MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfpmmul0 22039
Description: The value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is zero almost always. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cayhamlem1.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r × = (.r𝑌)
cayhamlem1.s = (-g𝑌)
cayhamlem1.0 0 = (0g𝑌)
cayhamlem1.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
cayhamlem1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmul0 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   𝑛,𝐾   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmul0
StepHypRef Expression
1 eluz2 12616 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾))
2 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 nngt0 12032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → 0 < 𝑠)
4 nnre 12008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℝ)
6 2rp 12763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
85, 7ltaddrpd 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 < (𝑠 + 2))
9 0red 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
10 2re 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
125, 11readdcld 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) ∈ ℝ)
13 lttr 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 𝑠𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
149, 5, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < 𝑠𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
158, 14mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2)))
1615ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑠 ∈ ℕ → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2))))
1716com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2))))
183, 17mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2)))
1918impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 < (𝑠 + 2))
20 zre 12351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22 ltleletr 11096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
239, 12, 21, 22syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
2419, 23mpand 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → 0 ≤ 𝐾))
2524imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾)
26 elnn0z 12360 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
272, 25, 26sylanbrc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28 nncn 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
29 add1p1 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3231eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) = ((𝑠 + 1) + 1))
3332breq1d 5087 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
34 nnz 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
3534peano2zd 12457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
3635anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℤ))
3736ancomd 461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
38 zltp1le 12398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
3938bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4133, 40bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4241biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
4327, 42jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4443ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4544impancom 451 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
46453adant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4746com12 32 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
481, 47syl5bi 241 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4948adantr 480 . . . 4 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
5049adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
51 cayhamlem1.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
52 0red 11006 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ ℝ)
53 peano2re 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
58 nn0re 12270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5958ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
60 nnnn0 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
6261ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
63 nn0p1gt0 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑠 + 1))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑠 + 1))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < (𝑠 + 1))
66 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
6752, 57, 59, 65, 66lttrd 11164 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < 𝐾)
6867gt0ne0d 11567 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ 0)
6968neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
7069adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
71 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
7271notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
7372adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
7470, 73mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = 0)
7574iffalsed 4473 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))))))
7655ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
77 ltne 11100 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
7876, 77sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
7978neneqd 2943 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
81 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8281notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8382adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8480, 83mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = (𝑠 + 1))
8584iffalsed 4473 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))
86 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
87 breq2 5081 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8887adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8986, 88mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝑛)
9089iftrued 4470 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))) = 0 )
9175, 85, 903eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = 0 )
92 simplr 765 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93 cayhamlem1.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑌)
9493fvexi 6806 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ V)
9651, 91, 92, 95fvmptd2 6903 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐺𝐾) = 0 )
9796oveq2d 7311 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = ((𝐾 (𝑇𝑀)) × 0 ))
98 crngring 19823 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
99 cayhamlem1.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1𝑅)
100 cayhamlem1.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
10199, 100pmatring 21869 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
10298, 101sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
1031023adant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
104103adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
105104ad2antrr 722 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝑌 ∈ Ring)
106 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
107106ringmgp 19817 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
108103, 107syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
109108ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
110 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
111 cayhamlem1.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
112 cayhamlem1.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
113 cayhamlem1.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
114111, 112, 113, 99, 100mat2pmatbas 21903 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
11598, 114syl3an2 1162 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
116115ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
117 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
118106, 117mgpbas 19754 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
119 cayhamlem1.e . . . . . . . . 9 = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
120118, 119mulgnn0cl 18748 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌)) → (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
121109, 110, 116, 120syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
122121adantr 480 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
123 cayhamlem1.r . . . . . . 7 × = (.r𝑌)
124117, 123, 93ringrz 19855 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × 0 ) = 0 )
125105, 122, 124syl2anc 583 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × 0 ) = 0 )
12697, 125eqtrd 2773 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 )
127126expl 457 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 ))
12850, 127syld 47 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 ))
1291283impia 1115 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  wne 2938  Vcvv 3434  ifcif 4462   class class class wbr 5077  cmpt 5160  cfv 6447  (class class class)co 7295  m cmap 8635  Fincfn 8753  cc 10897  cr 10898  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902   < clt 11037  cle 11038  cmin 11233  cn 12001  2c2 12056  0cn0 12261  cz 12347  cuz 12610  +crp 12758  ...cfz 13267  Basecbs 16940  .rcmulr 16991  0gc0g 17178  Mndcmnd 18413  -gcsg 18607  .gcmg 18728  mulGrpcmgp 19748  Ringcrg 19811  CRingccrg 19812  Poly1cpl1 21376   Mat cmat 21582   matToPolyMat cmat2pmat 21881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-ot 4573  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-ofr 7554  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-sup 9229  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-rp 12759  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-seq 13750  df-hash 14073  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-ip 17008  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-hom 17014  df-cco 17015  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-prds 17186  df-pws 17188  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-mhm 18458  df-submnd 18459  df-grp 18608  df-minusg 18609  df-sbg 18610  df-mulg 18729  df-subg 18780  df-ghm 18860  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-abl 19417  df-mgp 19749  df-ur 19766  df-ring 19813  df-cring 19814  df-subrg 20050  df-lmod 20153  df-lss 20222  df-sra 20462  df-rgmod 20463  df-dsmm 20967  df-frlm 20982  df-ascl 21090  df-psr 21140  df-mpl 21142  df-opsr 21144  df-psr1 21379  df-ply1 21381  df-mamu 21561  df-mat 21583  df-mat2pmat 21884
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulfsupp  22040  chfacfpmmulgsum  22041
  Copyright terms: Public domain W3C validator