Theorem 60gcd7e1 41987

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12356	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12353	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12755	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41970	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12540	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12275	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12751	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12639	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41976	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12845	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12411	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12364	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12733	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11451	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12787	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2763	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7442	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12357	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12532	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12753	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12539	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11783	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12761	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5169	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11356	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2992	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17145	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17149	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16746	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2765	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2765	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  9c9 12326  ;cdc 12731   gcd cgcd 16528  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41992