Theorem 60gcd7e1 42372

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12249	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12246	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12643	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42355	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12429	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12168	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12639	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12527	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42361	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12733	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7379	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12432	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12437	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12299	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12621	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11337	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12675	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7379	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12250	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12641	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11671	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12649	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5121	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11242	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2986	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17050	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17054	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16651	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2762	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2762	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  9c9 12219  ;cdc 12619   gcd cgcd 16433  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42377