Theorem 60gcd7e1 41981

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12238	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12235	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12633	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41964	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12418	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12157	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12629	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12517	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41970	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12723	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7364	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12421	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12426	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11326	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7363	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12288	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12246	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12611	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11326	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12665	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7364	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12239	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12410	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12631	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11660	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12639	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5116	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11231	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2978	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17040	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17044	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16641	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2754	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169  4c4 12203  5c5 12204  6c6 12205  7c7 12206  9c9 12208  ;cdc 12609   gcd cgcd 16423  ℙcprime 16600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41986