Theorem 60gcd7e1 39143

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 11716	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 11713	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12109	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 39134	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 11900	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 11635	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12105	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 11993	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 39138	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12199	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7153	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 11903	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 11908	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 11709	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 10581	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 11770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 10818	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7152	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 11724	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12087	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 10818	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12141	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7153	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2844	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 11717	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 11892	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12107	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 11899	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 11824	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 11723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 10715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11148	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12115	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5073	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 10723	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3069	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 16427	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 16431	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16039	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 233	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2846	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2846	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5052  (class class class)co 7142  ℝcr 10522  0cc0 10523  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528   < clt 10661   ≤ cle 10662  4c4 11681  5c5 11682  6c6 11683  7c7 11684  9c9 11686  ;cdc 12085   gcd cgcd 15826  ℙcprime 15998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-sup 8892  df-inf 8893  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-rp 12377  df-fz 12883  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-dvds 15593  df-gcd 15827  df-prm 15999

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  39148