MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgneg 25684
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgcnval.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgneg (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
2 iblmbf 25648 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
53, 4mbfmptcl 25516 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65recld 15145 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
75iblcn 25679 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
81, 7mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
98simpld 494 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
106, 9itgcl 25664 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11168 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
125imcld 15146 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
138simprd 495 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
1412, 13itgcl 25664 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
15 mulcl 11193 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1611, 14, 15sylancr 586 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1710, 16negdid 11585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (-โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
18 0re 11217 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
19 ifcl 4568 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
206, 18, 19sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
216iblre 25674 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
229, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
2322simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
2420, 23itgcl 25664 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
256renegcld 11642 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
26 ifcl 4568 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
2725, 18, 26sylancl 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
2822simprd 495 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
2927, 28itgcl 25664 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3024, 29negsubdi2d 11588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
316, 9itgreval 25677 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
3231negeqd 11455 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
335negcld 11559 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
3433recld 15145 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) โˆˆ โ„)
354, 1iblneg 25683 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
3633iblcn 25679 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
3735, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
3837simpld 494 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
3934, 38itgreval 25677 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
405renegd 15160 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) = -(โ„œโ€˜๐ต))
4140breq2d 5153 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)))
4241, 40ifbieq1d 4547 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0))
4342itgeq2dv 25662 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
4440negeqd 11455 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜-๐ต) = --(โ„œโ€˜๐ต))
456recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4645negnegd 11563 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ --(โ„œโ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜๐ต))
4744, 46eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜-๐ต) = (โ„œโ€˜๐ต))
4847breq2d 5153 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)))
4948, 47ifbieq1d 4547 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0))
5049itgeq2dv 25662 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
5143, 50oveq12d 7422 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
5239, 51eqtrd 2766 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
5330, 32, 523eqtr4d 2776 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)
54 mulneg2 11652 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
5511, 14, 54sylancr 586 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
56 ifcl 4568 . . . . . . . . . . 11 (((โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
5712, 18, 56sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
5812iblre 25674 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
5913, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
6059simpld 494 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
6157, 60itgcl 25664 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6212renegcld 11642 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
63 ifcl 4568 . . . . . . . . . . 11 ((-(โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
6462, 18, 63sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
6559simprd 495 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
6664, 65itgcl 25664 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6761, 66negsubdi2d 11588 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
685imnegd 15161 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
6968breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)))
7069, 68ifbieq1d 4547 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0))
7170itgeq2dv 25662 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
7268negeqd 11455 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜-๐ต) = --(โ„‘โ€˜๐ต))
7312recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
7473negnegd 11563 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ --(โ„‘โ€˜๐ต) = (โ„‘โ€˜๐ต))
7572, 74eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜-๐ต) = (โ„‘โ€˜๐ต))
7675breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)))
7776, 75ifbieq1d 4547 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0))
7877itgeq2dv 25662 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
7971, 78oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8067, 79eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8112, 13itgreval 25677 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8281negeqd 11455 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8333imcld 15146 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) โˆˆ โ„)
8437simprd 495 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
8583, 84itgreval 25677 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8680, 82, 853eqtr4d 2776 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)
8786oveq2d 7420 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ))
8855, 87eqtr3d 2768 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ))
8953, 88oveq12d 7422 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
9017, 89eqtrd 2766 . 2 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
914, 1itgcnval 25680 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
9291negeqd 11455 . 2 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
9333, 35itgcnval 25680 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
9490, 92, 933eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  โ„œcre 15048  โ„‘cim 15049  MblFncmbf 25494  ๐ฟ1cibl 25497  โˆซcitg 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xadd 13096  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21229  df-met 21230  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500  df-itg2 25501  df-ibl 25502  df-itg 25503  df-0p 25550
This theorem is referenced by:  itgsub  25706  itgsubnc  37061  itgmulc2nc  37067  sqwvfourb  45498
  Copyright terms: Public domain W3C validator