Theorem 60gcd7e1 42404

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12251	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12248	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12645	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42387	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12431	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12170	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12641	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12529	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42393	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12735	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7381	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12439	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11098	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12300	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11339	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12677	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7381	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12252	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12423	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12643	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12430	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12354	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12651	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5121	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11244	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2986	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17052	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17056	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16653	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2762	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2762	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181  4c4 12216  5c5 12217  6c6 12218  7c7 12219  9c9 12221  ;cdc 12621   gcd cgcd 16435  ℙcprime 16612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-prm 16613

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42409