MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgcnval 24975
Description: Decompose the integral of a complex function into real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnval.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgcnval (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgcnval
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
2 eqid 2740 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
3 eqid 2740 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
4 eqid 2740 . . 3 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
5 itgcnval.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
6 itgcnval.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
71, 2, 3, 4, 5, 6itgcnlem 24965 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))) + (i · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))))))
8 iblmbf 24943 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
96, 8syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
109, 5mbfmptcl 24811 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110recld 14916 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1210iblcn 24974 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
136, 12mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1413simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1511, 14itgrevallem1 24970 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))))
1610imcld 14917 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
1713simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1816, 17itgrevallem1 24970 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))))
1918oveq2d 7288 . . 3 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) = (i · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))))))
2015, 19oveq12d 7290 . 2 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) = (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))) + (i · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))))))
217, 20eqtr4d 2783 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  ifcif 4465   class class class wbr 5079  cmpt 5162  cfv 6432  (class class class)co 7272  cr 10881  0cc0 10882  ici 10884   + caddc 10885   · cmul 10887  cle 11021  cmin 11216  -cneg 11217  cre 14819  cim 14820  MblFncmbf 24789  2citg2 24791  𝐿1cibl 24792  citg 24793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-ofr 7529  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-dju 9670  df-card 9708  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xadd 12860  df-ioo 13094  df-ico 13096  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-mod 13601  df-seq 13733  df-exp 13794  df-hash 14056  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-clim 15208  df-sum 15409  df-xmet 20601  df-met 20602  df-ovol 24639  df-vol 24640  df-mbf 24794  df-itg1 24795  df-itg2 24796  df-ibl 24797  df-itg 24798  df-0p 24845
This theorem is referenced by:  itgre  24976  itgim  24977  itgneg  24979  itgconst  24994  itgadd  25000  itgmulc2  25009  itgaddnc  35846  itgmulc2nc  35854
  Copyright terms: Public domain W3C validator