Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eluz2 12777 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β
(β€β₯β(π + 2)) β ((π + 2) β β€ β§ πΎ β β€ β§ (π + 2) β€ πΎ)) |
2 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β β€ β§ π β β) β§ (π + 2) β€ πΎ) β πΎ β β€) |
3 | | nngt0 12192 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β 0 <
π ) |
4 | | nnre 12168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β π β
β) |
5 | 4 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β π β
β) |
6 | | 2rp 12928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ 2 β
β+ |
7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β 2 β
β+) |
8 | 5, 7 | ltaddrpd 12998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β π < (π + 2)) |
9 | | 0red 11166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β 0 β
β) |
10 | | 2re 12235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 2 β
β |
11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β 2 β
β) |
12 | 5, 11 | readdcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β (π + 2) β
β) |
13 | | lttr 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((0
β β β§ π
β β β§ (π +
2) β β) β ((0 < π β§ π < (π + 2)) β 0 < (π + 2))) |
14 | 9, 5, 12, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((0 <
π β§ π < (π + 2)) β 0 < (π + 2))) |
15 | 8, 14 | mpan2d 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β (0 <
π β 0 < (π + 2))) |
16 | 15 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (πΎ β β€ β (π β β β (0 <
π β 0 < (π + 2)))) |
17 | 16 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (0 <
π β (π β β β (πΎ β β€ β 0 <
(π + 2)))) |
18 | 3, 17 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β (πΎ β β€ β 0 <
(π + 2))) |
19 | 18 | impcom 409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β 0 <
(π + 2)) |
20 | | zre 12511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (πΎ β β€ β πΎ β
β) |
21 | 20 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β πΎ β
β) |
22 | | ltleletr 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((0
β β β§ (π +
2) β β β§ πΎ
β β) β ((0 < (π + 2) β§ (π + 2) β€ πΎ) β 0 β€ πΎ)) |
23 | 9, 12, 21, 22 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((0 <
(π + 2) β§ (π + 2) β€ πΎ) β 0 β€ πΎ)) |
24 | 19, 23 | mpand 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((π + 2) β€ πΎ β 0 β€ πΎ)) |
25 | 24 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((πΎ β β€ β§ π β β) β§ (π + 2) β€ πΎ) β 0 β€ πΎ) |
26 | | elnn0z 12520 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΎ β β0
β (πΎ β β€
β§ 0 β€ πΎ)) |
27 | 2, 25, 26 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β β€ β§ π β β) β§ (π + 2) β€ πΎ) β πΎ β
β0) |
28 | | nncn 12169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β π β
β) |
29 | | add1p1 12412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β ((π + 1) + 1) = (π + 2)) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β ((π + 1) + 1) = (π + 2)) |
31 | 30 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((π + 1) + 1) = (π + 2)) |
32 | 31 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β (π + 2) = ((π + 1) + 1)) |
33 | 32 | breq1d 5119 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((π + 2) β€ πΎ β ((π + 1) + 1) β€ πΎ)) |
34 | | nnz 12528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β π β
β€) |
35 | 34 | peano2zd 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (π + 1) β
β€) |
36 | 35 | anim2i 618 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β (πΎ β β€ β§ (π + 1) β
β€)) |
37 | 36 | ancomd 463 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((π + 1) β β€ β§ πΎ β
β€)) |
38 | | zltp1le 12561 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π + 1) β β€ β§ πΎ β β€) β ((π + 1) < πΎ β ((π + 1) + 1) β€ πΎ)) |
39 | 38 | bicomd 222 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π + 1) β β€ β§ πΎ β β€) β (((π + 1) + 1) β€ πΎ β (π + 1) < πΎ)) |
40 | 37, 39 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β (((π + 1) + 1) β€ πΎ β (π + 1) < πΎ)) |
41 | 33, 40 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((π + 2) β€ πΎ β (π + 1) < πΎ)) |
42 | 41 | biimpa 478 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((πΎ β β€ β§ π β β) β§ (π + 2) β€ πΎ) β (π + 1) < πΎ) |
43 | 27, 42 | jca 513 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((πΎ β β€ β§ π β β) β§ (π + 2) β€ πΎ) β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ)) |
44 | 43 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β β€ β§ π β β) β ((π + 2) β€ πΎ β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
45 | 44 | impancom 453 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β β€ β§ (π + 2) β€ πΎ) β (π β β β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
46 | 45 | 3adant1 1131 |
. . . . . . 7
β’ (((π + 2) β β€ β§ πΎ β β€ β§ (π + 2) β€ πΎ) β (π β β β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
47 | 46 | com12 32 |
. . . . . 6
β’ (π β β β (((π + 2) β β€ β§ πΎ β β€ β§ (π + 2) β€ πΎ) β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
