Theorem ltflcei 36779

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13769	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		renegcl 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4		flval 13763	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
6	5	ad3antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7		fllep1 13770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
8	7	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9		reflcl 13765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10		peano2re 11391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12	11	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		letr 11312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	12, 13	mpd3an3 1460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	8, 14	mpan2d 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16		leneg 11721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
17	11, 16	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
18	15, 17	sylibd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
19	18	ancoms 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20		ltneg 11718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
21	9, 20	sylan 578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
22	9	recnd 11246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23		ax-1cn 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		negdi2 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = (-(⌊‘𝐴) − 1))
25	24	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26		negcl 11464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27		npcan 11473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
28	26, 27	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
29	25, 28	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
30	22, 23, 29	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
31	30	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
32	31	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
33	21, 32	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
34	33	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
35	19, 34	anim12d 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
36	35	ancomsd 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
37	36	impl 454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38		flcl 13764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
39	38	peano2zd 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41		rebtwnz 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43		breq1 5150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
45	44	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (-𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
46	43, 45	anbi12d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
47	46	riota2 7393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
48	40, 42, 47	syl2an 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
49	48	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
50	37, 49	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
51	6, 50	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
52	38	zcnd 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53		peano2cn 11390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
55	3	flcld 13767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
57		negcon2 11517	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
58	54, 56, 57	syl2an 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
59	58	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
60	51, 59	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
61	2, 60	breqtrd 5173	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
62	61	ex 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
63		ltnle 11297	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
64		ceige 13813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
65	64	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
66		ceicl 13810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
67	66	zred 12670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
68	67	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
69		ltletr 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
70	68, 69	mpd3an3 1460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
71	65, 70	mpan2d 690	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
72	63, 71	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
73	72	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
74	62, 73	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
75		flval 13763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
76	75	ad3antrrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
77		ceim1l 13816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
78	77	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
79		peano2rem 11531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82		ltleletr 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83	82	3com13 1122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
84	81, 83	mpd3an3 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
85	78, 84	mpand 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
86	66	zcnd 12671	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
87		npcan 11473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
88	86, 23, 87	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
89	88	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
90	89	biimprd 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
91	90	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
92	85, 91	anim12d 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
93	92	ancomsd 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘-𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
94	93	impl 454	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
95		peano2zm 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97		rebtwnz 12935	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
98		breq1 5150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99		oveq1 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))
100	99	breq2d 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
101	98, 100	anbi12d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
102	101	riota2 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
103	96, 97, 102	syl2anr 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
104	103	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
105	94, 104	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
106	76, 105	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
107	77	ad3antlr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
108	106, 107	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109	108	ex 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110		flle 13768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111	110	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
112	9	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113		lelttr 11308	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
114	113	3coml 1125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115	112, 114	mpd3an3 1460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116	111, 115	mpand 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
117	63, 116	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118	117	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119	109, 118	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
120	74, 119	impbida 797	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃!wreu 3372   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  ℩crio 7366  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448  -cneg 11449  ℤcz 12562  ⌊cfl 13759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fl 13761

This theorem is referenced by:  leceifl  36780