Theorem 60gcd7e1 42583

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12304	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12301	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12711	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42566	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12491	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12215	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12706	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12589	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42572	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12801	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7402	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12499	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12297	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12358	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12684	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11369	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12743	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7402	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12305	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12483	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12709	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12490	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11703	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12717	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5118	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11274	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 702	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3009	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 233	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17137	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17142	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16738	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 702	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 233	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2786	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2786	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211  4c4 12268  5c5 12269  6c6 12270  7c7 12271  9c9 12273  ;cdc 12682   gcd cgcd 16519  ℙcprime 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-prm 16697

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42588