Theorem frgrogt3nreg 30718

Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrogt3nreg	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simp2 1153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3		hashcl 14395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
4		0red 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5		3re 12324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7		nn0re 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	3jca 1144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
10		3pos 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < 3)
12		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 < (♯‘𝑉))
13		lttr 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉))) → 0 < (♯‘𝑉))
15	9, 11, 12, 14	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉))
16	15	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
17		ltne 11310	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
18	4, 16, 17	syl6an 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0))
19		hasheq0 14402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
20	19	necon3bid 3009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
21	20	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
22	18, 21	syl6 36	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
23	22	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
24	3, 23	mpcom 39	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26	25	3imp 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
27	1, 2, 26	3jca 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
28	27	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30		frgrreggt1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	frgrregord13 30717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
32	28, 29, 31	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
33		1red 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
34	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
35	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
36		1lt3 12419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < 3)
38	33, 34, 35, 37, 12	lttrd 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
39	33, 38	gtned 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 1)
40		eqneqall 2976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
41	39, 40	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42		ltne 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
43	6, 42	sylan 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
44		eqneqall 2976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
45	43, 44	syl5com 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
46	41, 45	jaod 872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
47	46	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
48	3, 47	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50	49	3imp 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
51	50	ad2antrl 740	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
52	32, 51	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
53	52	ex 417	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54		ax-1 6	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
55	53, 54	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
56	55	ralrimiva 3164	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∀wral 3086  ∅c0 4294   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  Fincfn 8946  ℝcr 11102  0cc0 11103  1c1 11104   < clt 11246  3c3 12299  ℕ₀cn0 12507  ♯chash 14369  Vtxcvtx 29316   RegUSGraph crusgr 29876   FriendGraph cfrgr 30579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-ec 8699  df-qs 8703  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-xadd 13141  df-ico 13381  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-word 14554  df-lsw 14603  df-concat 14611  df-s1 14637  df-substr 14682  df-pfx 14712  df-reps 14809  df-csh 14829  df-s2 14888  df-s3 14889  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-sum 15741  df-dvds 16314  df-gcd 16556  df-prm 16733  df-phi 16828  df-vtx 29318  df-iedg 29319  df-edg 29368  df-uhgr 29378  df-ushgr 29379  df-upgr 29402  df-umgr 29403  df-uspgr 29470  df-usgr 29471  df-fusgr 29637  df-nbgr 29653  df-vtxdg 29786  df-rgr 29877  df-rusgr 29878  df-wlks 29919  df-wlkson 29920  df-trls 30010  df-trlson 30011  df-pths 30033  df-spths 30034  df-pthson 30035  df-spthson 30036  df-wwlks 30149  df-wwlksn 30150  df-wwlksnon 30151  df-wspthsn 30152  df-wspthsnon 30153  df-clwwlk 30303  df-clwwlkn 30346  df-clwwlknon 30409  df-conngr 30508  df-frgr 30580

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30719