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Theorem ltflcei 37615
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 13840 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
21ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 < ((⌊‘𝐴) + 1))
3 renegcl 11572 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4 flval 13834 . . . . . . . . 9 (-𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
65ad3antlr 731 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘-𝐵) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))))
7 fllep1 13841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
87adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
9 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
13 letr 11355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
1412, 13mpd3an3 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
158, 14mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1)))
16 leneg 11766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1711, 16sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1815, 17sylibd 239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
1918ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
20 ltneg 11763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
219, 20sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < -(⌊‘𝐴)))
229recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
23 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
24 negdi2 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((⌊‘𝐴) + 1) = (-(⌊‘𝐴) − 1))
2524oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1) = ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1))
26 negcl 11508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → -(⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
27 npcan 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-(⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
2826, 27sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘𝐴) − 1) + 1) = -(⌊‘𝐴))
2925, 28eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
3022, 23, 29sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ → -(⌊‘𝐴) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
3130breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 < -(⌊‘𝐴) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3321, 32bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3433biimpd 229 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵 → -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
3519, 34anim12d 609 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴 ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
3635ancomsd 465 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐵𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
3736impl 455 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
38 flcl 13835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
3938peano2zd 12725 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
4039znegcld 12724 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ)
41 rebtwnz 12989 . . . . . . . . . . 11 (-𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)))
43 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 ≤ -𝐵 ↔ -((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵))
44 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (𝑥 + 1) = (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))
4544breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → (-𝐵 < (𝑥 + 1) ↔ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)))
4643, 45anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -((⌊‘𝐴) + 1) → ((𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1)) ↔ (-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1))))
4746riota2 7413 . . . . . . . . . 10 ((-((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
4840, 42, 47syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
4948ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((-((⌊‘𝐴) + 1) ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (-((⌊‘𝐴) + 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5037, 49mpbid 232 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ -𝐵 ∧ -𝐵 < (𝑥 + 1))) = -((⌊‘𝐴) + 1))
516, 50eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1))
5238zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
53 peano2cn 11433 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℂ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ)
553flcld 13838 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
5655zcnd 12723 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
57 negcon2 11562 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℂ ∧ (⌊‘-𝐵) ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5854, 56, 57syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
5958ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → (((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵) ↔ (⌊‘-𝐵) = -((⌊‘𝐴) + 1)))
6051, 59mpbird 257 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((⌊‘𝐴) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
612, 60breqtrd 5169 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
6261ex 412 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
63 ltnle 11340 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
64 ceige 13884 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
6564adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵))
66 ceicl 13881 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ)
6766zred 12722 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
6867adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ)
69 ltletr 11353 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7068, 69mpd3an3 1464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 ≤ -(⌊‘-𝐵)) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7165, 70mpan2d 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7263, 71sylbird 260 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7372adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
7462, 73pm2.61d 179 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (⌊‘𝐴) < 𝐵) → 𝐴 < -(⌊‘-𝐵))
75 flval 13834 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
7675ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
77 ceim1l 13887 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
7877adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
79 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
8067, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ)
82 ltleletr 11354 . . . . . . . . . . . . 13 (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
83823com13 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8481, 83mpd3an3 1464 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8578, 84mpand 695 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
8666zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℝ → -(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ)
87 npcan 11517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(⌊‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
8886, 23, 87sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) = -(⌊‘-𝐵))
8988breq2d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1) ↔ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
9089biimprd 248 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < -(⌊‘-𝐵) → 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
9285, 91anim12d 609 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
9392ancomsd 465 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 < -(⌊‘-𝐵) ∧ 𝐵𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
9493impl 455 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
95 peano2zm 12660 . . . . . . . . . 10 (-(⌊‘-𝐵) ∈ ℤ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
9666, 95syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ)
97 rebtwnz 12989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
98 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥𝐴 ↔ (-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴))
99 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝑥 + 1) = ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))
10099breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)))
10198, 100anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (-(⌊‘-𝐵) − 1) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1))))
102101riota2 7413 . . . . . . . . 9 (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ∈ ℤ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
10396, 97, 102syl2anr 597 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
104103ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (((-(⌊‘-𝐵) − 1) ≤ 𝐴𝐴 < ((-(⌊‘-𝐵) − 1) + 1)) ↔ (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1)))
10594, 104mpbid 232 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
10676, 105eqtrd 2777 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) = (-(⌊‘-𝐵) − 1))
10777ad3antlr 731 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (-(⌊‘-𝐵) − 1) < 𝐵)
108106, 107eqbrtrd 5165 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) ∧ 𝐵𝐴) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
109108ex 412 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
110 flle 13839 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
111110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
1129adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
113 lelttr 11351 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
1141133coml 1128 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
115112, 114mpd3an3 1464 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((⌊‘𝐴) ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵) → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
116111, 115mpand 695 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
11763, 116sylbird 260 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
118117adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (¬ 𝐵𝐴 → (⌊‘𝐴) < 𝐵))
119109, 118pm2.61d 179 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < -(⌊‘-𝐵)) → (⌊‘𝐴) < 𝐵)
12074, 119impbida 801 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐴) < 𝐵𝐴 < -(⌊‘-𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cz 12613  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  leceifl  37616
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