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Theorem iblabs 25709
Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabs (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabs
StepHypRef Expression
1 absf 15288 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
3 iblabs.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 25648 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6 iblabs.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
75, 6mbfmptcl 25516 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82, 7cofmpt 7125 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)))
97fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
10 ax-resscn 11166 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
11 ssid 3999 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
12 cncfss 24770 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
1310, 11, 12mp2an 689 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
14 abscncf 24772 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1513, 14sselii 3974 . . . . 5 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
17 cncombf 25538 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
185, 9, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
198, 18eqeltrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
207abscld 15387 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2120rexrd 11265 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
227absge0d 15395 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
23 elxrge0 13437 . . . . . . 7 ((absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΅)))
2421, 22, 23sylanbrc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
25 0e0iccpnf 13439 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2625a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
2724, 26ifclda 4558 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2827adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2928fmpttd 7109 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
30 reex 11200 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
327recld 15145 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ β„‚)
3433abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
3533absge0d 15395 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
36 elrege0 13434 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅))))
3734, 35, 36sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
38 0e0icopnf 13438 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
4037, 39ifclda 4558 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4140adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
427imcld 15146 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4342recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
4443abscld 15387 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
4543absge0d 15395 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
46 elrege0 13434 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
4744, 45, 46sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
4847, 39ifclda 4558 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4948adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
50 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)))
51 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))
5231, 41, 49, 50, 51offval2 7686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
53 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
54 iftrue 4529 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
5553, 54oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
56 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
5755, 56eqtr4d 2769 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
58 00id 11390 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
59 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = 0)
60 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = 0)
6159, 60oveq12d 7422 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (0 + 0))
62 iffalse 4532 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = 0)
6358, 61, 623eqtr4a 2792 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6457, 63pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)
6564mpteq2i 5246 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6652, 65eqtr2di 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
6766fveq2d 6888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
68 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))
697iblcn 25679 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
703, 69mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
7170simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
726, 3, 68, 71, 32iblabslem 25708 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7372simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
7441fmpttd 7109 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7572simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
76 eqid 2726 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))
7770simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
786, 3, 76, 77, 42iblabslem 25708 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7978simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
8049fmpttd 7109 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8178simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
8273, 74, 75, 79, 80, 81itg2add 25640 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8367, 82eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8475, 81readdcld 11244 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) ∈ ℝ)
8583, 84eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ)
8634, 44readdcld 11244 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ)
8786rexrd 11265 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ*)
8834, 44, 35, 45addge0d 11791 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
89 elxrge0 13437 . . . . . . . 8 (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))))
9087, 88, 89sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞))
9190, 26ifclda 4558 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9291adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9392fmpttd 7109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
94 ax-icn 11168 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ β„‚
95 mulcl 11193 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9694, 43, 95sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9733, 96abstrid 15407 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
987replimd 15148 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = ((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅))))
9998fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
100 absmul 15245 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
10194, 43, 100sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
102 absi 15237 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜i) = 1
103102oveq1i 7414 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
10444recnd 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
105104mullidd 11233 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
106103, 105eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
107101, 106eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) = (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))))
108107oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
10997, 99, 1083brtr4d 5173 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
110 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
111110adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
11256adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
113109, 111, 1123brtr4d 5173 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
114113ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
115 0le0 12314 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ 0)
117 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = 0)
118116, 117, 623brtr4d 5173 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
119114, 118pm2.61d1 180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
120119ralrimivw 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
121 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)))
122 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
12331, 28, 92, 121, 122ofrfval2 7687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
124120, 123mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
125 itg2le 25620 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
12629, 93, 124, 125syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
127 itg2lecl 25619 . . 3 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12829, 85, 126, 127syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12920, 22iblpos 25673 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
13019, 128, 129mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110  ici 11111   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11246  β„*cxr 11248   ≀ cle 11250  [,)cico 13329  [,]cicc 13330  β„œcre 15048  β„‘cim 15049  abscabs 15185  β€“cnβ†’ccncf 24747  MblFncmbf 25494  βˆ«2citg2 25496  πΏ1cibl 25497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-cmp 23242  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-ovol 25344  df-vol 25345  df-mbf 25499  df-itg1 25500  df-itg2 25501  df-ibl 25502  df-0p 25550
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25711  itgabs  25715  bddmulibl  25719  itgcn  25725  ftc1a  25923  ftc1lem4  25925  itgulm  26295  fourierdlem47  45422  fourierdlem87  45462  etransclem23  45526
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