MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrogt3nreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrogt3nreg 28480
Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrogt3nreg ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simp2 1139 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 hashcl 13923 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
4 0red 10836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5 3re 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7 nn0re 12099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
84, 6, 73jca 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
98adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ))
10 3pos 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < 3)
12 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 < (♯‘𝑉))
13 lttr 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉)))
1413imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (♯‘𝑉))) → 0 < (♯‘𝑉))
159, 11, 12, 14syl12anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 0 < (♯‘𝑉))
1615ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → 0 < (♯‘𝑉)))
17 ltne 10929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
184, 16, 17syl6an 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (♯‘𝑉) ≠ 0))
19 hasheq0 13930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2019necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
2120biimpcd 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
2218, 21syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
2322com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
243, 23mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26253imp 1113 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
271, 2, 263jca 1130 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2827ad2antrl 728 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3130frgrregord13 28479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
3228, 29, 31syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
33 1red 10834 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
357adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
36 1lt3 12003 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 3
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < 3)
3833, 34, 35, 37, 12lttrd 10993 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → 1 < (♯‘𝑉))
3933, 38gtned 10967 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 1)
40 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4139, 40syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42 ltne 10929 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
436, 42sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (♯‘𝑉) ≠ 3)
44 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4543, 44syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ((♯‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4641, 45jaod 859 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
4746ex 416 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
483, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (♯‘𝑉) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50493imp 1113 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5150ad2antrl 728 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5232, 51mpd 15 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
5352ex 416 . . 3 (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54 ax-1 6 . . 3 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
5553, 54pm2.61i 185 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
5655ralrimiva 3105 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  c0 4237   class class class wbr 5053  cfv 6380  Fincfn 8626  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   < clt 10867  3c3 11886  0cn0 12090  chash 13896  Vtxcvtx 27087   RegUSGraph crusgr 27644   FriendGraph cfrgr 28341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-ifp 1064  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-ac 9730  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ico 12941  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-word 14070  df-lsw 14118  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-reps 14334  df-csh 14354  df-s2 14413  df-s3 14414  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-phi 16319  df-vtx 27089  df-iedg 27090  df-edg 27139  df-uhgr 27149  df-ushgr 27150  df-upgr 27173  df-umgr 27174  df-uspgr 27241  df-usgr 27242  df-fusgr 27405  df-nbgr 27421  df-vtxdg 27554  df-rgr 27645  df-rusgr 27646  df-wlks 27687  df-wlkson 27688  df-trls 27780  df-trlson 27781  df-pths 27803  df-spths 27804  df-pthson 27805  df-spthson 27806  df-wwlks 27914  df-wwlksn 27915  df-wwlksnon 27916  df-wspthsn 27917  df-wspthsnon 27918  df-clwwlk 28065  df-clwwlkn 28108  df-clwwlknon 28171  df-conngr 28270  df-frgr 28342
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  28481
  Copyright terms: Public domain W3C validator