Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem12 36505
Description: Lemma for knoppndv 36516. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem12.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12
StepHypRef Expression
1 1red 11259 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 2re 12337 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 knoppndvlem12.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 nnre 12270 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
73, 6remulcld 11288 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8 knoppndvlem12.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
98knoppndvlem3 36496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
109simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211abscld 15471 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
137, 12remulcld 11288 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14 1lt2 12434 . . . . . 6 1 < 2
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 2)
16 2t1e2 12426 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1716eqcomi 2743 . . . . . . . 8 2 = (2 · 1)
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 = (2 · 1))
196, 12remulcld 11288 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20 2rp 13036 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22 knoppndvlem12.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 19, 21, 22ltmul2dd 13130 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
2418, 23eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
253recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
266recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2712recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
2825, 26, 27mulassd 11281 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
2928eqcomd 2740 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
3024, 29breqtrd 5173 . . . . 5 (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
311, 3, 13, 15, 30lttrd 11419 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
321, 31jca 511 . . 3 (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33 ltne 11355 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
3432, 33syl 17 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35 1p1e2 12388 . . . . 5 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
3736, 30eqbrtrd 5169 . . 3 (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
381, 1, 13ltaddsubd 11860 . . 3 (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
3937, 38mpbid 232 . 2 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
4034, 39jca 511 1 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cmin 11489  -cneg 11490  cn 12263  2c2 12318  +crp 13031  (,)cioo 13383  abscabs 15269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36507  knoppndvlem15  36508  knoppndvlem17  36510  knoppndvlem20  36513
  Copyright terms: Public domain W3C validator