Theorem 60gcd7e1 42044

Description: The gcd of 60 and 7 is 1. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
60gcd7e1	⊢ (;60 gcd 7) = 1

Proof of Theorem 60gcd7e1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7nn 12217	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
2		6nn 12214	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12612	. . 3 ⊢ ;60 ∈ ℕ
4	1, 3	gcdcomnni 42027	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = (;60 gcd 7)
5		1nn0 12397	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6		1nn 12136	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	5, 6	decnncl 12608	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
8	1	nnzi 12496	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℤ
9	1, 7, 8	gcdaddmzz2nni 42033	. . . 4 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd (;11 + (7 · 7)))
10		7t7e49 12702	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 7) = ;49
11	10	oveq2i 7357	. . . . . 6 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = (;11 + ;49)
12		4nn0 12400	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
13		9nn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
14		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;11 = ;11
15		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ;49 = ;49
16		4cn 12210	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℂ
17		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		4p1e5 12266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
19	16, 17, 18	addcomli 11305	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 4) = 5
20	19	oveq1i 7356	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 + 4) + 1) = (5 + 1)
21		5p1e6 12267	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 1) = 6
22	20, 21	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 4) + 1) = 6
23		9cn 12225	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ∈ ℂ
24		9p1e10 12590	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
25	23, 17, 24	addcomli 11305	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 9) = ;10
26	5, 5, 12, 13, 14, 15, 22, 25	decaddc2 12644	. . . . . 6 ⊢ (;11 + ;49) = ;60
27	11, 26	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ (;11 + (7 · 7)) = ;60
28	27	oveq2i 7357	. . . 4 ⊢ (7 gcd (;11 + (7 · 7))) = (7 gcd ;60)
29	9, 28	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = (7 gcd ;60)
30		7re 12218	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℝ
31	1	nnnn0i 12389	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℕ0
32	31	dec0h 12610	. . . . . . 7 ⊢ 7 = ;07
33		0nn0 12396	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
34		7lt9 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 < 9
35		9re 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℝ
36	30, 35	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ)
37		ltle 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 9 ∈ ℝ) → (7 < 9 → 7 ≤ 9))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 < 9 → 7 ≤ 9)
39	34, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ≤ 9
40		0lt1 11639	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
41	33, 5, 31, 5, 39, 40	declth 12618	. . . . . . 7 ⊢ ;07 < ;11
42	32, 41	eqbrtri 5112	. . . . . 6 ⊢ 7 < ;11
43		ltne 11210	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℝ ∧ 7 < ;11) → ;11 ≠ 7)
44	30, 42, 43	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ;11 ≠ 7
45		necom 2981	. . . . 5 ⊢ (7 ≠ ;11 ↔ ;11 ≠ 7)
46	44, 45	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 7 ≠ ;11
47		7prm 17022	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℙ
48		11prm 17026	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℙ
49		prmrp 16623	. . . . 5 ⊢ ((7 ∈ ℙ ∧ ;11 ∈ ℙ) → ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11))
50	47, 48, 49	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ((7 gcd ;11) = 1 ↔ 7 ≠ ;11)
51	46, 50	mpbir 231	. . 3 ⊢ (7 gcd ;11) = 1
52	29, 51	eqtr3i 2756	. 2 ⊢ (7 gcd ;60) = 1
53	4, 52	eqtr3i 2756	1 ⊢ (;60 gcd 7) = 1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   ≤ cle 11147  4c4 12182  5c5 12183  6c6 12184  7c7 12185  9c9 12187  ;cdc 12588   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583

This theorem is referenced by:  60lcm7e420  42049