Theorem frgrogt3nreg 29049

Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrogt3nreg	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simp2 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3		hashcl 14171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
4		0red 11079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5		3re 12154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7		nn0re 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
10		3pos 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < 3)
12		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 < (♯‘𝑉))
13		lttr 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉))) → 0 < (♯‘𝑉))
15	9, 11, 12, 14	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉))
16	15	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
17		ltne 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
18	4, 16, 17	syl6an 681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0))
19		hasheq0 14178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
20	19	necon3bid 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
21	20	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
22	18, 21	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
24	3, 23	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26	25	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
27	1, 2, 26	3jca 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
28	27	ad2antrl 725	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30		frgrreggt1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	frgrregord13 29048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
32	28, 29, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
33		1red 11077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
34	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
35	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
36		1lt3 12247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < 3)
38	33, 34, 35, 37, 12	lttrd 11237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
39	33, 38	gtned 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 1)
40		eqneqall 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
41	39, 40	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42		ltne 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
43	6, 42	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
44		eqneqall 2951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
45	43, 44	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
46	41, 45	jaod 856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
47	46	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
48	3, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50	49	3imp 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
51	50	ad2antrl 725	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
52	32, 51	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
53	52	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54		ax-1 6	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
55	53, 54	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
56	55	ralrimiva 3139	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4269   class class class wbr 5092  ‘cfv 6479  Fincfn 8804  ℝcr 10971  0cc0 10972  1c1 10973   < clt 11110  3c3 12130  ℕ₀cn0 12334  ♯chash 14145  Vtxcvtx 27655   RegUSGraph crusgr 28212   FriendGraph cfrgr 28910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-ac2 10320  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-disj 5058  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-2o 8368  df-oadd 8371  df-er 8569  df-ec 8571  df-qs 8575  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-dju 9758  df-card 9796  df-ac 9973  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-xadd 12950  df-ico 13186  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-word 14318  df-lsw 14366  df-concat 14374  df-s1 14400  df-substr 14452  df-pfx 14482  df-reps 14580  df-csh 14600  df-s2 14660  df-s3 14661  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-dvds 16063  df-gcd 16301  df-prm 16474  df-phi 16564  df-vtx 27657  df-iedg 27658  df-edg 27707  df-uhgr 27717  df-ushgr 27718  df-upgr 27741  df-umgr 27742  df-uspgr 27809  df-usgr 27810  df-fusgr 27973  df-nbgr 27989  df-vtxdg 28122  df-rgr 28213  df-rusgr 28214  df-wlks 28255  df-wlkson 28256  df-trls 28348  df-trlson 28349  df-pths 28372  df-spths 28373  df-pthson 28374  df-spthson 28375  df-wwlks 28483  df-wwlksn 28484  df-wwlksnon 28485  df-wspthsn 28486  df-wspthsnon 28487  df-clwwlk 28634  df-clwwlkn 28677  df-clwwlknon 28740  df-conngr 28839  df-frgr 28911

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  29050