![]() |
Mathbox for Asger C. Ipsen |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > knoppndvlem12 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for knoppndv 35026. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppndvlem12.c | โข (๐ โ ๐ถ โ (-1(,)1)) |
knoppndvlem12.n | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
knoppndvlem12.1 | โข (๐ โ 1 < (๐ ยท (absโ๐ถ))) |
Ref | Expression |
---|---|
knoppndvlem12 | โข (๐ โ (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1 โง 1 < (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 1red 11163 | . . . 4 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
2 | 2re 12234 | . . . . . 6 โข 2 โ โ | |
3 | 2 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ 2 โ โ) |
4 | knoppndvlem12.n | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
5 | nnre 12167 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
6 | 4, 5 | syl 17 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 3, 6 | remulcld 11192 | . . . . . 6 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โ) |
8 | knoppndvlem12.c | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ถ โ (-1(,)1)) | |
9 | 8 | knoppndvlem3 35006 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ถ โ โ โง (absโ๐ถ) < 1)) |
10 | 9 | simpld 496 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
11 | 10 | recnd 11190 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
12 | 11 | abscld 15328 | . . . . . 6 โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ โ) |
13 | 7, 12 | remulcld 11192 | . . . . 5 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ โ) |
14 | 1lt2 12331 | . . . . . 6 โข 1 < 2 | |
15 | 14 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ โ 1 < 2) |
16 | 2t1e2 12323 | . . . . . . . . 9 โข (2 ยท 1) = 2 | |
17 | 16 | eqcomi 2746 | . . . . . . . 8 โข 2 = (2 ยท 1) |
18 | 17 | a1i 11 | . . . . . . 7 โข (๐ โ 2 = (2 ยท 1)) |
19 | 6, 12 | remulcld 11192 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (๐ ยท (absโ๐ถ)) โ โ) |
20 | 2rp 12927 | . . . . . . . . 9 โข 2 โ โ+ | |
21 | 20 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ 2 โ โ+) |
22 | knoppndvlem12.1 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ 1 < (๐ ยท (absโ๐ถ))) | |
23 | 1, 19, 21, 22 | ltmul2dd 13020 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (2 ยท 1) < (2 ยท (๐ ยท (absโ๐ถ)))) |
24 | 18, 23 | eqbrtrd 5132 | . . . . . 6 โข (๐ โ 2 < (2 ยท (๐ ยท (absโ๐ถ)))) |
25 | 3 | recnd 11190 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ 2 โ โ) |
26 | 6 | recnd 11190 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
27 | 12 | recnd 11190 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (absโ๐ถ) โ โ) |
28 | 25, 26, 27 | mulassd 11185 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) = (2 ยท (๐ ยท (absโ๐ถ)))) |
29 | 28 | eqcomd 2743 | . . . . . 6 โข (๐ โ (2 ยท (๐ ยท (absโ๐ถ))) = ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))) |
30 | 24, 29 | breqtrd 5136 | . . . . 5 โข (๐ โ 2 < ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))) |
31 | 1, 3, 13, 15, 30 | lttrd 11323 | . . . 4 โข (๐ โ 1 < ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))) |
32 | 1, 31 | jca 513 | . . 3 โข (๐ โ (1 โ โ โง 1 < ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)))) |
33 | ltne 11259 | . . 3 โข ((1 โ โ โง 1 < ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))) โ ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1) | |
34 | 32, 33 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1) |
35 | 1p1e2 12285 | . . . . 5 โข (1 + 1) = 2 | |
36 | 35 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (1 + 1) = 2) |
37 | 36, 30 | eqbrtrd 5132 | . . 3 โข (๐ โ (1 + 1) < ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ))) |
38 | 1, 1, 13 | ltaddsubd 11762 | . . 3 โข (๐ โ ((1 + 1) < ((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1 < (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1))) |
39 | 37, 38 | mpbid 231 | . 2 โข (๐ โ 1 < (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1)) |
40 | 34, 39 | jca 513 | 1 โข (๐ โ (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1 โง 1 < (((2 ยท ๐) ยท (absโ๐ถ)) โ 1))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 class class class wbr 5110 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcr 11057 1c1 11059 + caddc 11061 ยท cmul 11063 < clt 11196 โ cmin 11392 -cneg 11393 โcn 12160 2c2 12215 โ+crp 12922 (,)cioo 13271 abscabs 15126 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-sup 9385 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-rp 12923 df-ioo 13275 df-seq 13914 df-exp 13975 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 |
This theorem is referenced by: knoppndvlem14 35017 knoppndvlem15 35018 knoppndvlem17 35020 knoppndvlem20 35023 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |