Theorem ltflcei 36066

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		renegcl 11464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4		flval 13699	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
6	5	ad3antlr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7		fllep1 13706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9		reflcl 13701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10		peano2re 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		letr 11249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	12, 13	mpd3an3 1462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	8, 14	mpan2d 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16		leneg 11658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
17	11, 16	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
18	15, 17	sylibd 238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
19	18	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20		ltneg 11655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
21	9, 20	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
22	9	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		negdi2 11459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = (-(⌊‘𝐴) − 1))
25	24	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26		negcl 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27		npcan 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
28	26, 27	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
29	25, 28	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
30	22, 23, 29	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
31	30	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
33	21, 32	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
34	33	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
35	19, 34	anim12d 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
36	35	ancomsd 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
37	36	impl 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38		flcl 13700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
39	38	peano2zd 12610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41		rebtwnz 12872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43		breq1 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
45	44	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (-𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
46	43, 45	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
47	46	riota2 7339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
48	40, 42, 47	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
49	48	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
50	37, 49	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
51	6, 50	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
52	38	zcnd 12608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53		peano2cn 11327	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
55	3	flcld 13703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
57		negcon2 11454	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
58	54, 56, 57	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
59	58	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
60	51, 59	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
61	2, 60	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
62	61	ex 413	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
63		ltnle 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
64		ceige 13749	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
65	64	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
66		ceicl 13746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
67	66	zred 12607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
68	67	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
69		ltletr 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
70	68, 69	mpd3an3 1462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
71	65, 70	mpan2d 692	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
72	63, 71	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
73	72	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
74	62, 73	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
75		flval 13699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
76	75	ad3antrrr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
77		ceim1l 13752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
79		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82		ltleletr 11248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83	82	3com13 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
84	81, 83	mpd3an3 1462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
85	78, 84	mpand 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
86	66	zcnd 12608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
87		npcan 11410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
88	86, 23, 87	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
89	88	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
90	89	biimprd 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
92	85, 91	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
93	92	ancomsd 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘-𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
94	93	impl 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
95		peano2zm 12546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97		rebtwnz 12872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
98		breq1 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))
100	99	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
101	98, 100	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
102	101	riota2 7339	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
103	96, 97, 102	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
104	103	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
105	94, 104	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
106	76, 105	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
107	77	ad3antlr 729	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
108	106, 107	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109	108	ex 413	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110		flle 13704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111	110	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
112	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113		lelttr 11245	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
114	113	3coml 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115	112, 114	mpd3an3 1462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116	111, 115	mpand 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
117	63, 116	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118	117	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119	109, 118	pm2.61d 179	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
120	74, 119	impbida 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  ℩crio 7312  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  -cneg 11386  ℤcz 12499  ⌊cfl 13695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fl 13697

This theorem is referenced by:  leceifl  36067