48 | 1, 47 | biimtrid 241 |
. . . . 5
β’ (π β β β (πΎ β
(β€β₯β(π + 2)) β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
49 | 48 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((π β β β§ π β (π΅ βm (0...π ))) β (πΎ β (β€β₯β(π + 2)) β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
50 | 49 | adantl 483 |
. . 3
β’ (((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β (πΎ β (β€β₯β(π + 2)) β (πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ))) |
51 | | chfacfisf.g |
. . . . . . 7
β’ πΊ = (π β β0 β¦ if(π = 0, ( 0 β ((πβπ) Γ (πβ(πβ0)))), if(π = (π + 1), (πβ(πβπ )), if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ)))))))) |
52 | | 0red 11166 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β 0 β β) |
53 | | peano2re 11336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
54 | 4, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (π + 1) β
β) |
55 | 54 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ π β (π΅ βm (0...π ))) β (π + 1) β β) |
56 | 55 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β (π + 1) β β) |
57 | 56 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β (π + 1) β β) |
58 | | nn0re 12430 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΎ β β0
β πΎ β
β) |
59 | 58 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β πΎ β β) |
60 | | nnnn0 12428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β π β
β0) |
61 | 60 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ π β (π΅ βm (0...π ))) β π β β0) |
62 | 61 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β π β
β0) |
63 | | nn0p1gt0 12450 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β0
β 0 < (π +
1)) |
64 | 62, 63 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β 0 <
(π + 1)) |
65 | 64 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β 0 < (π + 1)) |
66 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β (π + 1) < πΎ) |
67 | 52, 57, 59, 65, 66 | lttrd 11324 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β 0 < πΎ) |
68 | 67 | gt0ne0d 11727 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β πΎ β 0) |
69 | 68 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β Β¬ πΎ = 0) |
70 | 69 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β Β¬ πΎ = 0) |
71 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = πΎ β (π = 0 β πΎ = 0)) |
72 | 71 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = πΎ β (Β¬ π = 0 β Β¬ πΎ = 0)) |
73 | 72 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β (Β¬ π = 0 β Β¬ πΎ = 0)) |
74 | 70, 73 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β Β¬ π = 0) |
75 | 74 | iffalsed 4501 |
. . . . . . . 8
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β if(π = 0, ( 0 β ((πβπ) Γ (πβ(πβ0)))), if(π = (π + 1), (πβ(πβπ )), if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ))))))) = if(π = (π + 1), (πβ(πβπ )), if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ))))))) |
76 | 55 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β (π + 1) β
β) |
77 | | ltne 11260 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π + 1) β β β§
(π + 1) < πΎ) β πΎ β (π + 1)) |
78 | 76, 77 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β πΎ β (π + 1)) |
79 | 78 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β Β¬ πΎ = (π + 1)) |
80 | 79 | adantr 482 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β Β¬ πΎ = (π + 1)) |
81 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = πΎ β (π = (π + 1) β πΎ = (π + 1))) |
82 | 81 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = πΎ β (Β¬ π = (π + 1) β Β¬ πΎ = (π + 1))) |
83 | 82 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β (Β¬ π = (π + 1) β Β¬ πΎ = (π + 1))) |
84 | 80, 83 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β Β¬ π = (π + 1)) |
85 | 84 | iffalsed 4501 |
. . . . . . . 8
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β if(π = (π + 1), (πβ(πβπ )), if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ)))))) = if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ)))))) |
86 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β (π + 1) < πΎ) |
87 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = πΎ β ((π + 1) < π β (π + 1) < πΎ)) |
88 | 87 | adantl 483 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β ((π + 1) < π β (π + 1) < πΎ)) |
89 | 86, 88 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β (π + 1) < π) |
90 | 89 | iftrued 4498 |
. . . . . . . 8
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ))))) = 0 ) |
91 | 75, 85, 90 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’
((((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β§ π = πΎ) β if(π = 0, ( 0 β ((πβπ) Γ (πβ(πβ0)))), if(π = (π + 1), (πβ(πβπ )), if((π + 1) < π, 0 , ((πβ(πβ(π β 1))) β ((πβπ) Γ (πβ(πβπ))))))) = 0 ) |
92 | | simplr 768 |
. . . . . . 7
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β πΎ β
β0) |
93 | | chfacfisf.0 |
. . . . . . . . 9
β’ 0 =
(0gβπ) |
94 | 93 | fvexi 6860 |
. . . . . . . 8
β’ 0 β
