Theorem 60gcd7e1 41966

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12254	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12251	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12649	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 41949	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12434	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12173	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12645	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12533	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 41955	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12739	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12437	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12442	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12247	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11102	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12262	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12627	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11342	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12681	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12255	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12426	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12647	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11676	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12655	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5123	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11247	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2978	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17057	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17061	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16658	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2754	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2754	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   ≤ cle 11185  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  9c9 12224  ;cdc 12625   gcd cgcd 16440  ℙcprime 16617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  41971