Theorem 60gcd7e1 41516

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12344	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12341	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12741	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41499	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12528	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12263	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12737	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12626	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41505	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12831	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7437	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12531	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12536	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11206	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12399	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11446	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12773	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7437	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12345	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12739	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12527	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12452	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11776	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12747	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5173	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11351	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2991	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17089	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17093	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16692	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 230	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2758	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2758	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   < clt 11288   ≤ cle 11289  4c4 12309  5c5 12310  6c6 12311  7c7 12312  9c9 12314  ;cdc 12717   gcd cgcd 16478  ℙcprime 16651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41521