Theorem 60gcd7e1 40020

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12074	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12071	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12470	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 40004	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12258	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 11993	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12466	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12353	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 40010	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12560	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7295	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12261	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12266	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12067	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 10938	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7294	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12129	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12082	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12448	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11176	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12502	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2767	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7295	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2767	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12075	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12468	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11506	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12476	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5096	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11081	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2998	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 16821	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 16825	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16426	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 230	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2769	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2769	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885   < clt 11018   ≤ cle 11019  4c4 12039  5c5 12040  6c6 12041  7c7 12042  9c9 12044  ;cdc 12446   gcd cgcd 16210  ℙcprime 16385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fz 13249  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-dvds 15973  df-gcd 16211  df-prm 16386

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  40025