Theorem 60gcd7e1 42805

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12344	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12341	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12751	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42788	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12531	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12255	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12746	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12629	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42794	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12841	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7427	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12534	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11413	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12352	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12724	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11413	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12783	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12345	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12749	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12530	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12454	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11747	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12757	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5134	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11318	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3013	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17187	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17192	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16788	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2790	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2790	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   < clt 11254   ≤ cle 11255  4c4 12308  5c5 12309  6c6 12310  7c7 12311  9c9 12313  ;cdc 12722   gcd cgcd 16569  ℙcprime 16746

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-dvds 16328  df-gcd 16570  df-prm 16747

This theorem is used by:  60lcm7e420  42810