Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemn9 40588
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 27-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemn8.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemn8.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemn8.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemn8.p 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.o 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
cdlemn8.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemn8.s + = (+gβ€˜π‘ˆ)
cdlemn8.f 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
cdlemn8.g 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘”β€˜π‘„) = 𝑅)
Distinct variable groups:   ≀ ,β„Ž   𝐴,β„Ž   𝐡,β„Ž   β„Ž,𝐻   β„Ž,𝐾   𝑇,β„Ž   𝑃,β„Ž   𝑄,β„Ž   β„Ž,π‘Š   𝑅,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑔,𝑠)   𝐡(𝑔,𝑠)   𝑃(𝑔,𝑠)   + (𝑔,β„Ž,𝑠)   𝑄(𝑔,𝑠)   𝑅(𝑔,𝑠)   𝑇(𝑔,𝑠)   π‘ˆ(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐸(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑠)   𝐻(𝑔,𝑠)   𝐾(𝑔,𝑠)   ≀ (𝑔,𝑠)   𝑂(𝑔,β„Ž,𝑠)   π‘Š(𝑔,𝑠)
Proof of Theorem cdlemn9
StepHypRef Expression
1 cdlemn8.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemn8.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdlemn8.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 cdlemn8.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 cdlemn8.p . . . 4 𝑃 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 cdlemn8.o . . . 4 𝑂 = (β„Ž ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
7 cdlemn8.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemn8.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemn8.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdlemn8.s . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
11 cdlemn8.f . . . 4 𝐹 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
12 cdlemn8.g . . . 4 𝐺 = (β„©β„Ž ∈ 𝑇 (β„Žβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn8 40587 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑔 = (𝐺 ∘ ◑𝐹))
1413fveq1d 6886 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘”β€˜π‘„) = ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜π‘„))
15 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
162, 3, 4, 5lhpocnel2 39402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
17163ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
18 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
192, 3, 4, 7, 11ltrniotacl 39962 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2015, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
211, 4, 7ltrn1o 39507 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
2215, 20, 21syl2anc 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
23 f1ocnv 6838 . . . 4 (𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
24 f1of 6826 . . . 4 (◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝐹:𝐡⟢𝐡)
2522, 23, 243syl 18 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ◑𝐹:𝐡⟢𝐡)
26 simp2ll 1237 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
271, 3atbase 38671 . . . 4 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2826, 27syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
29 fvco3 6983 . . 3 ((◑𝐹:𝐡⟢𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜π‘„) = (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘„)))
3025, 28, 29syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ ((𝐺 ∘ ◑𝐹)β€˜π‘„) = (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘„)))
312, 3, 4, 7, 11ltrniotacnvval 39965 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘„) = 𝑃)
3215, 17, 18, 31syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘„) = 𝑃)
3332fveq2d 6888 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘„)) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
34 simp2r 1197 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
352, 3, 4, 7, 12ltrniotaval 39964 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3615, 17, 34, 35syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3733, 36eqtrd 2766 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (πΊβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘„)) = 𝑅)
3814, 30, 373eqtrd 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ⟨𝐺, ( I β†Ύ 𝑇)⟩ = (⟨(π‘ β€˜πΉ), π‘ βŸ© + βŸ¨π‘”, π‘‚βŸ©))) β†’ (π‘”β€˜π‘„) = 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6535  β€˜cfv 6536  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  lecple 17210  occoc 17211  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LHypclh 39367  LTrncltrn 39484  TEndoctendo 40135  DVecHcdvh 40461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-dvech 40462
This theorem is referenced by:  cdlemn11pre  40593
  Copyright terms: Public domain W3C validator