Theorem 60gcd7e1 40865

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12303	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12300	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12700	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 40849	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12487	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12222	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12696	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12585	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 40855	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12790	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7419	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12490	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12296	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11167	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11405	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12678	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11405	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12732	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7419	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12304	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12479	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12698	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12486	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11735	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12706	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5169	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11310	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2994	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17043	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17047	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16648	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 230	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2762	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2762	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   · cmul 11114   < clt 11247   ≤ cle 11248  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  9c9 12273  ;cdc 12676   gcd cgcd 16434  ℙcprime 16607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-prm 16608

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  40870