Theorem 60gcd7e1 41988

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12279	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12276	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12679	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41971	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12198	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12675	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12563	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41977	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12769	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7400	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12467	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12472	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12272	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11372	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7399	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12657	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11372	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12711	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2753	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7400	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12280	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12456	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12677	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12463	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12387	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11706	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12685	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5130	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11277	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2979	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17087	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17091	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16688	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2755	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2755	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074  1c1 11075   + caddc 11077   · cmul 11079   < clt 11214   ≤ cle 11215  4c4 12244  5c5 12245  6c6 12246  7c7 12247  9c9 12249  ;cdc 12655   gcd cgcd 16470  ℙcprime 16647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9399  df-inf 9400  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-rp 12958  df-fz 13475  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-dvds 16229  df-gcd 16471  df-prm 16648

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41993