MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfpmmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfpmmul0 22211
Description: The value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is zero almost always. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cayhamlem1.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cayhamlem1.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cayhamlem1.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cayhamlem1.r × = (.r𝑌)
cayhamlem1.s = (-g𝑌)
cayhamlem1.0 0 = (0g𝑌)
cayhamlem1.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cayhamlem1.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
cayhamlem1.e = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmul0 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠   𝑛,𝐾   0 ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfpmmul0
StepHypRef Expression
1 eluz2 12769 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾))
2 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
3 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → 0 < 𝑠)
4 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℝ)
6 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
85, 7ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 < (𝑠 + 2))
9 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
10 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
125, 11readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) ∈ ℝ)
13 lttr 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ) → ((0 < 𝑠𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
149, 5, 12, 13syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < 𝑠𝑠 < (𝑠 + 2)) → 0 < (𝑠 + 2)))
158, 14mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2)))
1615ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑠 ∈ ℕ → (0 < 𝑠 → 0 < (𝑠 + 2))))
1716com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < 𝑠 → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2))))
183, 17mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℤ → 0 < (𝑠 + 2)))
1918impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 0 < (𝑠 + 2))
20 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22 ltleletr 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
239, 12, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((0 < (𝑠 + 2) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾))
2419, 23mpand 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → 0 ≤ 𝐾))
2524imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 0 ≤ 𝐾)
26 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
272, 25, 26sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
28 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
29 add1p1 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
3231eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝑠 + 2) = ((𝑠 + 1) + 1))
3332breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
34 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℤ)
3534peano2zd 12610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
3635anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℤ))
3736ancomd 462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
38 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝐾 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾))
3938bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4133, 40bitrd 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4241biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
4327, 42jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾))
4443ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4544impancom 452 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
46453adant1 1130 . . . . . . 7 (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4746com12 32 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝐾) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
481, 47biimtrid 241 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
4948adantr 481 . . . 4 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
5049adantl 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾)))
51 cayhamlem1.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
52 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ ℝ)
53 peano2re 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
544, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
5756ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
58 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5958ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
60 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
6261ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
63 nn0p1gt0 12442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑠 + 1))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑠 + 1))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < (𝑠 + 1))
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
6752, 57, 59, 65, 66lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 < 𝐾)
6867gt0ne0d 11719 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ 0)
6968neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
7069adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = 0)
71 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = 0 ↔ 𝐾 = 0))
7271notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = 0 ↔ ¬ 𝐾 = 0))
7470, 73mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = 0)
7574iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))))))
7655ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
77 ltne 11252 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑠 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
7876, 77sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ≠ (𝑠 + 1))
7978neneqd 2948 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
8079adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1))
81 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8281notbid 317 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8382adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (¬ 𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ ¬ 𝐾 = (𝑠 + 1)))
8480, 83mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ¬ 𝑛 = (𝑠 + 1))
8584iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))
86 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝐾)
87 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐾 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8887adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝐾))
8986, 88mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → (𝑠 + 1) < 𝑛)
9089iftrued 4494 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))) = 0 )
9175, 85, 903eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) ∧ 𝑛 = 𝐾) → if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = 0 )
92 simplr 767 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93 cayhamlem1.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑌)
9493fvexi 6856 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 0 ∈ V)
9651, 91, 92, 95fvmptd2 6956 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐺𝐾) = 0 )
9796oveq2d 7373 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = ((𝐾 (𝑇𝑀)) × 0 ))
98 crngring 19976 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
99 cayhamlem1.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (Poly1𝑅)
100 cayhamlem1.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
10199, 100pmatring 22041 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ Ring)
10298, 101sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑌 ∈ Ring)
1031023adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑌 ∈ Ring)
104103adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑌 ∈ Ring)
105104ad2antrr 724 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → 𝑌 ∈ Ring)
106 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
107 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
108106, 107mgpbas 19902 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘(mulGrp‘𝑌))
109 cayhamlem1.e . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
110106ringmgp 19970 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
111103, 110syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
112111ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (mulGrp‘𝑌) ∈ Mnd)
113 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
114 cayhamlem1.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
115 cayhamlem1.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
116 cayhamlem1.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝐴)
117114, 115, 116, 99, 100mat2pmatbas 22075 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
11898, 117syl3an2 1164 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
119118ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑌))
120108, 109, 112, 113, 119mulgnn0cld 18897 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
121120adantr 481 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌))
122 cayhamlem1.r . . . . . . 7 × = (.r𝑌)
123107, 122, 93ringrz 20012 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐾 (𝑇𝑀)) ∈ (Base‘𝑌)) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × 0 ) = 0 )
124105, 121, 123syl2anc 584 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × 0 ) = 0 )
12597, 124eqtrd 2776 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 )
126125expl 458 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑠 + 1) < 𝐾) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 ))
12750, 126syld 47 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 ))
1281273impia 1117 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝐾 (𝑇𝑀)) × (𝐺𝐾)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321  Mndcmnd 18556  -gcsg 18750  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Poly1cpl1 21548   Mat cmat 21754   matToPolyMat cmat2pmat 22053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-ply1 21553  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mat2pmat 22056
This theorem is referenced by:  chfacfpmmulfsupp  22212  chfacfpmmulgsum  22213
  Copyright terms: Public domain W3C validator