Theorem 60gcd7e1 42171

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12228	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12225	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12622	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42154	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12408	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12147	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12618	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12506	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42160	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12712	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7366	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12411	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12416	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11075	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12600	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11316	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12654	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7366	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12229	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12620	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12407	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12331	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11650	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12628	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5116	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11221	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2982	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17029	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17033	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16630	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2758	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2758	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158  4c4 12193  5c5 12194  6c6 12195  7c7 12196  9c9 12198  ;cdc 12598   gcd cgcd 16412  ℙcprime 16589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-gcd 16413  df-prm 16590

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42176