Theorem 60gcd7e1 43149

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12439	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12436	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12847	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 43132	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12626	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12350	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12842	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12724	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 43138	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12937	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7432	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12629	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12634	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12432	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11262	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12820	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11506	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12879	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7432	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12440	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12618	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12845	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12549	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11842	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12853	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5125	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11411	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 3008	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17294	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17299	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16894	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 234	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2785	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2785	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   + caddc 11207   · cmul 11209   < clt 11347   ≤ cle 11348  4c4 12403  5c5 12404  6c6 12405  7c7 12406  9c9 12408  ;cdc 12818   gcd cgcd 16670  ℙcprime 16852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-rp 13125  df-fz 13644  df-seq 14149  df-exp 14209  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853

This theorem is used by:  60lcm7e420  43154