Theorem 60gcd7e1 41962

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12385	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12382	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12782	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41945	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12569	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12304	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12778	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12667	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41951	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12872	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12572	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12577	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12378	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7458	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12440	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12760	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12814	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12386	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12561	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12780	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12568	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11812	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12788	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5187	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11387	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 691	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3000	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17158	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17162	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16759	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2770	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2770	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  9c9 12355  ;cdc 12758   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41967