Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsubnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsubnc 37062
Description: Choice-free analogue of itgsub 25705. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsubnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgsubnc (𝜑 → ∫𝐴(𝐵𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgsubnc
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25647 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25515 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25647 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 25515 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110negcld 11559 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
129, 6iblneg 25682 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
135, 10negsubd 11578 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
1413mpteq2dva 5241 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
15 iblsubnc.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ MblFn)
1614, 15eqeltrd 2827 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ MblFn)
175, 1, 11, 12, 16itgaddnc 37060 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴-𝐶 d𝑥))
189, 6itgneg 25683 . . . 4 (𝜑 → -∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐴-𝐶 d𝑥)
1918oveq2d 7420 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴-𝐶 d𝑥))
2017, 19eqtr4d 2769 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥))
2113itgeq2dv 25661 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = ∫𝐴(𝐵𝐶) d𝑥)
224, 1itgcl 25663 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
239, 6itgcl 25663 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
2422, 23negsubd 11578 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
2520, 21, 243eqtr3d 2774 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5224  (class class class)co 7404  cc 11107   + caddc 11112  cmin 11445  -cneg 11446  MblFncmbf 25493  𝐿1cibl 25496  citg 25497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344  df-mbf 25498  df-itg1 25499  df-itg2 25500  df-ibl 25501  df-itg 25502  df-0p 25549
This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem2  37067  itgmulc2nc  37068  ftc1cnnclem  37071
  Copyright terms: Public domain W3C validator