MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblsub 25764
Description: Subtract two integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgadd.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
itgadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
itgadd.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblsub (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsub
StepHypRef Expression
1 itgadd.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25710 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgadd.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25578 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 itgadd.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25710 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 itgadd.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 25578 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10negsubd 11608 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
1211mpteq2dva 5248 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
1310negcld 11589 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
149, 6iblneg 25745 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
155, 1, 13, 14ibladd 25763 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ 𝐿1)
1612, 15eqeltrrd 2830 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2099  cmpt 5231  (class class class)co 7420  cc 11137   + caddc 11142  cmin 11475  -cneg 11476  MblFncmbf 25556  𝐿1cibl 25559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-rest 17404  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-0p 25612
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  25987  iblulm  26356  itgulm  26357  areaquad  42644
  Copyright terms: Public domain W3C validator