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Theorem iblabs 25115
Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabs (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabs
StepHypRef Expression
1 absf 15156 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
3 iblabs.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 25054 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6 iblabs.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
75, 6mbfmptcl 24922 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82, 7cofmpt 7072 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)))
97fmpttd 7057 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
10 ax-resscn 11041 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
11 ssid 3964 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
12 cncfss 24184 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
14 abscncf 24186 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1513, 14sselii 3939 . . . . 5 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
17 cncombf 24944 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
185, 9, 16, 17syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
198, 18eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
207abscld 15255 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2120rexrd 11138 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
227absge0d 15263 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
23 elxrge0 13302 . . . . . . 7 ((absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΅)))
2421, 22, 23sylanbrc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
25 0e0iccpnf 13304 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2625a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
2724, 26ifclda 4519 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2827adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2928fmpttd 7057 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
30 reex 11075 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
327recld 15012 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11116 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ β„‚)
3433abscld 15255 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
3533absge0d 15263 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
36 elrege0 13299 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅))))
3734, 35, 36sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
38 0e0icopnf 13303 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
4037, 39ifclda 4519 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
427imcld 15013 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4342recnd 11116 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
4443abscld 15255 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
4543absge0d 15263 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
46 elrege0 13299 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
4744, 45, 46sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
4847, 39ifclda 4519 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4948adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
50 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)))
51 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))
5231, 41, 49, 50, 51offval2 7627 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
53 iftrue 4490 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
54 iftrue 4490 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
5553, 54oveq12d 7367 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
56 iftrue 4490 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
5755, 56eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
58 00id 11263 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
59 iffalse 4493 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = 0)
60 iffalse 4493 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = 0)
6159, 60oveq12d 7367 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (0 + 0))
62 iffalse 4493 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = 0)
6358, 61, 623eqtr4a 2803 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6457, 63pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)
6564mpteq2i 5208 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6652, 65eqtr2di 2794 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
6766fveq2d 6841 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
68 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))
697iblcn 25085 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
703, 69mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
7170simpld 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
726, 3, 68, 71, 32iblabslem 25114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7372simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
7441fmpttd 7057 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7572simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
76 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))
7770simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
786, 3, 76, 77, 42iblabslem 25114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7978simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
8049fmpttd 7057 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8178simprd 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
8273, 74, 75, 79, 80, 81itg2add 25046 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8367, 82eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8475, 81readdcld 11117 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) ∈ ℝ)
8583, 84eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ)
8634, 44readdcld 11117 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ)
8786rexrd 11138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ*)
8834, 44, 35, 45addge0d 11664 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
89 elxrge0 13302 . . . . . . . 8 (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))))
9087, 88, 89sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞))
9190, 26ifclda 4519 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9291adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9392fmpttd 7057 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
94 ax-icn 11043 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ β„‚
95 mulcl 11068 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9694, 43, 95sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9733, 96abstrid 15275 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
987replimd 15015 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = ((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅))))
9998fveq2d 6841 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
100 absmul 15113 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
10194, 43, 100sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
102 absi 15105 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜i) = 1
103102oveq1i 7359 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
10444recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
105104mulid2d 11106 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
106103, 105eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
107101, 106eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) = (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))))
108107oveq2d 7365 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
10997, 99, 1083brtr4d 5135 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
110 iftrue 4490 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
111110adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
11256adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
113109, 111, 1123brtr4d 5135 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
114113ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
115 0le0 12187 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ 0)
117 iffalse 4493 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = 0)
118116, 117, 623brtr4d 5135 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
119114, 118pm2.61d1 180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
120119ralrimivw 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
121 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)))
122 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
12331, 28, 92, 121, 122ofrfval2 7628 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
124120, 123mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
125 itg2le 25026 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
12629, 93, 124, 125syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
127 itg2lecl 25025 . . 3 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12829, 85, 126, 127syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12920, 22iblpos 25079 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
13019, 128, 129mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3062  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908  ifcif 4484   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5634  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   ∘f cof 7605   ∘r cofr 7606  β„‚cc 10982  β„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985  ici 10986   + caddc 10987   Β· cmul 10989  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   ≀ cle 11123  [,)cico 13194  [,]cicc 13195  β„œcre 14915  β„‘cim 14916  abscabs 15052  β€“cnβ†’ccncf 24161  MblFncmbf 24900  βˆ«2citg2 24902  πΏ1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cc 10304  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063  ax-mulf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-supp 8060  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-omul 8384  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-ixp 8769  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fsupp 9239  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-acn 9811  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-4 12151  df-5 12152  df-6 12153  df-7 12154  df-8 12155  df-9 12156  df-n0 12347  df-z 12433  df-dec 12551  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ioc 13197  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-struct 16953  df-sets 16970  df-slot 16988  df-ndx 17000  df-base 17018  df-ress 17047  df-plusg 17080  df-mulr 17081  df-starv 17082  df-sca 17083  df-vsca 17084  df-ip 17085  df-tset 17086  df-ple 17087  df-ds 17089  df-unif 17090  df-hom 17091  df-cco 17092  df-rest 17238  df-topn 17239  df-0g 17257  df-gsum 17258  df-topgen 17259  df-pt 17260  df-prds 17263  df-xrs 17318  df-qtop 17323  df-imas 17324  df-xps 17326  df-mre 17400  df-mrc 17401  df-acs 17403  df-mgm 18431  df-sgrp 18480  df-mnd 18491  df-submnd 18536  df-mulg 18806  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-cmp 22660  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-cncf 24163  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25117  itgabs  25121  bddmulibl  25125  itgcn  25131  ftc1a  25323  ftc1lem4  25325  itgulm  25689  fourierdlem47  44147  fourierdlem87  44187  etransclem23  44251
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