Theorem knoppndvlem12 36799

Description: Lemma for knoppndv 36810. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem12.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem12	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		2re 12246	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem12.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnre 12172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8		knoppndvlem12.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 36790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14		1lt2 12338	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
16		2t1e2 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (2 · 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 = (2 · 1))
19	6, 12	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20		2rp 12938	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22		knoppndvlem12.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
23	1, 19, 21, 22	ltmul2dd 13033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
24	18, 23	eqbrtrd 5108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
25	3	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	12	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	mulassd 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
29	28	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
30	24, 29	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
31	1, 3, 13, 15, 30	lttrd 11298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
32	1, 31	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33		ltne 11234	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35		1p1e2 12292	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
37	36, 30	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
38	1, 1, 13	ltaddsubd 11741	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
39	37, 38	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
40	34, 39	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕcn 12165  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  abscabs 15187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36801  knoppndvlem15  36802  knoppndvlem17  36804  knoppndvlem20  36807