Theorem chfacfpmmul0 21992

Description: The value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is zero almost always. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cayhamlem1.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cayhamlem1.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
cayhamlem1.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cayhamlem1.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cayhamlem1.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmul0	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = 0 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   𝑛,𝐾   0 ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   − (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 12570	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾))
2		simpll 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		nngt0 11987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 0 < 𝑠)
4		nnre 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℝ)
5	4	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℝ)
6		2rp 12717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8	5, 7	ltaddrpd 12787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 < (𝑠 + 2))
9		0red 10962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
10		2re 12030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 10988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) ∈ ℝ)
13		lttr 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
14	9, 5, 12, 13	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < 𝑠 ∧ 𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
15	8, 14	mpan2d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2)))
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑠 ∈ ℕ → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2))))
17	16	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2))))
18	3, 17	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2)))
19	18	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 < (𝑠 + 2))
20		zre 12306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22		ltleletr 11051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
23	9, 12, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
24	19, 23	mpand 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → 0 ≤ 𝐾))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾)
26		elnn0z 12315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
27	2, 25, 26	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28		nncn 11964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
29		add1p1 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
32	31	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) = ((𝑠 + 1) + 1))
33	32	breq1d 5088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
34		nnz 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
35	34	peano2zd 12411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
36	35	anim2i 616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℤ))
37	36	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
38		zltp1le 12353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
39	38	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
41	33, 40	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
42	41	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
43	27, 42	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾))
44	43	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
45	44	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
46	45	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
47	46	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
48	1, 47	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
49	48	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
50	49	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
51		cayhamlem1.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
52		0red 10962	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ ℝ)
53		peano2re 11131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
54	4, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
57	56	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
58		nn0re 12225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
59	58	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
60		nnnn0 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
62	61	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
63		nn0p1gt0 12245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑠 + 1))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑠 + 1))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < (𝑠 + 1))
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
67	52, 57, 59, 65, 66	lttrd 11119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < 𝐾)
68	67	gt0ne0d 11522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ 0)
69	68	neneqd 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
71		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
72	71	notbid 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
74	70, 73	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = 0)
75	74	iffalsed 4475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))
76	55	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
77		ltne 11055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑠 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
78	76, 77	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
79	78	neneqd 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
81		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
82	81	notbid 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
84	80, 83	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = (𝑠 + 1))
85	84	iffalsed 4475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))
86		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
87		breq2 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
89	86, 88	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝑛)
90	89	iftrued 4472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = 0 )
91	75, 85, 90	3eqtrd 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = 0 )
92		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93		cayhamlem1.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
94	93	fvexi 6782	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
95	94	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ V)
96	51, 91, 92, 95	fvmptd2 6877	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐺‘𝐾) = 0 )
97	96	oveq2d 7284	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × 0 ))
98		crngring 19776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
99		cayhamlem1.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
100		cayhamlem1.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
101	99, 100	pmatring 21822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
102	98, 101	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
103	102	3adant3 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
104	103	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
105	104	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝑌 ∈ Ring)
106		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
107	106	ringmgp 19770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
108	103, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
109	108	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
110		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
111		cayhamlem1.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
112		cayhamlem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
113		cayhamlem1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
114	111, 112, 113, 99, 100	mat2pmatbas 21856	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
115	98, 114	syl3an2 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
116	115	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
117		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
118	106, 117	mgpbas 19707	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
119		cayhamlem1.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
120	118, 119	mulgnn0cl 18701	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
121	109, 110, 116, 120	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
122	121	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
123		cayhamlem1.r	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑌)
124	117, 123, 93	ringrz 19808	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × 0 ) = 0 )
125	105, 122, 124	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × 0 ) = 0 )
126	97, 125	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = 0 )
127	126	expl 457	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = 0 ))
128	50, 127	syld 47	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2)) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = 0 ))
129	128	3impia 1115	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 ↑ (𝑇‘𝑀)) × (𝐺‘𝐾)) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430  ifcif 4464   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ↑_m cmap 8589  Fincfn 8707  ℂcc 10853  ℝcr 10854  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   < clt 10993   ≤ cle 10994   − cmin 11188  ℕcn 11956  2c2 12011  ℕ₀cn0 12216  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564  ℝ⁺crp 12712  ...cfz 13221  Basecbs 16893  ._rcmulr 16944  0_gc0g 17131  Mndcmnd 18366  -_gcsg 18560  ._gcmg 18681  mulGrpcmgp 19701  Ringcrg 19764  CRingccrg 19765  Poly₁cpl1 21329   Mat cmat 21535   matToPolyMat cmat2pmat 21834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-oi 9230  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-seq 13703  df-hash 14026  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-gsum 17134  df-prds 17139  df-pws 17141  df-mre 17276  df-mrc 17277  df-acs 17279  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-mhm 18411  df-submnd 18412  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mulg 18682  df-subg 18733  df-ghm 18813  df-cntz 18904  df-cmn 19369  df-abl 19370  df-mgp 19702  df-ur 19719  df-ring 19766  df-cring 19767  df-subrg 20003  df-lmod 20106  df-lss 20175  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-ascl 21043  df-psr 21093  df-mpl 21095  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-ply1 21334  df-mamu 21514  df-mat 21536  df-mat2pmat 21837

This theorem is referenced by:  chfacfpmmulfsupp  21993  chfacfpmmulgsum  21994