Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  60gcd7e1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 60gcd7e1 42006
Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
60gcd7e1 (60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1
StepHypRef Expression
1 7nn 12358 . . 3 7 ∈ ℕ
2 6nn 12355 . . . 4 6 ∈ ℕ
32decnncl2 12757 . . 3 60 ∈ ℕ
41, 3gcdcomnni 41989 . 2 (7 gcd 60) = (60 gcd 7)
5 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
6 1nn 12277 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12753 . . . . 5 11 ∈ ℕ
81nnzi 12641 . . . . 5 7 ∈ ℤ
91, 7, 8gcdaddmzz2nni 41995 . . . 4 (7 gcd 11) = (7 gcd (11 + (7 · 7)))
10 7t7e49 12847 . . . . . . 7 (7 · 7) = 49
1110oveq2i 7442 . . . . . 6 (11 + (7 · 7)) = (11 + 49)
12 4nn0 12545 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 9nn0 12550 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
14 eqid 2737 . . . . . . 7 11 = 11
15 eqid 2737 . . . . . . 7 49 = 49
16 4cn 12351 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
17 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 4p1e5 12412 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
1916, 17, 18addcomli 11453 . . . . . . . . 9 (1 + 4) = 5
2019oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21 5p1e6 12413 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
2220, 21eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 + 4) + 1) = 6
23 9cn 12366 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
24 9p1e10 12735 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
2523, 17, 24addcomli 11453 . . . . . . 7 (1 + 9) = 10
265, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25decaddc2 12789 . . . . . 6 (11 + 49) = 60
2711, 26eqtri 2765 . . . . 5 (11 + (7 · 7)) = 60
2827oveq2i 7442 . . . 4 (7 gcd (11 + (7 · 7))) = (7 gcd 60)
299, 28eqtri 2765 . . 3 (7 gcd 11) = (7 gcd 60)
30 7re 12359 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
311nnnn0i 12534 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
3231dec0h 12755 . . . . . . 7 7 = 07
33 0nn0 12541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
34 7lt9 12466 . . . . . . . . 9 7 < 9
35 9re 12365 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℝ
3630, 35pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37 ltle 11349 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (7 < 9 → 7 ≤ 9)
3934, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 7 ≤ 9
40 0lt1 11785 . . . . . . . 8 0 < 1
4133, 5, 31, 5, 39, 40declth 12763 . . . . . . 7 07 < 11
4232, 41eqbrtri 5164 . . . . . 6 7 < 11
43 ltne 11358 . . . . . 6 ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < 11) → 11 ≠ 7)
4430, 42, 43mp2an 692 . . . . 5 11 ≠ 7
45 necom 2994 . . . . 5 (7 ≠ 11 ↔ 11 ≠ 7)
4644, 45mpbir 231 . . . 4 7 ≠ 11
47 7prm 17148 . . . . 5 7 ∈ ℙ
48 11prm 17152 . . . . 5 11 ∈ ℙ
49 prmrp 16749 . . . . 5 ((7 ∈ ℙ ∧ 11 ∈ ℙ) → ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11))
5047, 48, 49mp2an 692 . . . 4 ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11)
5146, 50mpbir 231 . . 3 (7 gcd 11) = 1
5229, 51eqtr3i 2767 . 2 (7 gcd 60) = 1
534, 52eqtr3i 2767 1 (60 gcd 7) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  9c9 12328  cdc 12733   gcd cgcd 16531  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42011
  Copyright terms: Public domain W3C validator