Theorem 60gcd7e1 43321

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12475	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12472	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12883	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 43304	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12662	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12386	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12878	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12760	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 43310	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12973	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7462	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12665	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12670	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12468	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11541	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7461	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12529	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12483	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12856	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11541	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12915	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7462	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12476	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12654	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12881	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12661	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11878	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12889	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5132	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11446	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3012	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17332	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17337	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16932	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2788	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  9c9 12444  ;cdc 12854   gcd cgcd 16708  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891

This theorem is used by:  60lcm7e420  43326