Theorem ltrniotaval 40753

Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
ltrniotaval	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ≤ ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrniotaval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrniotaval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrniotaval.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrniotaval.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	cdleme 40732	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → ∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
6		ltrniotaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
7		nfriota1 7319	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑓(℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄)
8	6, 7	nfcxfr 2893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓𝐹
9		nfcv 2895	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑓𝑃
10	8, 9	nffv 6841	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑓(𝐹‘𝑃)
11	10	nfeq1 2911	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑓(𝐹‘𝑃) = 𝑄
12		fveq1 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑃) = (𝐹‘𝑃))
13	12	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓‘𝑃) = 𝑄 ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑄))
14	11, 6, 13	riotaprop 7339	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) = 𝑄))
15	14	simprd 495	. 2 ⊢ (∃!𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑄 → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)
16	5, 15	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑄)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃!wreu 3345   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  lecple 17175  Atomscatm 39435  HLchlt 39522  LHypclh 40156  LTrncltrn 40273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-riotaBAD 39125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-undef 8212  df-map 8761  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-llines 39670  df-lplanes 39671  df-lvols 39672  df-lines 39673  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-lhyp 40160  df-laut 40161  df-ldil 40276  df-ltrn 40277  df-trl 40331

This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  40754  ltrniotaidvalN  40755  ltrniotavalbN  40756  cdlemm10N  41290  cdlemn2  41367  cdlemn3  41369  cdlemn9  41377  dihmeetlem13N  41491  dih1dimatlem0  41500  dihjatcclem3  41592