Theorem 60gcd7e1 41386

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12308	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12305	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12705	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41370	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12492	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12227	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12701	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12590	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41376	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12795	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12495	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12500	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12301	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12683	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11410	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12737	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7416	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12309	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12484	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12703	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11740	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12711	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5162	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11315	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2988	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17053	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17057	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16656	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 230	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2756	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2756	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  9c9 12278  ;cdc 12681   gcd cgcd 16442  ℙcprime 16615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41391