Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  60gcd7e1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 60gcd7e1 40394
Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)
Assertion
Ref Expression
60gcd7e1 (60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1
StepHypRef Expression
1 7nn 12203 . . 3 7 ∈ ℕ
2 6nn 12200 . . . 4 6 ∈ ℕ
32decnncl2 12600 . . 3 60 ∈ ℕ
41, 3gcdcomnni 40378 . 2 (7 gcd 60) = (60 gcd 7)
5 1nn0 12387 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
6 1nn 12122 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
75, 6decnncl 12596 . . . . 5 11 ∈ ℕ
81nnzi 12485 . . . . 5 7 ∈ ℤ
91, 7, 8gcdaddmzz2nni 40384 . . . 4 (7 gcd 11) = (7 gcd (11 + (7 · 7)))
10 7t7e49 12690 . . . . . . 7 (7 · 7) = 49
1110oveq2i 7362 . . . . . 6 (11 + (7 · 7)) = (11 + 49)
12 4nn0 12390 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ0
13 9nn0 12395 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
14 eqid 2736 . . . . . . 7 11 = 11
15 eqid 2736 . . . . . . 7 49 = 49
16 4cn 12196 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
17 ax-1cn 11067 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
18 4p1e5 12257 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = 5
1916, 17, 18addcomli 11305 . . . . . . . . 9 (1 + 4) = 5
2019oveq1i 7361 . . . . . . . 8 ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21 5p1e6 12258 . . . . . . . 8 (5 + 1) = 6
2220, 21eqtri 2764 . . . . . . 7 ((1 + 4) + 1) = 6
23 9cn 12211 . . . . . . . 8 9 ∈ ℂ
24 9p1e10 12578 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
2523, 17, 24addcomli 11305 . . . . . . 7 (1 + 9) = 10
265, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25decaddc2 12632 . . . . . 6 (11 + 49) = 60
2711, 26eqtri 2764 . . . . 5 (11 + (7 · 7)) = 60
2827oveq2i 7362 . . . 4 (7 gcd (11 + (7 · 7))) = (7 gcd 60)
299, 28eqtri 2764 . . 3 (7 gcd 11) = (7 gcd 60)
30 7re 12204 . . . . . 6 7 ∈ ℝ
311nnnn0i 12379 . . . . . . . 8 7 ∈ ℕ0
3231dec0h 12598 . . . . . . 7 7 = 07
33 0nn0 12386 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
34 7lt9 12311 . . . . . . . . 9 7 < 9
35 9re 12210 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℝ
3630, 35pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37 ltle 11201 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (7 < 9 → 7 ≤ 9)
3934, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 7 ≤ 9
40 0lt1 11635 . . . . . . . 8 0 < 1
4133, 5, 31, 5, 39, 40declth 12606 . . . . . . 7 07 < 11
4232, 41eqbrtri 5124 . . . . . 6 7 < 11
43 ltne 11210 . . . . . 6 ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < 11) → 11 ≠ 7)
4430, 42, 43mp2an 690 . . . . 5 11 ≠ 7
45 necom 2995 . . . . 5 (7 ≠ 11 ↔ 11 ≠ 7)
4644, 45mpbir 230 . . . 4 7 ≠ 11
47 7prm 16937 . . . . 5 7 ∈ ℙ
48 11prm 16941 . . . . 5 11 ∈ ℙ
49 prmrp 16542 . . . . 5 ((7 ∈ ℙ ∧ 11 ∈ ℙ) → ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11))
5047, 48, 49mp2an 690 . . . 4 ((7 gcd 11) = 1 ↔ 7 ≠ 11)
5146, 50mpbir 230 . . 3 (7 gcd 11) = 1
5229, 51eqtr3i 2766 . 2 (7 gcd 60) = 1
534, 52eqtr3i 2766 1 (60 gcd 7) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11147  cle 11148  4c4 12168  5c5 12169  6c6 12170  7c7 12171  9c9 12173  cdc 12576   gcd cgcd 16328  cprime 16501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-dvds 16091  df-gcd 16329  df-prm 16502
This theorem is referenced by:  60lcm7e420  40399
  Copyright terms: Public domain W3C validator