Theorem ltflcei 38362

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 13861	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
2	1	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3		renegcl 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4		flval 13855	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
6	5	ad3antlr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘-𝐵) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7		fllep1 13862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
8	7	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9		reflcl 13857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10		peano2re 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13		letr 11328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
14	12, 13	mpd3an3 1491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
15	8, 14	mpan2d 707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16		leneg 11741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
17	11, 16	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
18	15, 17	sylibd 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
19	18	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20		ltneg 11738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
21	9, 20	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
22	9	recnd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23		ax-1cn 11182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℂ
24		negdi2 11540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = (-(⌊‘𝐴) − 1))
25	24	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26		negcl 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27		npcan 11490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
28	26, 27	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
29	25, 28	eqtr2d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
30	22, 23, 29	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
31	30	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
33	21, 32	bitrd 282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
34	33	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
35	19, 34	anim12d 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
36	35	ancomsd 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
37	36	impl 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38		flcl 13856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
39	38	peano2zd 12728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
40	39	znegcld 12727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41		rebtwnz 12996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
42	3, 41	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43		breq1 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
45	44	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (-𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
46	43, 45	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
47	46	riota2 7395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
48	40, 42, 47	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
49	48	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
50	37, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
51	6, 50	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
52	38	zcnd 12726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53		peano2cn 11406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
55	3	flcld 13859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
56	55	zcnd 12726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
57		negcon2 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
58	54, 56, 57	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
59	58	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
60	51, 59	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
61	2, 60	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
62	61	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
63		ltnle 11313	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
64		ceige 13905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
65	64	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
66		ceicl 13902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
67	66	zred 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
68	67	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
69		ltletr 11326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
70	68, 69	mpd3an3 1491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
71	65, 70	mpan2d 707	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
72	63, 71	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
73	72	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
74	62, 73	pm2.61d 181	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
75		flval 13855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
76	75	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
77		ceim1l 13908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
78	77	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
79		peano2rem 11549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
80	67, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82		ltleletr 11327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83	82	3com13 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
84	81, 83	mpd3an3 1491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
85	78, 84	mpand 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
86	66	zcnd 12726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
87		npcan 11490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
88	86, 23, 87	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
89	88	breq2d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
90	89	biimprd 251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
91	90	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
92	85, 91	anim12d 621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
93	92	ancomsd 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘-𝐵) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
94	93	impl 461	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
95		peano2zm 12661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
96	66, 95	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97		rebtwnz 12996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
98		breq1 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))
100	99	breq2d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
101	98, 100	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
102	101	riota2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
103	96, 97, 102	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
104	103	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
105	94, 104	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (℩𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
106	76, 105	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
107	77	ad3antlr 744	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
108	106, 107	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109	108	ex 418	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110		flle 13860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111	110	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
112	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113		lelttr 11324	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
114	113	3coml 1145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115	112, 114	mpd3an3 1491	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116	111, 115	mpand 708	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
117	63, 116	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118	117	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (¬ 𝐵 ≤ 𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119	109, 118	pm2.61d 181	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
120	74, 119	impbida 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℩crio 7369  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  -cneg 11466  ℤcz 12615  ⌊cfl 13851

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fl 13853

This theorem is used by:  leceifl  38363