MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgneg 25184
Description: Negation of an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
itgcnval.2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
Assertion
Ref Expression
itgneg (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‰
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem itgneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
2 iblmbf 25148 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
53, 4mbfmptcl 25016 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
65recld 15086 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
75iblcn 25179 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
81, 7mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
98simpld 496 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
106, 9itgcl 25164 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
11 ax-icn 11117 . . . . 5 i โˆˆ โ„‚
125imcld 15087 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
138simprd 497 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
1412, 13itgcl 25164 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
15 mulcl 11142 . . . . 5 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1611, 14, 15sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
1710, 16negdid 11532 . . 3 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (-โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
18 0re 11164 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
19 ifcl 4536 . . . . . . . 8 (((โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
206, 18, 19sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
216iblre 25174 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
229, 21mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
2322simpld 496 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
2420, 23itgcl 25164 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
256renegcld 11589 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
26 ifcl 4536 . . . . . . . 8 ((-(โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
2725, 18, 26sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
2822simprd 497 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
2927, 28itgcl 25164 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
3024, 29negsubdi2d 11535 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
316, 9itgreval 25177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
3231negeqd 11402 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
335negcld 11506 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
3433recld 15086 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) โˆˆ โ„)
354, 1iblneg 25183 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1)
3633iblcn 25179 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ -๐ต) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)))
3735, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1))
3837simpld 496 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„œโ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
3934, 38itgreval 25177 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
405renegd 15101 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜-๐ต) = -(โ„œโ€˜๐ต))
4140breq2d 5122 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต)))
4241, 40ifbieq1d 4515 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0))
4342itgeq2dv 25162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
4440negeqd 11402 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜-๐ต) = --(โ„œโ€˜๐ต))
456recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
4645negnegd 11510 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ --(โ„œโ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜๐ต))
4744, 46eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„œโ€˜-๐ต) = (โ„œโ€˜๐ต))
4847breq2d 5122 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต)))
4948, 47ifbieq1d 4515 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0))
5049itgeq2dv 25162 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
5143, 50oveq12d 7380 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜-๐ต), (โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜-๐ต), -(โ„œโ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
5239, 51eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„œโ€˜๐ต), -(โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต), (โ„œโ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
5330, 32, 523eqtr4d 2787 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)
54 mulneg2 11599 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
5511, 14, 54sylancr 588 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ))
56 ifcl 4536 . . . . . . . . . . 11 (((โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
5712, 18, 56sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
5812iblre 25174 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1 โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)))
5913, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1))
6059simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
6157, 60itgcl 25164 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6212renegcld 11589 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
63 ifcl 4536 . . . . . . . . . . 11 ((-(โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
6462, 18, 63sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„)
6559simprd 497 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0)) โˆˆ ๐ฟ1)
6664, 65itgcl 25164 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6761, 66negsubdi2d 11535 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
685imnegd 15102 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
6968breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต)))
7069, 68ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0))
7170itgeq2dv 25162 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
7268negeqd 11402 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜-๐ต) = --(โ„‘โ€˜๐ต))
7312recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
7473negnegd 11510 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ --(โ„‘โ€˜๐ต) = (โ„‘โ€˜๐ต))
7572, 74eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ -(โ„‘โ€˜-๐ต) = (โ„‘โ€˜๐ต))
7675breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต)))
7776, 75ifbieq1d 4515 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ if(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) = if(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0))
7877itgeq2dv 25162 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ = โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ)
7971, 78oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8067, 79eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ) = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8112, 13itgreval 25177 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8281negeqd 11402 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜๐ต), (โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜๐ต), -(โ„‘โ€˜๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8333imcld 15087 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (โ„‘โ€˜-๐ต) โˆˆ โ„)
8437simprd 497 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (โ„‘โ€˜-๐ต)) โˆˆ ๐ฟ1)
8583, 84itgreval 25177 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ = (โˆซ๐ดif(0 โ‰ค (โ„‘โ€˜-๐ต), (โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ โˆ’ โˆซ๐ดif(0 โ‰ค -(โ„‘โ€˜-๐ต), -(โ„‘โ€˜-๐ต), 0) d๐‘ฅ))
8680, 82, 853eqtr4d 2787 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ = โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)
8786oveq2d 7378 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (i ยท -โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ))
8855, 87eqtr3d 2779 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ) = (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ))
8953, 88oveq12d 7380 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (-โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + -(i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
9017, 89eqtrd 2777 . 2 (๐œ‘ โ†’ -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)) = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
914, 1itgcnval 25180 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
9291negeqd 11402 . 2 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = -(โˆซ๐ด(โ„œโ€˜๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜๐ต) d๐‘ฅ)))
9333, 35itgcnval 25180 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ = (โˆซ๐ด(โ„œโ€˜-๐ต) d๐‘ฅ + (i ยท โˆซ๐ด(โ„‘โ€˜-๐ต) d๐‘ฅ)))
9490, 92, 933eqtr4d 2787 1 (๐œ‘ โ†’ -โˆซ๐ด๐ต d๐‘ฅ = โˆซ๐ด-๐ต d๐‘ฅ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4491   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  MblFncmbf 24994  ๐ฟ1cibl 24997  โˆซcitg 24998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  itgsub  25206  itgsubnc  36169  itgmulc2nc  36175  sqwvfourb  44544
  Copyright terms: Public domain W3C validator