Theorem 60gcd7e1 42444

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12273	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12270	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12668	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42427	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12453	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12664	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12551	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42433	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12758	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12456	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12461	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12646	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11338	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12700	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7378	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12274	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12445	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12666	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12452	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11672	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12674	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5106	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11243	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2985	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17081	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17085	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16682	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2761	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2761	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  7c7 12241  9c9 12243  ;cdc 12644   gcd cgcd 16463  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42449