Theorem 60gcd7e1 41771

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12366	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12363	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12763	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41754	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12550	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12285	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12759	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12648	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41760	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12853	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7441	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12553	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12558	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12359	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12374	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12741	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11463	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12795	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7441	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12367	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12761	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12549	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11793	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12769	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5177	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11368	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2987	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17134	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17138	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16734	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 230	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2759	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2759	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933   class class class wbr 5156  (class class class)co 7430  ℝcr 11164  0cc0 11165  1c1 11166   + caddc 11168   · cmul 11170   < clt 11305   ≤ cle 11306  4c4 12331  5c5 12332  6c6 12333  7c7 12334  9c9 12336  ;cdc 12739   gcd cgcd 16515  ℙcprime 16693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-sup 9492  df-inf 9493  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-n0 12535  df-z 12621  df-dec 12740  df-uz 12885  df-rp 13039  df-fz 13549  df-seq 14033  df-exp 14093  df-cj 15125  df-re 15126  df-im 15127  df-sqrt 15261  df-abs 15262  df-dvds 16278  df-gcd 16516  df-prm 16694

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41776