Theorem frgrogt3nreg 30490

Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgrreggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrogt3nreg	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3		hashcl 14293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
4		0red 11149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5		3re 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7		nn0re 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
10		3pos 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < 3)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 < (♯‘𝑉))
13		lttr 11223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
14	13	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉))) → 0 < (♯‘𝑉))
15	9, 11, 12, 14	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉))
16	15	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
17		ltne 11244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
18	4, 16, 17	syl6an 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0))
19		hasheq0 14300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
20	19	necon3bid 2977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
21	20	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
22	18, 21	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
23	22	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
24	3, 23	mpcom 38	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26	25	3imp 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
27	1, 2, 26	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
28	27	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30		frgrreggt1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	frgrregord13 30489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
32	28, 29, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
33		1red 11147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
34	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
35	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
36		1lt3 12327	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < 3)
38	33, 34, 35, 37, 12	lttrd 11308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
39	33, 38	gtned 11282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 1)
40		eqneqall 2944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
41	39, 40	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42		ltne 11244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
43	6, 42	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
44		eqneqall 2944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
45	43, 44	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
46	41, 45	jaod 860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
47	46	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
48	3, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50	49	3imp 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
51	50	ad2antrl 729	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
52	32, 51	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54		ax-1 6	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
55	53, 54	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
56	55	ralrimiva 3130	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4287   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  Fincfn 8897  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   < clt 11180  3c3 12215  ℕ₀cn0 12415  ♯chash 14267  Vtxcvtx 29087   RegUSGraph crusgr 29648   FriendGraph cfrgr 30351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-er 8647  df-ec 8649  df-qs 8653  df-map 8779  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-xadd 13041  df-ico 13281  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-mod 13804  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-word 14451  df-lsw 14500  df-concat 14508  df-s1 14534  df-substr 14579  df-pfx 14609  df-reps 14706  df-csh 14726  df-s2 14785  df-s3 14786  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-sum 15624  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-prm 16613  df-phi 16707  df-vtx 29089  df-iedg 29090  df-edg 29139  df-uhgr 29149  df-ushgr 29150  df-upgr 29173  df-umgr 29174  df-uspgr 29241  df-usgr 29242  df-fusgr 29408  df-nbgr 29424  df-vtxdg 29558  df-rgr 29649  df-rusgr 29650  df-wlks 29691  df-wlkson 29692  df-trls 29782  df-trlson 29783  df-pths 29805  df-spths 29806  df-pthson 29807  df-spthson 29808  df-wwlks 29921  df-wwlksn 29922  df-wwlksnon 29923  df-wspthsn 29924  df-wspthsnon 29925  df-clwwlk 30075  df-clwwlkn 30118  df-clwwlknon 30181  df-conngr 30280  df-frgr 30352

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30491