Theorem 60gcd7e1 42753

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12334	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12331	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12741	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42736	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12521	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12245	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12736	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12619	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42742	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12831	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12529	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7422	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12714	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11403	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12773	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7423	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12335	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12513	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12739	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11737	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12747	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5133	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11308	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3011	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17171	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17176	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16772	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2788	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  7c7 12301  9c9 12303  ;cdc 12712   gcd cgcd 16553  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42758