Theorem knoppndvlem12 36541

Description: Lemma for knoppndv 36552. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem12.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem12	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		2re 12314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem12.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnre 12247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8		knoppndvlem12.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 36532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14		1lt2 12411	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
16		2t1e2 12403	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	eqcomi 2744	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (2 · 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 = (2 · 1))
19	6, 12	remulcld 11265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20		2rp 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22		knoppndvlem12.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
23	1, 19, 21, 22	ltmul2dd 13107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
24	18, 23	eqbrtrd 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
25	3	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	12	recnd 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	mulassd 11258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
29	28	eqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
30	24, 29	breqtrd 5145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
31	1, 3, 13, 15, 30	lttrd 11396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
32	1, 31	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33		ltne 11332	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35		1p1e2 12365	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
37	36, 30	eqbrtrd 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
38	1, 1, 13	ltaddsubd 11837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
39	37, 38	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
40	34, 39	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12240  2c2 12295  ℝ⁺crp 13008  (,)cioo 13362  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ioo 13366  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36543  knoppndvlem15  36544  knoppndvlem17  36546  knoppndvlem20  36549