Theorem ltrniotaval 40600

Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ltrniotaval	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrniotaval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrniotaval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrniotaval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrniotaval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdleme 40579	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
6		ltrniotaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
7		nfriota1 7369	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
8	6, 7	nfcxfr 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓𝐹
9		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓𝑃
10	8, 9	nffv 6886	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝐹‘𝑃)
11	10	nfeq1 2914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝐹‘𝑃) = 𝑄
12		fveq1 6875	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
13	12	eqeq1d 2737	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑄))
14	11, 6, 13	riotaprop 7389	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑄))
15	14	simprd 495	. 2 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)
16	5, 15	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3357   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  ℩crio 7361  lecple 17278  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8272  df-map 8842  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178

This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  40601  ltrniotaidvalN  40602  ltrniotavalbN  40603  cdlemm10N  41137  cdlemn2  41214  cdlemn3  41216  cdlemn9  41224  dihmeetlem13N  41338  dih1dimatlem0  41347  dihjatcclem3  41439