V |
95 | 94 | a1i 11 |
. . . . . . 7
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β 0 β V) |
96 | 51, 91, 92, 95 | fvmptd2 6960 |
. . . . . 6
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β (πΊβπΎ) = 0 ) |
97 | 96 | oveq2d 7377 |
. . . . 5
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β ((πΎ β π) Β· (πΊβπΎ)) = ((πΎ β π) Β· 0 )) |
98 | | crngring 19984 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π
β CRing β π
β Ring) |
99 | | chfacfisf.p |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = (Poly1βπ
) |
100 | | chfacfisf.y |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = (π Mat π) |
101 | 99, 100 | pmatlmod 22065 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β Fin β§ π
β Ring) β π β LMod) |
102 | 98, 101 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing) β π β LMod) |
103 | 102 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β π β LMod) |
104 | 103 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β π β LMod) |
105 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(mulGrpβπ) =
(mulGrpβπ) |
106 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(Baseβπ) =
(Baseβπ) |
107 | 105, 106 | mgpbas 19910 |
. . . . . . . . . 10
β’
(Baseβπ) =
(Baseβ(mulGrpβπ)) |
108 | | chfacfscmulcl.e |
. . . . . . . . . 10
β’ β =
(.gβ(mulGrpβπ)) |
109 | 99 | ply1ring 21642 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π
β Ring β π β Ring) |
110 | 98, 109 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π
β CRing β π β Ring) |
111 | 110 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β π β Ring) |
112 | 105 | ringmgp 19978 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β Ring β
(mulGrpβπ) β
Mnd) |
113 | 111, 112 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β (mulGrpβπ) β Mnd) |
114 | 113 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β
(mulGrpβπ) β
Mnd) |
115 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β πΎ β
β0) |
116 | 98 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β π
β Ring) |
117 | | chfacfscmulcl.x |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π = (var1βπ
) |
118 | 117, 99, 106 | vr1cl 21611 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π
β Ring β π β (Baseβπ)) |
119 | 116, 118 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β π β (Baseβπ)) |
120 | 119 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β π β (Baseβπ)) |
121 | 107, 108,
114, 115, 120 | mulgnn0cld 18905 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β (πΎ β π) β (Baseβπ)) |
122 | 99 | ply1crng 21592 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π
β CRing β π β CRing) |
123 | 122 | anim2i 618 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing) β (π β Fin β§ π β CRing)) |
124 | 123 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β (π β Fin β§ π β CRing)) |
125 | 100 | matsca2 21792 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β Fin β§ π β CRing) β π = (Scalarβπ)) |
126 | 124, 125 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β π = (Scalarβπ)) |
127 | 126 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β (Scalarβπ) = π) |
128 | 127 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β (Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβπ)) |
129 | 128 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β ((πΎ β π) β (Baseβ(Scalarβπ)) β (πΎ β π) β (Baseβπ))) |
130 | 129 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β ((πΎ β π) β (Baseβ(Scalarβπ)) β (πΎ β π) β (Baseβπ))) |
131 | 121, 130 | mpbird 257 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β (πΎ β π) β (Baseβ(Scalarβπ))) |
132 | 104, 131 | jca 513 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β (π β LMod β§ (πΎ β π) β (Baseβ(Scalarβπ)))) |
133 | 132 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β (π β LMod β§ (πΎ β π) β (Baseβ(Scalarβπ)))) |
134 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(Scalarβπ) =
(Scalarβπ) |
135 | | chfacfscmulcl.m |
. . . . . . 7
β’ Β· = (
Β·π βπ) |
136 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(Baseβ(Scalarβπ)) = (Baseβ(Scalarβπ)) |
137 | 134, 135,
136, 93 | lmodvs0 20400 |
. . . . . 6
β’ ((π β LMod β§ (πΎ β π) β (Baseβ(Scalarβπ))) β ((πΎ β π) Β· 0 ) = 0 ) |
138 | 133, 137 | syl 17 |
. . . . 5
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β ((πΎ β π) Β· 0 ) = 0 ) |
139 | 97, 138 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’
(((((π β Fin
β§ π
β CRing β§
π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β§ πΎ β β0) β§ (π + 1) < πΎ) β ((πΎ β π) Β· (πΊβπΎ)) = 0 ) |
140 | 139 | expl 459 |
. . 3
β’ (((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β ((πΎ β β0 β§ (π + 1) < πΎ) β ((πΎ β π) Β· (πΊβπΎ)) = 0 )) |
141 | 50, 140 | syld 47 |
. 2
β’ (((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π )))) β (πΎ β (β€β₯β(π + 2)) β ((πΎ β π) Β· (πΊβπΎ)) = 0 )) |
142 | 141 | 3impia 1118 |
1
β’ (((π β Fin β§ π
β CRing β§ π β π΅) β§ (π β β β§ π β (π΅ βm (0...π ))) β§ πΎ β (β€β₯β(π + 2))) β ((πΎ β π) Β· (πΊβπΎ)) = 0 ) |