Theorem chfacfscmul0 20956

Description: A scaled value of the "characteristic factor function" is zero almost always. (Contributed by AV, 9-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chfacfisf.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chfacfisf.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chfacfisf.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chfacfisf.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chfacfisf.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chfacfscmulcl.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
chfacfscmulcl.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
chfacfscmul0	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐵   𝑛,𝐾   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11897	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾))
2		simpll 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		nngt0 11310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 0 < 𝑠)
4		nnre 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℝ)
5	4	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℝ)
6		2rp 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8	5, 7	ltaddrpd 12108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 < (𝑠 + 2))
9		0red 10301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
10		2re 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 10327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) ∈ ℝ)
13		lttr 10372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
14	9, 5, 12, 13	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
15	8, 14	mpan2d 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2)))
16	15	ex 401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑠 ∈ ℕ → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2))))
17	16	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2))))
18	3, 17	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2)))
19	18	impcom 396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 < (𝑠 + 2))
20		zre 11632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
21	20	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22		ltleletr 10388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
23	9, 12, 21, 22	syl3anc 1490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
24	19, 23	mpand 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → 0 ≤ 𝐾))
25	24	imp 395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾)
26		elnn0z 11641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
27	2, 25, 26	sylanbrc 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28		nncn 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
29		add1p1 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
31	30	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
32	31	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) = ((𝑠 + 1) + 1))
33	32	breq1d 4821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
34		nnz 11651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 11737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
36	35	anim2i 610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℤ))
37	36	ancomd 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
38		zltp1le 11679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
39	38	bicomd 214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
41	33, 40	bitrd 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
42	41	biimpa 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
43	27, 42	jca 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾))
44	43	ex 401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
45	44	impancom 443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
46	45	3adant1 1160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
47	46	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
48	1, 47	syl5bi 233	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
49	48	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
50	49	adantl 473	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
51		chfacfisf.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))))
53		0red 10301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ ℝ)
54		peano2re 10467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
55	4, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
56	55	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
57	56	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
58	57	ad2antrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
59		nn0re 11552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
60	59	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
61		nnnn0 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
62	61	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
63	62	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
64		nn0p1gt0 11573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑠 + 1))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑠 + 1))
66	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < (𝑠 + 1))
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
68	53, 58, 60, 66, 67	lttrd 10456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < 𝐾)
69	68	gt0ne0d 10850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ 0)
70	69	neneqd 2942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
71	70	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
72		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
73	72	notbid 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
74	73	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
75	71, 74	mpbird 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = 0)
76	75	iffalsed 4256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
77	56	ad2antlr 718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
78		ltne 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
79	77, 78	sylan 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
80	79	neneqd 2942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
81	80	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
82		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
83	82	notbid 309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
84	83	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
85	81, 84	mpbird 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = (𝑠 + 1))
86	85	iffalsed 4256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
87		simplr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
88		breq2 4815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
89	88	adantl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
90	87, 89	mpbird 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝑛)
91	90	iftrued 4253	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = 0 )
92	76, 86, 91	3eqtrd 2803	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = 0 )
93		simplr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
94		chfacfisf.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
95	94	fvexi 6393	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ V)
97	52, 92, 93, 96	fvmptd 6481	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐺‘𝐾) = 0 )
98	97	oveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = ((𝐾 ↑ 𝑋) · 0 ))
99		crngring 18839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
100		chfacfisf.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
101		chfacfisf.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
102	100, 101	pmatlmod 20792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
103	99, 102	sylan2 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ LMod)
104	103	3adant3 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ LMod)
105	104	ad2antrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑌 ∈ LMod)
106	100	ply1ring 19905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
107	99, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
108	107	3ad2ant2 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
109		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
110	109	ringmgp 18834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
111	108, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
112	111	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd)
113		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
114	99	3ad2ant2 1164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
115		chfacfscmulcl.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
116		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
117	115, 100, 116	vr1cl 19874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
118	114, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
119	118	ad2antrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
120	109, 116	mgpbas 18776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
121		chfacfscmulcl.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
122	120, 121	mulgnn0cl 17838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((mulGrp‘𝑃) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
123	112, 113, 119, 122	syl3anc 1490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
124	100	ply1crng 19855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
125	124	anim2i 610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
126	125	3adant3 1162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing))
127	101	matsca2 20516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ CRing) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 = (Scalar‘𝑌))
129	128	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑌) = 𝑃)
130	129	fveq2d 6383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘𝑃))
131	130	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
132	131	ad2antrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ↔ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)))
133	123, 132	mpbird 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
134	105, 133	jca 507	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
135	134	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))))
136		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
137		chfacfscmulcl.m	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
138		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
139	136, 137, 138, 94	lmodvs0 19180	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌))) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · 0 ) = 0 )
140	135, 139	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · 0 ) = 0 )
141	98, 140	eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = 0 )
142	141	expl 449	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = 0 ))
143	50, 142	syld 47	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = 0 ))
144	143	3impia 1145	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 ↑ 𝑋) · (𝐺‘𝐾)) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  Vcvv 3350  ifcif 4245   class class class wbr 4811   ↦ cmpt 4890  ‘cfv 6070  (class class class)co 6846   ↑_𝑚 cmap 8064  Fincfn 8164  ℂcc 10191  ℝcr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   < clt 10332   ≤ cle 10333   − cmin 10524  ℕcn 11278  2c2 11331  ℕ₀cn0 11542  ℤcz 11628  ℤ_≥cuz 11891  ℝ⁺crp 12033  ...cfz 12538  Basecbs 16144  ._rcmulr 16229  Scalarcsca 16231   ·_𝑠 cvsca 16232  0_gc0g 16380  Mndcmnd 17574  -_gcsg 17705  ._gcmg 17821  mulGrpcmgp 18770  Ringcrg 18828  CRingccrg 18829  LModclmod 19146  var₁cv1 19833  Poly₁cpl1 19834   Mat cmat 20503   matToPolyMat cmat2pmat 20802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-ot 4345  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-of 7099  df-ofr 7100  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-supp 7502  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-2o 7769  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-ixp 8118  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fsupp 8487  df-sup 8559  df-oi 8626  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-rp 12034  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-seq 13014  df-hash 13327  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-sets 16151  df-ress 16152  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-sca 16244  df-vsca 16245  df-ip 16246  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-hom 16252  df-cco 16253  df-0g 16382  df-gsum 16383  df-prds 16388  df-pws 16390  df-mre 16526  df-mrc 16527  df-acs 16529  df-mgm 17522  df-sgrp 17564  df-mnd 17575  df-mhm 17615  df-submnd 17616  df-grp 17706  df-minusg 17707  df-sbg 17708  df-mulg 17822  df-subg 17869  df-ghm 17936  df-cntz 18027  df-cmn 18475  df-abl 18476  df-mgp 18771  df-ur 18783  df-ring 18830  df-cring 18831  df-subrg 19061  df-lmod 19148  df-lss 19216  df-sra 19460  df-rgmod 19461  df-psr 19644  df-mvr 19645  df-mpl 19646  df-opsr 19648  df-psr1 19837  df-vr1 19838  df-ply1 19839  df-dsmm 20366  df-frlm 20381  df-mat 20504

This theorem is referenced by:  chfacfscmulfsupp  20957  chfacfscmulgsum  20958