Theorem 60gcd7e1 42000

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12285	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12282	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12680	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41983	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12465	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12204	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12676	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12564	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41989	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12770	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7401	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12473	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11373	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12658	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12712	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7401	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12286	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12678	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11269	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12686	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5131	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11278	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2979	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17088	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17092	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16689	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2755	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  9c9 12255  ;cdc 12656   gcd cgcd 16471  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42005