Theorem iblsub 25811

Description: Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgadd.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
itgadd.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
itgadd.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
iblsub	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgadd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		itgadd.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25625	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		itgadd.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7		iblmbf 25756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
9		itgadd.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	mbfmptcl 25625	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	5, 10	negsubd 11506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵 − 𝐶))
12	11	mpteq2dva 5168	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)))
13	10	negcld 11487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
14	9, 6	iblneg 25792	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
15	5, 1, 13, 14	ibladd 25810	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ 𝐿1)
16	12, 15	eqeltrrd 2842	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156  (class class class)co 7360  ℂcc 11031   + caddc 11036   − cmin 11372  -cneg 11373  MblFncmbf 25603  𝐿¹cibl 25606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-disj 5043  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9820  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-rest 17380  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-cmp 23374  df-ovol 25453  df-vol 25454  df-mbf 25608  df-itg1 25609  df-itg2 25610  df-ibl 25611  df-0p 25659

This theorem is referenced by:  ftc1lem4  26028  iblulm  26394  itgulm  26395  areaquad  43676