Theorem 60gcd7e1 42657

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12329	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12326	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12736	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42640	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12516	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12731	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12614	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42646	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12826	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12709	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11398	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12768	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2792	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12330	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12508	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12734	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12515	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11732	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12742	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5133	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11303	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3017	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17166	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17171	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16767	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2794	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2794	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   < clt 11239   ≤ cle 11240  4c4 12293  5c5 12294  6c6 12295  7c7 12296  9c9 12298  ;cdc 12707   gcd cgcd 16548  ℙcprime 16725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16307  df-gcd 16549  df-prm 16726

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42662