Theorem 60gcd7e1 43035

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12428	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12425	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12836	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 43018	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12615	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12831	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12713	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 43024	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12926	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7429	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12618	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12623	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12421	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11495	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12482	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12436	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12809	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11495	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12868	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7429	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12429	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12607	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12834	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12614	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11391	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11831	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12842	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5126	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11400	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3009	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17281	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17286	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16881	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2786	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2786	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337  4c4 12392  5c5 12393  6c6 12394  7c7 12395  9c9 12397  ;cdc 12807   gcd cgcd 16657  ℙcprime 16839

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-seq 14138  df-exp 14198  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-dvds 16416  df-gcd 16658  df-prm 16840

This theorem is used by:  60lcm7e420  43040