Theorem itgneg 26000

Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcnval.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgcnval.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgneg	⊢ (𝜑 → -∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴-𝐵 d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcnval.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgcnval.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25832	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	recld 15271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
7	5	iblcn 25995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
8	1, 7	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
10	6, 9	itgcl 25980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-icn 11177	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
12	5	imcld 15272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	8	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
14	12, 13	itgcl 25980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
15		mulcl 11202	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
16	11, 14, 15	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
17	10, 16	negdid 11600	. . 3 ⊢ (𝜑 → -(∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
18		0re 11228	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		ifcl 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
20	6, 18, 19	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
21	6	iblre 25990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
22	9, 21	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
23	22	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
24	20, 23	itgcl 25980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
25	6	renegcld 11659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
26		ifcl 4538	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
27	25, 18, 26	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
28	22	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
29	27, 28	itgcl 25980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
30	24, 29	negsubdi2d 11603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
31	6, 9	itgreval 25993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
32	31	negeqd 11469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = -(∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
33	5	negcld 11574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
34	33	recld 15271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘-𝐵) ∈ ℝ)
35	4, 1	iblneg 25999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
36	33	iblcn 25995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)))
37	35, 36	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1))
38	37	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
39	34, 38	itgreval 25993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥))
40	5	renegd 15286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
41	40	breq2d 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
42	41, 40	ifbieq1d 4517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0))
43	42	itgeq2dv 25978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥)
44	40	negeqd 11469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = --(ℜ‘𝐵))
45	6	recnd 11255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
46	45	negnegd 11578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → --(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘𝐵))
47	44, 46	eqtrd 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘𝐵))
48	47	breq2d 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ -(ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)))
49	48, 47	ifbieq1d 4517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0))
50	49	itgeq2dv 25978	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥)
51	43, 50	oveq12d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
52	39, 51	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
53	30, 32, 52	3eqtr4d 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥)
54		mulneg2 11669	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
55	11, 14, 54	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
56		ifcl 4538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℑ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
57	12, 18, 56	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
58	12	iblre 25990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
59	13, 58	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
60	59	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
61	57, 60	itgcl 25980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
62	12	renegcld 11659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
63		ifcl 4538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
64	62, 18, 63	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
65	59	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
66	64, 65	itgcl 25980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
67	61, 66	negsubdi2d 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -(∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
68	5	imnegd 15287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
69	68	breq2d 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)))
70	69, 68	ifbieq1d 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0))
71	70	itgeq2dv 25978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥)
72	68	negeqd 11469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = --(ℑ‘𝐵))
73	12	recnd 11255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
74	73	negnegd 11578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → --(ℑ‘𝐵) = (ℑ‘𝐵))
75	72, 74	eqtrd 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = (ℑ‘𝐵))
76	75	breq2d 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (0 ≤ -(ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)))
77	76, 75	ifbieq1d 4517	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0))
78	77	itgeq2dv 25978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥)
79	71, 78	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
80	67, 79	eqtr4d 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥))
81	12, 13	itgreval 25993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
82	81	negeqd 11469	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = -(∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
83	33	imcld 15272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘-𝐵) ∈ ℝ)
84	37	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
85	83, 84	itgreval 25993	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥))
86	80, 82, 85	3eqtr4d 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)
87	86	oveq2d 7439	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥))
88	55, 87	eqtr3d 2803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥))
89	53, 88	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)))
90	17, 89	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → -(∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)))
91	4, 1	itgcnval 25996	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
92	91	negeqd 11469	. 2 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴𝐵 d𝑥 = -(∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
93	33, 35	itgcnval 25996	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴-𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)))
94	90, 92, 93	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → -∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴-𝐵 d𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4492   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  ici 11120   + caddc 11121   · cmul 11123   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460  ℜcre 15174  ℑcim 15175  MblFncmbf 25810  𝐿¹cibl 25813  ∫citg 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-disj 5082  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-xmet 21552  df-met 21553  df-ovol 25660  df-vol 25661  df-mbf 25815  df-itg1 25816  df-itg2 25817  df-ibl 25818  df-itg 25819  df-0p 25866

This theorem is used by:  itgsub  26022  itgsubnc  38374  itgmulc2nc  38380  sqwvfourb  46984