Theorem knoppndvlem12 34703

Description: Lemma for knoppndv 34714. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem12.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem12	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		2re 12047	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem12.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnre 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8		knoppndvlem12.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 34694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14		1lt2 12144	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
16		2t1e2 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	eqcomi 2747	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (2 · 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 = (2 · 1))
19	6, 12	remulcld 11005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20		2rp 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22		knoppndvlem12.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
23	1, 19, 21, 22	ltmul2dd 12828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
24	18, 23	eqbrtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
25	3	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	12	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	mulassd 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
29	28	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
30	24, 29	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
31	1, 3, 13, 15, 30	lttrd 11136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
32	1, 31	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33		ltne 11072	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35		1p1e2 12098	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
37	36, 30	eqbrtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
38	1, 1, 13	ltaddsubd 11575	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
39	37, 38	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
40	34, 39	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  34705  knoppndvlem15  34706  knoppndvlem17  34708  knoppndvlem20  34711