Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrniotaval 38595
Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotaval.l = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
ltrniotaval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaval
StepHypRef Expression
1 ltrniotaval.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 ltrniotaval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 ltrniotaval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrniotaval.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdleme 38574 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
6 ltrniotaval.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
7 nfriota1 7239 . . . . . . 7 𝑓(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
86, 7nfcxfr 2905 . . . . . 6 𝑓𝐹
9 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑓𝑃
108, 9nffv 6784 . . . . 5 𝑓(𝐹𝑃)
1110nfeq1 2922 . . . 4 𝑓(𝐹𝑃) = 𝑄
12 fveq1 6773 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
1312eqeq1d 2740 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (𝐹𝑃) = 𝑄))
1411, 6, 13riotaprop 7260 . . 3 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄))
1514simprd 496 . 2 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 → (𝐹𝑃) = 𝑄)
165, 15syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  ∃!wreu 3066   class class class wbr 5074  cfv 6433  crio 7231  lecple 16969  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-map 8617  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173
This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  38596  ltrniotaidvalN  38597  ltrniotavalbN  38598  cdlemm10N  39132  cdlemn2  39209  cdlemn3  39211  cdlemn9  39219  dihmeetlem13N  39333  dih1dimatlem0  39342  dihjatcclem3  39434
  Copyright terms: Public domain W3C validator