MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgneg 25839
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnval.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgneg (𝜑 → -∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴-𝐵 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25802 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25671 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65recld 15233 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
75iblcn 25834 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
81, 7mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
98simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
106, 9itgcl 25819 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-icn 11214 . . . . 5 i ∈ ℂ
125imcld 15234 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
138simprd 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1412, 13itgcl 25819 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
15 mulcl 11239 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
1611, 14, 15sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
1710, 16negdid 11633 . . 3 (𝜑 → -(∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (-∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
18 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
19 ifcl 4571 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
206, 18, 19sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
216iblre 25829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
229, 21mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
2322simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
2420, 23itgcl 25819 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
256renegcld 11690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
26 ifcl 4571 . . . . . . . 8 ((-(ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
2725, 18, 26sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
2822simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
2927, 28itgcl 25819 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
3024, 29negsubdi2d 11636 . . . . 5 (𝜑 → -(∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
316, 9itgreval 25832 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
3231negeqd 11502 . . . . 5 (𝜑 → -∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = -(∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
335negcld 11607 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
3433recld 15233 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) ∈ ℝ)
354, 1iblneg 25838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
3633iblcn 25834 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)))
3735, 36mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1))
3837simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
3934, 38itgreval 25832 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥))
405renegd 15248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
4140breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
4241, 40ifbieq1d 4550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0))
4342itgeq2dv 25817 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥)
4440negeqd 11502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = --(ℜ‘𝐵))
456recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
4645negnegd 11611 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘𝐵))
4744, 46eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘𝐵))
4847breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)))
4948, 47ifbieq1d 4550 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0))
5049itgeq2dv 25817 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥)
5143, 50oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
5239, 51eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0) d𝑥))
5330, 32, 523eqtr4d 2787 . . . 4 (𝜑 → -∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥)
54 mulneg2 11700 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
5511, 14, 54sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (i · -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥))
56 ifcl 4571 . . . . . . . . . . 11 (((ℑ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
5712, 18, 56sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
5812iblre 25829 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
5913, 58mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
6059simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
6157, 60itgcl 25819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
6212renegcld 11690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
63 ifcl 4571 . . . . . . . . . . 11 ((-(ℑ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
6462, 18, 63sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) ∈ ℝ)
6559simprd 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
6664, 65itgcl 25819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 ∈ ℂ)
6761, 66negsubdi2d 11636 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
685imnegd 15249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
6968breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)))
7069, 68ifbieq1d 4550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0))
7170itgeq2dv 25817 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥)
7268negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = --(ℑ‘𝐵))
7312recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
7473negnegd 11611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℑ‘𝐵) = (ℑ‘𝐵))
7572, 74eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = (ℑ‘𝐵))
7675breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)))
7776, 75ifbieq1d 4550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0))
7877itgeq2dv 25817 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 = ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥)
7971, 78oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
8067, 79eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → -(∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥) = (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥))
8112, 13itgreval 25832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
8281negeqd 11502 . . . . . . 7 (𝜑 → -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = -(∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0) d𝑥))
8333imcld 15234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) ∈ ℝ)
8437simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
8583, 84itgreval 25832 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) d𝑥))
8680, 82, 853eqtr4d 2787 . . . . . 6 (𝜑 → -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)
8786oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (i · -∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥))
8855, 87eqtr3d 2779 . . . 4 (𝜑 → -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥))
8953, 88oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (-∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + -(i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)))
9017, 89eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → -(∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)))
914, 1itgcnval 25835 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
9291negeqd 11502 . 2 (𝜑 → -∫𝐴𝐵 d𝑥 = -(∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
9333, 35itgcnval 25835 . 2 (𝜑 → ∫𝐴-𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘-𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘-𝐵) d𝑥)))
9490, 92, 933eqtr4d 2787 1 (𝜑 → -∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴-𝐵 d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cre 15136  cim 15137  MblFncmbf 25649  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  itgsub  25861  itgsubnc  37689  itgmulc2nc  37695  sqwvfourb  46244
  Copyright terms: Public domain W3C validator