Theorem 60gcd7e1 42018

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12332	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12329	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12732	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42001	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12517	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12251	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12728	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12616	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42007	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12822	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12325	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11427	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12387	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12340	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11427	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12764	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2758	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12333	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12509	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12730	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12440	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11759	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12738	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5140	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11332	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2985	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17130	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17134	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16731	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2760	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2760	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   ≤ cle 11270  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  9c9 12302  ;cdc 12708   gcd cgcd 16513  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42023