Theorem 60gcd7e1 42259

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12237	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12234	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12631	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42242	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12417	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12156	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12627	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12515	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42248	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12721	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12425	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11325	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12609	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12663	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7369	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12238	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12409	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12629	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12416	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12340	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11659	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12637	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5119	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11230	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2985	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17038	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17042	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16639	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2761	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2761	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  9c9 12207  ;cdc 12607   gcd cgcd 16421  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42264