Theorem ltrniotaval 40954

Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ltrniotaval	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrniotaval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrniotaval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrniotaval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrniotaval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdleme 40933	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
6		ltrniotaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
7		nfriota1 7332	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
8	6, 7	nfcxfr 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓𝐹
9		nfcv 2899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓𝑃
10	8, 9	nffv 6852	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝐹‘𝑃)
11	10	nfeq1 2915	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝐹‘𝑃) = 𝑄
12		fveq1 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
13	12	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑄))
14	11, 6, 13	riotaprop 7352	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑄))
15	14	simprd 495	. 2 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)
16	5, 15	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃!wreu 3350   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  ℩crio 7324  lecple 17196  Atomscatm 39636  HLchlt 39723  LHypclh 40357  LTrncltrn 40474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-riotaBAD 39326

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-undef 8225  df-map 8777  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 39549  df-ol 39551  df-oml 39552  df-covers 39639  df-ats 39640  df-atl 39671  df-cvlat 39695  df-hlat 39724  df-llines 39871  df-lplanes 39872  df-lvols 39873  df-lines 39874  df-psubsp 39876  df-pmap 39877  df-padd 40169  df-lhyp 40361  df-laut 40362  df-ldil 40477  df-ltrn 40478  df-trl 40532

This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  40955  ltrniotaidvalN  40956  ltrniotavalbN  40957  cdlemm10N  41491  cdlemn2  41568  cdlemn3  41570  cdlemn9  41578  dihmeetlem13N  41692  dih1dimatlem0  41701  dihjatcclem3  41793