100 chfacfisf.y . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
10199, 100pmatlmod 22569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
10298, 101sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
1031023adant3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
104103ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
105 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
106 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
107105, 106mgpbas 20064 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
108 chfacfscmulcl.e . . . . . . . . . 10 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
10999ply1ring 22140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
11098, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1111103ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
112105ringmgp 20163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
115 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
116983ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
117 chfacfscmulcl.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
118117, 99, 106vr1cl 22110 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
119116, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
120119ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
121107, 108, 114, 115, 120mulgnn0cld 19034 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
12299ply1crng 22091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
123122anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1241233adant3 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
125100matsca2 22296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
127126eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = 𝑃)
128127fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
129128eleq2d 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ↔ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ↔ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
131121, 130mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
132104, 131jca 511 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
133132adantr 480 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
134 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
135 chfacfscmulcl.m . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
136 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
137134, 135, 136, 93lmodvs0 20761 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· 0 ) = 0 )
138133, 137syl 17 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· 0 ) = 0 )
13997, 138eqtrd 2767 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 )
140139expl 457 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 ))
14150, 140syld 47 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 ))
1421413impia 1115 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2))) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  Vcvv 3469  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  β„+crp 12992  ...cfz 13502  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222  0gc0g 17406  Mndcmnd 18679  -gcsg 18877  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158  LModclmod 20725  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070   Mat cmat 22281   matToPolyMat cmat2pmat 22580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-mat 22282
This theorem is referenced by:  chfacfscmulfsupp  22735  chfacfscmulgsum  22736
  Copyright terms: Public domain W3C validator