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Theorem iblabs 25115
Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabs (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabs
StepHypRef Expression
1 absf 15157 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
3 iblabs.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 25054 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6 iblabs.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
75, 6mbfmptcl 24922 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82, 7cofmpt 7073 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)))
97fmpttd 7058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
10 ax-resscn 11042 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
11 ssid 3965 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
12 cncfss 24184 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
1310, 11, 12mp2an 691 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
14 abscncf 24186 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1513, 14sselii 3940 . . . . 5 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
17 cncombf 24944 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
185, 9, 16, 17syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
198, 18eqeltrrd 2840 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
207abscld 15256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2120rexrd 11139 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
227absge0d 15264 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
23 elxrge0 13303 . . . . . . 7 ((absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΅)))
2421, 22, 23sylanbrc 584 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
25 0e0iccpnf 13305 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2625a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
2724, 26ifclda 4520 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2827adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2928fmpttd 7058 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
30 reex 11076 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
327recld 15013 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11117 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ β„‚)
3433abscld 15256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
3533absge0d 15264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
36 elrege0 13300 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅))))
3734, 35, 36sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
38 0e0icopnf 13304 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
4037, 39ifclda 4520 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4140adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
427imcld 15014 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4342recnd 11117 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
4443abscld 15256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
4543absge0d 15264 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
46 elrege0 13300 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
4744, 45, 46sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
4847, 39ifclda 4520 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4948adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
50 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)))
51 eqidd 2739 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))
5231, 41, 49, 50, 51offval2 7628 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
53 iftrue 4491 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
54 iftrue 4491 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
5553, 54oveq12d 7368 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
56 iftrue 4491 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
5755, 56eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
58 00id 11264 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
59 iffalse 4494 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = 0)
60 iffalse 4494 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = 0)
6159, 60oveq12d 7368 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (0 + 0))
62 iffalse 4494 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = 0)
6358, 61, 623eqtr4a 2804 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6457, 63pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)
6564mpteq2i 5209 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6652, 65eqtr2di 2795 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
6766fveq2d 6842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
68 eqid 2738 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))
697iblcn 25085 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
703, 69mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
7170simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
726, 3, 68, 71, 32iblabslem 25114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7372simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
7441fmpttd 7058 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7572simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
76 eqid 2738 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))
7770simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
786, 3, 76, 77, 42iblabslem 25114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7978simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
8049fmpttd 7058 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8178simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
8273, 74, 75, 79, 80, 81itg2add 25046 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8367, 82eqtrd 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8475, 81readdcld 11118 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) ∈ ℝ)
8583, 84eqeltrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ)
8634, 44readdcld 11118 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ)
8786rexrd 11139 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ*)
8834, 44, 35, 45addge0d 11665 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
89 elxrge0 13303 . . . . . . . 8 (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))))
9087, 88, 89sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞))
9190, 26ifclda 4520 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9291adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9392fmpttd 7058 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
94 ax-icn 11044 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ β„‚
95 mulcl 11069 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9694, 43, 95sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9733, 96abstrid 15276 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
987replimd 15016 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = ((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅))))
9998fveq2d 6842 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
100 absmul 15114 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
10194, 43, 100sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
102 absi 15106 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜i) = 1
103102oveq1i 7360 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
10444recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
105104mulid2d 11107 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
106103, 105eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
107101, 106eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) = (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))))
108107oveq2d 7366 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
10997, 99, 1083brtr4d 5136 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
110 iftrue 4491 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
111110adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
11256adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
113109, 111, 1123brtr4d 5136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
114113ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
115 0le0 12188 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ 0)
117 iffalse 4494 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = 0)
118116, 117, 623brtr4d 5136 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
119114, 118pm2.61d1 180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
120119ralrimivw 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
121 eqidd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)))
122 eqidd 2739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
12331, 28, 92, 121, 122ofrfval2 7629 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
124120, 123mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
125 itg2le 25026 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
12629, 93, 124, 125syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
127 itg2lecl 25025 . . 3 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12829, 85, 126, 127syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12920, 22iblpos 25079 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
13019, 128, 129mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   βŠ† wss 3909  ifcif 4485   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   ∘ ccom 5635  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∘f cof 7606   ∘r cofr 7607  β„‚cc 10983  β„cr 10984  0cc0 10985  1c1 10986  ici 10987   + caddc 10988   Β· cmul 10990  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,)cico 13195  [,]cicc 13196  β„œcre 14916  β„‘cim 14917  abscabs 15053  β€“cnβ†’ccncf 24161  MblFncmbf 24900  βˆ«2citg2 24902  πΏ1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-hom 17092  df-cco 17093  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-pt 17261  df-prds 17264  df-xrs 17319  df-qtop 17324  df-imas 17325  df-xps 17327  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-mulg 18807  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-cmp 22660  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-cncf 24163  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25117  itgabs  25121  bddmulibl  25125  itgcn  25131  ftc1a  25323  ftc1lem4  25325  itgulm  25689  fourierdlem47  44104  fourierdlem87  44144  etransclem23  44208
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