Theorem ltflcei 38640

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13947	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		renegcl 11628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4		flval 13941	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘ -𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘ -𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
6	5	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘ -𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7		fllep1 13948	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9		reflcl 13943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10		peano2re 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		letr 11411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	12, 13	mpd3an3 1491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	8, 14	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16		leneg 11826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
17	11, 16	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
18	15, 17	sylibd 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
19	18	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20		ltneg 11823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
21	9, 20	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
22	9	recnd 11344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		negdi2 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = ( -(⌊‘𝐴) − 1))
25	24	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = (( -(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26		negcl 11564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27		npcan 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (( -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (( -(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
28	26, 27	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (( -(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
29	25, 28	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
30	22, 23, 29	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
31	30	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
33	21, 32	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
34	33	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
35	19, 34	anim12d 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → ( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
36	35	ancomsd 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
37	36	impl 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38		flcl 13942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
39	38	peano2zd 12813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41		rebtwnz 13081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( -𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
42	3, 41	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43		breq1 5105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44		oveq1 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
45	44	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ( -𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
46	43, 45	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ ( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
47	46	riota2 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → (( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
48	40, 42, 47	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (( -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < ( -((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
50	37, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
51	6, 50	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘ -𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
52	38	zcnd 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53		peano2cn 11489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
55	3	flcld 13945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘ -𝐵) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘ -𝐵) ∈ ℂ)
57		negcon2 11618	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘ -𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘ -𝐵) ↔ (⌊‘ -𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
58	54, 56, 57	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘ -𝐵) ↔ (⌊‘ -𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
59	58	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘ -𝐵) ↔ (⌊‘ -𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
60	51, 59	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘ -𝐵))
61	2, 60	breqtrd 5130	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵))
62	61	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
63		ltnle 11396	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
64		ceige 13991	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘ -𝐵))
65	64	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘ -𝐵))
66		ceicl 13988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℤ)
67	66	zred 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℝ)
68	67	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℝ)
69		ltletr 11409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘ -𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
70	68, 69	mpd3an3 1491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘ -𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
71	65, 70	mpan2d 707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
72	63, 71	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
73	72	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
74	62, 73	pm2.61d 181	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵))
75		flval 13941	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
76	75	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
77		ceim1l 13994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) < 𝐵)
78	77	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) < 𝐵)
79		peano2rem 11632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℝ → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℝ)
80	67, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82		ltleletr 11410	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83	82	3com13 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℝ) → ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
84	81, 83	mpd3an3 1491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
85	78, 84	mpand 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
86	66	zcnd 12811	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℂ)
87		npcan 11573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘ -𝐵))
88	86, 23, 87	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘ -𝐵))
89	88	breq2d 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))
90	89	biimprd 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘ -𝐵) → 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)))
91	90	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘ -𝐵) → 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)))
92	85, 91	anim12d 621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) → (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1))))
93	92	ancomsd 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘ -𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1))))
94	93	impl 461	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)))
95		peano2zm 12746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( -(⌊‘ -𝐵) ∈ ℤ → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℤ)
96	66, 95	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97		rebtwnz 13081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
98		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99		oveq1 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1))
100	99	breq2d 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)))
101	98, 100	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1))))
102	101	riota2 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1)))
103	96, 97, 102	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1)))
104	103	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((( -(⌊‘ -𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (( -(⌊‘ -𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1)))
105	94, 104	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1))
106	76, 105	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = ( -(⌊‘ -𝐵) − 1))
107	77	ad3antlr 744	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ( -(⌊‘ -𝐵) − 1) < 𝐵)
108	106, 107	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109	108	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110		flle 13946	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111	110	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
112	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113		lelttr 11407	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
114	113	3coml 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115	112, 114	mpd3an3 1491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116	111, 115	mpand 708	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
117	63, 116	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118	117	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119	109, 118	pm2.61d 181	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
120	74, 119	impbida 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘ -𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  ℩crio 7380  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548   -cneg 11549  ℤcz 12700  ⌊cfl 13937

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fl 13939

This theorem is used by:  leceifl  38641