Theorem knoppndvlem12 35934

Description: Lemma for knoppndv 35945. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppndvlem12.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1	⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))

Assertion

Ref	Expression
knoppndvlem12	⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2		2re 12308	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4		knoppndvlem12.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5		nnre 12241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
7	3, 6	remulcld 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8		knoppndvlem12.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
9	8	knoppndvlem3 35925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
10	9	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
11	10	recnd 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
12	11	abscld 15407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
13	7, 12	remulcld 11266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14		1lt2 12405	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
16		2t1e2 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = 2
17	16	eqcomi 2736	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (2 · 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 = (2 · 1))
19	6, 12	remulcld 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20		2rp 13003	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22		knoppndvlem12.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
23	1, 19, 21, 22	ltmul2dd 13096	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
24	18, 23	eqbrtrd 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
25	3	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
26	6	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
27	12	recnd 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
28	25, 26, 27	mulassd 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
29	28	eqcomd 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
30	24, 29	breqtrd 5168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
31	1, 3, 13, 15, 30	lttrd 11397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
32	1, 31	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33		ltne 11333	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35		1p1e2 12359	. . . . 5 ⊢ (1 + 1) = 2
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) = 2)
37	36, 30	eqbrtrd 5164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
38	1, 1, 13	ltaddsubd 11836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
39	37, 38	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
40	34, 39	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11129  1c1 11131   + caddc 11133   · cmul 11135   < clt 11270   − cmin 11466  -cneg 11467  ℕcn 12234  2c2 12289  ℝ⁺crp 12998  (,)cioo 13348  abscabs 15205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ioo 13352  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207

This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  35936  knoppndvlem15  35937  knoppndvlem17  35939  knoppndvlem20  35942