Theorem itgsubnc 37689

Description: Choice-free analogue of itgsub 25861. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsubnc.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
itgsubnc	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 − 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgsubnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibladdnc.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		ibladdnc.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		ibladdnc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7		iblmbf 25802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
9		ibladdnc.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	mbfmptcl 25671	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	negcld 11607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
12	9, 6	iblneg 25838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
13	5, 10	negsubd 11626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
14	13	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
15		iblsubnc.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ MblFn)
16	14, 15	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ MblFn)
17	5, 1, 11, 12, 16	itgaddnc 37687	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴-𝐶 d𝑥))
18	9, 6	itgneg 25839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐴-𝐶 d𝑥)
19	18	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴-𝐶 d𝑥))
20	17, 19	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥))
21	13	itgeq2dv 25817	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + -𝐶) d𝑥 = ∫𝐴(𝐵 − 𝐶) d𝑥)
22	4, 1	itgcl 25819	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 ∈ ℂ)
23	9, 6	itgcl 25819	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ∈ ℂ)
24	22, 23	negsubd 11626	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + -∫𝐴𝐶 d𝑥) = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))
25	20, 21, 24	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 − 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 − ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5225  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  -cneg 11493  MblFncmbf 25649  𝐿¹cibl 25652  ∫citg 25653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705

This theorem is referenced by:  itgmulc2nclem2  37694  itgmulc2nc  37695  ftc1cnnclem  37698