Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrniotaval 38251
Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotaval.l = (le‘𝐾)
ltrniotaval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaval.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaval.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
Assertion
Ref Expression
ltrniotaval (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   ,𝑓   𝑃,𝑓   𝑄,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaval
StepHypRef Expression
1 ltrniotaval.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 ltrniotaval.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 ltrniotaval.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrniotaval.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
51, 2, 3, 4cdleme 38230 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → ∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
6 ltrniotaval.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
7 nfriota1 7147 . . . . . . 7 𝑓(𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄)
86, 7nfcxfr 2898 . . . . . 6 𝑓𝐹
9 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑓𝑃
108, 9nffv 6697 . . . . 5 𝑓(𝐹𝑃)
1110nfeq1 2915 . . . 4 𝑓(𝐹𝑃) = 𝑄
12 fveq1 6686 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑃) = (𝐹𝑃))
1312eqeq1d 2741 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓𝑃) = 𝑄 ↔ (𝐹𝑃) = 𝑄))
1411, 6, 13riotaprop 7168 . . 3 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) = 𝑄))
1514simprd 499 . 2 (∃!𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑄 → (𝐹𝑃) = 𝑄)
165, 15syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  ∃!wreu 3056   class class class wbr 5040  cfv 6350  crio 7139  lecple 16688  Atomscatm 36933  HLchlt 37020  LHypclh 37654  LTrncltrn 37771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-riotaBAD 36623
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-undef 7981  df-map 8452  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-p1 17779  df-lat 17785  df-clat 17847  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-llines 37168  df-lplanes 37169  df-lvols 37170  df-lines 37171  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466  df-lhyp 37658  df-laut 37659  df-ldil 37774  df-ltrn 37775  df-trl 37829
This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  38252  ltrniotaidvalN  38253  ltrniotavalbN  38254  cdlemm10N  38788  cdlemn2  38865  cdlemn3  38867  cdlemn9  38875  dihmeetlem13N  38989  dih1dimatlem0  38998  dihjatcclem3  39090
  Copyright terms: Public domain W3C validator