MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmul0 22230
Description: A scaled value of the "characteristic factor function" is zero almost always. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chfacfisf.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chfacfisf.y π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r Γ— = (.rβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.0 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
chfacfisf.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
chfacfscmulcl.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chfacfscmulcl.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
chfacfscmulcl.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmul0 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2))) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐡,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,π‘Œ   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐡   𝑛,𝐾   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐡(𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   Β· (𝑛,𝑠,𝑏)   Γ— (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   βˆ’ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   π‘Œ(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmul0
StepHypRef Expression
1 eluz2 12777 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾))
2 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
3 nngt0 12192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑠)
4 nnre 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
6 2rp 12928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ+)
85, 7ltaddrpd 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 𝑠 < (𝑠 + 2))
9 0red 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
10 2re 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
125, 11readdcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (𝑠 + 2) ∈ ℝ)
13 lttr 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ) β†’ ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
149, 5, 12, 13syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
158, 14mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑠 β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
1615ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ β„€ β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (0 < 𝑠 β†’ 0 < (𝑠 + 2))))
1716com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑠 β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„€ β†’ 0 < (𝑠 + 2))))
183, 17mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„€ β†’ 0 < (𝑠 + 2)))
1918impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝑠 + 2))
20 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
22 ltleletr 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) β†’ ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 0 ≀ 𝐾))
239, 12, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 0 ≀ 𝐾))
2419, 23mpand 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 β†’ 0 ≀ 𝐾))
2524imp 408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 0 ≀ 𝐾)
26 elnn0z 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ β„•0 ↔ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝐾))
272, 25, 26sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
28 nncn 12169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
29 add1p1 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„‚ β†’ ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„• β†’ ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3231eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (𝑠 + 2) = ((𝑠 + 1) + 1))
3332breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾))
34 nnz 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ β„€)
3534peano2zd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝑠 + 1) ∈ β„€)
3635anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 1) ∈ β„€))
3736ancomd 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€))
38 zltp1le 12561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ ((𝑠 + 1) < 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾))
3938bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 + 1) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ (((𝑠 + 1) + 1) ≀ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4133, 40bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4241biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝐾)
4327, 42jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4443ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑠 ∈ β„•) β†’ ((𝑠 + 2) ≀ 𝐾 β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4544impancom 453 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
46453adant1 1131 . . . . . . 7 (((𝑠 + 2) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4746com12 32 . . . . . 6 (𝑠 ∈ β„• β†’ (((𝑠 + 2) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑠 + 2) ≀ 𝐾) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
481, 47biimtrid 241 . . . . 5 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4948adantr 482 . . . 4 ((𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
5049adantl 483 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ (𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
51 chfacfisf.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))))
52 0red 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 ∈ ℝ)
53 peano2re 11336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ β„• β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
58 nn0re 12430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
5958ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
60 nnnn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ β„• β†’ 𝑠 ∈ β„•0)
6160adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) β†’ 𝑠 ∈ β„•0)
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑠 ∈ β„•0)
63 nn0p1gt0 12450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ β„•0 β†’ 0 < (𝑠 + 1))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝑠 + 1))
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 < (𝑠 + 1))
66 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝐾)
6752, 57, 59, 65, 66lttrd 11324 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 < 𝐾)
6867gt0ne0d 11727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  0)
6968neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
7069adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = 0)
71 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 β†’ (𝑛 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
7271notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 β†’ (Β¬ 𝑛 = 0 ↔ Β¬ 𝐾 = 0))
7372adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (Β¬ 𝑛 = 0 ↔ Β¬ 𝐾 = 0))
7470, 73mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝑛 = 0)
7574iffalsed 4501 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))) = if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›)))))))
7655ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
77 ltne 11260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  (𝑠 + 1))
7876, 77sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 β‰  (𝑠 + 1))
7978neneqd 2945 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
8079adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
81 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 β†’ (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8281notbid 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 β†’ (Β¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8382adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (Β¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ Β¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8480, 83mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ Β¬ 𝑛 = (𝑠 + 1))
8584iffalsed 4501 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›)))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))
86 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝐾)
87 breq2 5113 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 β†’ ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8887adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8986, 88mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ (𝑠 + 1) < 𝑛)
9089iftrued 4498 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))) = 0 )
9175, 85, 903eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) β†’ if(𝑛 = 0, ( 0 βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘ )), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((π‘‡β€˜(π‘β€˜(𝑛 βˆ’ 1))) βˆ’ ((π‘‡β€˜π‘€) Γ— (π‘‡β€˜(π‘β€˜π‘›))))))) = 0 )
92 simplr 768 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
93 chfacfisf.0 . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
9493fvexi 6860 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ 0 ∈ V)
9651, 91, 92, 95fvmptd2 6960 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (πΊβ€˜πΎ) = 0 )
9796oveq2d 7377 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· 0 ))
98 crngring 19984 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
99 chfacfisf.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
100 chfacfisf.y . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ = (𝑁 Mat 𝑃)
10199, 100pmatlmod 22065 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
10298, 101sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
1031023adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
104103ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
105 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
106 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
107105, 106mgpbas 19910 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
108 chfacfscmulcl.e . . . . . . . . . 10 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
10999ply1ring 21642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
11098, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ Ring)
1111103ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
112105ringmgp 19978 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
114113ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ Mnd)
115 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
116983ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
117 chfacfscmulcl.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
118117, 99, 106vr1cl 21611 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
119116, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
120119ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
121107, 108, 114, 115, 120mulgnn0cld 18905 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
12299ply1crng 21592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ CRing)
123122anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
1241233adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
125100matsca2 21792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
127126eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘Œ) = 𝑃)
128127fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
129128eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ↔ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
130129ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ↔ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
131121, 130mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
132104, 131jca 513 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
133132adantr 482 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ (π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))))
134 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
135 chfacfscmulcl.m . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
136 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
137134, 135, 136, 93lmodvs0 20400 . . . . . 6 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· 0 ) = 0 )
138133, 137syl 17 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· 0 ) = 0 )
13997, 138eqtrd 2773 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ β„•0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 )
140139expl 459 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 ))
14150, 140syld 47 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠)))) β†’ (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2)) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 ))
1421413impia 1118 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑠 ∈ β„• ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑠 + 2))) β†’ ((𝐾 ↑ 𝑋) Β· (πΊβ€˜πΎ)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„•cn 12161  2c2 12216  β„•0cn0 12421  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  ...cfz 13433  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  Mndcmnd 18564  -gcsg 18758  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  LModclmod 20365  var1cv1 21570  Poly1cpl1 21571   Mat cmat 21777   matToPolyMat cmat2pmat 22076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-subrg 20262  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-psr 21334  df-mvr 21335  df-mpl 21336  df-opsr 21338  df-psr1 21574  df-vr1 21575  df-ply1 21576  df-mat 21778
This theorem is referenced by:  chfacfscmulfsupp  22231  chfacfscmulgsum  22232
  Copyright terms: Public domain W3C validator