Theorem 60gcd7e1 39941

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 11995	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 11992	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12390	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 39925	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 11914	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12386	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12274	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 39931	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12480	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12182	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12187	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 11988	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7265	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12050	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12003	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12368	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11097	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12422	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 11996	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12171	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12388	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12178	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12103	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11427	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12396	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5091	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11002	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2996	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 16740	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 16744	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16345	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 688	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 230	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2768	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2768	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941  4c4 11960  5c5 11961  6c6 11962  7c7 11963  9c9 11965  ;cdc 12366   gcd cgcd 16129  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  39946