MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgneg 25746
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgcnval.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgneg (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
2 iblmbf 25710 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
53, 4mbfmptcl 25578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65recld 15174 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
75iblcn 25741 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
81, 7mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
98simpld 494 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
106, 9itgcl 25726 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11198 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
125imcld 15175 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
138simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
1412, 13itgcl 25726 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
15 mulcl 11223 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1611, 14, 15sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1710, 16negdid 11615 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (-โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
18 0re 11247 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
19 ifcl 4574 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
206, 18, 19sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
216iblre 25736 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
229, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
2322simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
2420, 23itgcl 25726 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
256renegcld 11672 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
26 ifcl 4574 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
2725, 18, 26sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
2822simprd 495 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
2927, 28itgcl 25726 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3024, 29negsubdi2d 11618 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
316, 9itgreval 25739 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
3231negeqd 11485 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
335negcld 11589 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
3433recld 15174 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) โˆˆ โ„)
354, 1iblneg 25745 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
3633iblcn 25741 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
3735, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
3837simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
3934, 38itgreval 25739 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
405renegd 15189 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) = -(โ„œโ€˜๐ต))
4140breq2d 5160 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)))
4241, 40ifbieq1d 4553 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0))
4342itgeq2dv 25724 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
4440negeqd 11485 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜-๐ต) = --(โ„œโ€˜๐ต))
456recnd 11273 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4645negnegd 11593 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ --(โ„œโ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜๐ต))
4744, 46eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜-๐ต) = (โ„œโ€˜๐ต))
4847breq2d 5160 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)))
4948, 47ifbieq1d 4553 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0))
5049itgeq2dv 25724 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
5143, 50oveq12d 7438 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
5239, 51eqtrd 2768 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
5330, 32, 523eqtr4d 2778 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)
54 mulneg2 11682 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
5511, 14, 54sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
56 ifcl 4574 . . . . . . . . . . 11 (((โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
5712, 18, 56sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
5812iblre 25736 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
5913, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
6059simpld 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
6157, 60itgcl 25726 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6212renegcld 11672 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
63 ifcl 4574 . . . . . . . . . . 11 ((-(โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
6462, 18, 63sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
6559simprd 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
6664, 65itgcl 25726 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6761, 66negsubdi2d 11618 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
685imnegd 15190 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
6968breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)))
7069, 68ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0))
7170itgeq2dv 25724 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
7268negeqd 11485 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜-๐ต) = --(โ„‘โ€˜๐ต))
7312recnd 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
7473negnegd 11593 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ --(โ„‘โ€˜๐ต) = (โ„‘โ€˜๐ต))
7572, 74eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜-๐ต) = (โ„‘โ€˜๐ต))
7675breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)))
7776, 75ifbieq1d 4553 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0))
7877itgeq2dv 25724 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
7971, 78oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8067, 79eqtr4d 2771 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8112, 13itgreval 25739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8281negeqd 11485 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8333imcld 15175 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) โˆˆ โ„)
8437simprd 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
8583, 84itgreval 25739 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8680, 82, 853eqtr4d 2778 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)
8786oveq2d 7436 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ))
8855, 87eqtr3d 2770 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ))
8953, 88oveq12d 7438 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
9017, 89eqtrd 2768 . 2 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
914, 1itgcnval 25742 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
9291negeqd 11485 . 2 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
9333, 35itgcnval 25742 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
9490, 92, 933eqtr4d 2778 1 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ifcif 4529   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  0cc0 11139  ici 11141   + caddc 11142   ยท cmul 11144   โ‰ค cle 11280   โˆ’ cmin 11475  -cneg 11476  โ„œcre 15077  โ„‘cim 15078  MblFncmbf 25556  ๐ฟ1cibl 25559  โˆซcitg 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ioo 13361  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-xmet 21272  df-met 21273  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612
This theorem is referenced by:  itgsub  25768  itgsubnc  37155  itgmulc2nc  37161  sqwvfourb  45617
  Copyright terms: Public domain W3C validator