Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  60gcd7e1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 60gcd7e1 40491
Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
60gcd7e1 (60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1
StepHypRef Expression
1 7nn 12252 . . 3 7 ∈ ℕ
2 6nn 12249 . . . 4 6 ∈ ℕ
32decnncl2 12649 . . 3 60 ∈ ℕ
41, 3gcdcomnni 40475 . 2 (7 gcd 60) = (60 gcd 7)
5 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
6 1nn 12171 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12645 . . . . 5 11 ∈ ℕ
81nnzi 12534 . . . . 5 7 ∈ ℤ
91, 7, 8gcdaddmzz2nni 40481 . . . 4 (7 gcd 11) = (7 gcd (11 + (7 · 7)))
10 7t7e49 12739 . . . . . . 7 (7 · 7) = 49
1110oveq2i 7373 . . . . . 6 (11 + (7 · 7)) = (11 + 49)
12 4nn0 12439 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 9nn0 12444 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
14 eqid 2737 . . . . . . 7 11 = 11
15 eqid 2737 . . . . . . 7 49 = 49
16 4cn 12245 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
17 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 4p1e5 12306 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
1916, 17, 18addcomli 11354 . . . . . . . . 9 (1 + 4) = 5
2019oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21 5p1e6 12307 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
2220, 21eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 + 4) + 1) = 6
23 9cn 12260 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
24 9p1e10 12627 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
2523, 17, 24addcomli 11354 . . . . . . 7 (1 + 9) = 10
265, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25decaddc2 12681 . . . . . 6 (11 + 49) = 60
2711, 26eqtri 2765 . . . . 5 (11 + (7 · 7)) = 60
2827oveq2i 7373 . . . 4 (7 gcd (11 + (7 · 7))) = (7 gcd 60)
299, 28eqtri 2765 . . 3 (7 gcd 11) = (7 gcd 60)
30 7re 12253 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
311nnnn0i 12428 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
3231dec0h 12647 . . . . . . 7 7 = 07
33 0nn0 12435 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
34 7lt9 12360 . . . . . . . . 9 7 < 9
35 9re 12259 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℝ
3630, 35pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37 ltle 11250 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (7 < 9 → 7 ≤ 9)
3934, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 7 ≤ 9
40 0lt1 11684 . . . . . . . 8 0 < 1
4133, 5, 31, 5, 39, 40declth 12655 . . . . . . 7 07 < 11
4232, 41eqbrtri 5131 . . . . . 6 7 < 11
43 ltne 11259 . . . . . 6 ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < 11) → 11 ≠ 7)
4430, 42, 43mp2an 691 . . . . 5 11 ≠ 7
45 necom 2998 . . . . 5 (7 ≠ 11 ↔ 11 ≠ 7)
4644, 45mpbir 230 . . . 4 7 ≠ 11
47 7prm 16990 . . . . 5 7 ∈ ℙ
48 11prm 16994 . . . . 5 11 ∈ ℙ
49 prmrp 16595 . . . . 5 ((7 ∈ ℙ ∧ 11 ∈ ℙ) → ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11))
5047, 48, 49mp2an 691 . . . 4 ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11)
5146, 50mpbir 230 . . 3 (7 gcd 11) = 1
5229, 51eqtr3i 2767 . 2 (7 gcd 60) = 1
534, 52eqtr3i 2767 1 (60 gcd 7) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196  cle 11197  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  9c9 12222  cdc 12625   gcd cgcd 16381  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  60lcm7e420  40496
  Copyright terms: Public domain W3C validator