Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem12 35015
Description: Lemma for knoppndv 35026. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem12.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
knoppndvlem12.1 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem12 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1 โˆง 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 2re 12234 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
32a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
4 knoppndvlem12.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
5 nnre 12167 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
73, 6remulcld 11192 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„)
8 knoppndvlem12.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ (-1(,)1))
98knoppndvlem3 35006 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ถ) < 1))
109simpld 496 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1110recnd 11190 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1211abscld 15328 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
137, 12remulcld 11192 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
14 1lt2 12331 . . . . . 6 1 < 2
1514a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
16 2t1e2 12323 . . . . . . . . 9 (2 ยท 1) = 2
1716eqcomi 2746 . . . . . . . 8 2 = (2 ยท 1)
1817a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 = (2 ยท 1))
196, 12remulcld 11192 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆˆ โ„)
20 2rp 12927 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
22 knoppndvlem12.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ)))
231, 19, 21, 22ltmul2dd 13020 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท 1) < (2 ยท (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ))))
2418, 23eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 < (2 ยท (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ))))
253recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
266recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2712recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
2825, 26, 27mulassd 11185 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) = (2 ยท (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ))))
2928eqcomd 2743 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘ ยท (absโ€˜๐ถ))) = ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)))
3024, 29breqtrd 5136 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 < ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)))
311, 3, 13, 15, 30lttrd 11323 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 < ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)))
321, 31jca 513 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 1 < ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))))
33 ltne 11259 . . 3 ((1 โˆˆ โ„ โˆง 1 < ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1)
3432, 33syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1)
35 1p1e2 12285 . . . . 5 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) = 2)
3736, 30eqbrtrd 5132 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 + 1) < ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)))
381, 1, 13ltaddsubd 11762 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 + 1) < ((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ†” 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
3937, 38mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1))
4034, 39jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โ‰  1 โˆง 1 < (((2 ยท ๐‘) ยท (absโ€˜๐ถ)) โˆ’ 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„+crp 12922  (,)cioo 13271  abscabs 15126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  35017  knoppndvlem15  35018  knoppndvlem17  35020  knoppndvlem20  35023
  Copyright terms: Public domain W3C validator