Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  60gcd7e1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 60gcd7e1 39254
 Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
60gcd7e1 (60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1
StepHypRef Expression
1 7nn 11717 . . 3 7 ∈ ℕ
2 6nn 11714 . . . 4 6 ∈ ℕ
32decnncl2 12110 . . 3 60 ∈ ℕ
41, 3gcdcomnni 39237 . 2 (7 gcd 60) = (60 gcd 7)
5 1nn0 11901 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
6 1nn 11636 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12106 . . . . 5 11 ∈ ℕ
81nnzi 11994 . . . . 5 7 ∈ ℤ
91, 7, 8gcdaddmzz2nni 39243 . . . 4 (7 gcd 11) = (7 gcd (11 + (7 · 7)))
10 7t7e49 12200 . . . . . . 7 (7 · 7) = 49
1110oveq2i 7151 . . . . . 6 (11 + (7 · 7)) = (11 + 49)
12 4nn0 11904 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 9nn0 11909 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
14 eqid 2822 . . . . . . 7 11 = 11
15 eqid 2822 . . . . . . 7 49 = 49
16 4cn 11710 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
17 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 4p1e5 11771 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
1916, 17, 18addcomli 10821 . . . . . . . . 9 (1 + 4) = 5
2019oveq1i 7150 . . . . . . . 8 ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21 5p1e6 11772 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
2220, 21eqtri 2845 . . . . . . 7 ((1 + 4) + 1) = 6
23 9cn 11725 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
24 9p1e10 12088 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
2523, 17, 24addcomli 10821 . . . . . . 7 (1 + 9) = 10
265, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25decaddc2 12142 . . . . . 6 (11 + 49) = 60
2711, 26eqtri 2845 . . . . 5 (11 + (7 · 7)) = 60
2827oveq2i 7151 . . . 4 (7 gcd (11 + (7 · 7))) = (7 gcd 60)
299, 28eqtri 2845 . . 3 (7 gcd 11) = (7 gcd 60)
30 7re 11718 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
311nnnn0i 11893 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
3231dec0h 12108 . . . . . . 7 7 = 07
33 0nn0 11900 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
34 7lt9 11825 . . . . . . . . 9 7 < 9
35 9re 11724 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℝ
3630, 35pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37 ltle 10718 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (7 < 9 → 7 ≤ 9)
3934, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 7 ≤ 9
40 0lt1 11151 . . . . . . . 8 0 < 1
4133, 5, 31, 5, 39, 40declth 12116 . . . . . . 7 07 < 11
4232, 41eqbrtri 5063 . . . . . 6 7 < 11
43 ltne 10726 . . . . . 6 ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < 11) → 11 ≠ 7)
4430, 42, 43mp2an 691 . . . . 5 11 ≠ 7
45 necom 3064 . . . . 5 (7 ≠ 11 ↔ 11 ≠ 7)
4644, 45mpbir 234 . . . 4 7 ≠ 11
47 7prm 16435 . . . . 5 7 ∈ ℙ
48 11prm 16439 . . . . 5 11 ∈ ℙ
49 prmrp 16045 . . . . 5 ((7 ∈ ℙ ∧ 11 ∈ ℙ) → ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11))
5047, 48, 49mp2an 691 . . . 4 ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11)
5146, 50mpbir 234 . . 3 (7 gcd 11) = 1
5229, 51eqtr3i 2847 . 2 (7 gcd 60) = 1
534, 52eqtr3i 2847 1 (60 gcd 7) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  7c7 11685  9c9 11687  ;cdc 12086   gcd cgcd 15832  ℙcprime 16004 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005 This theorem is referenced by:  60lcm7e420  39259
 Copyright terms: Public domain W3C validator