Theorem 60gcd7e1 42490

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12264	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12261	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12659	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42473	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12444	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12176	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12655	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12542	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42479	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12749	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12452	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11087	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12637	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12691	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2762	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7367	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12265	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12436	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12657	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12367	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11663	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12665	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5093	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11234	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2987	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 232	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17072	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17076	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16673	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 232	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2764	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2764	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  7c7 12232  9c9 12234  ;cdc 12635   gcd cgcd 16454  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42495