Theorem 60gcd7e1 42871

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12357	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12354	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12765	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42854	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12544	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12268	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12760	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12642	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42860	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12855	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7424	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12552	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12350	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12411	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12365	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12738	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11426	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12797	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12358	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12536	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12763	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11760	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12771	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5126	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11331	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3008	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17202	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17207	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16803	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2785	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129   < clt 11267   ≤ cle 11268  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  9c9 12326  ;cdc 12736   gcd cgcd 16584  ℙcprime 16761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-prm 16762

This theorem is used by:  60lcm7e420  42876