Theorem 60gcd7e1 42006

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12358	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12355	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12757	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41989	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12277	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12753	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12641	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41995	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12847	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12545	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12550	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12351	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12413	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12735	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12789	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12359	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12534	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12755	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12466	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11785	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12763	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5164	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11358	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2994	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17148	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17152	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16749	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2767	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2767	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  9c9 12328  ;cdc 12733   gcd cgcd 16531  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42011