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Theorem iblabs 25778
Description: The absolute value of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblabs.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
iblabs.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblabs (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem iblabs
StepHypRef Expression
1 absf 15324 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
21a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
3 iblabs.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
4 iblmbf 25717 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
53, 4syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
6 iblabs.1 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
75, 6mbfmptcl 25585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
82, 7cofmpt 7147 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)))
97fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
10 ax-resscn 11203 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
11 ssid 4004 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
12 cncfss 24839 . . . . . . 7 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
1310, 11, 12mp2an 690 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
14 abscncf 24841 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
1513, 14sselii 3979 . . . . 5 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
1615a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
17 cncombf 25607 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
185, 9, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) ∈ MblFn)
198, 18eqeltrrd 2830 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn)
207abscld 15423 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ)
2120rexrd 11302 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ ℝ*)
227absge0d 15431 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜π΅))
23 elxrge0 13474 . . . . . . 7 ((absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜π΅) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΅)))
2421, 22, 23sylanbrc 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ∈ (0[,]+∞))
25 0e0iccpnf 13476 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]+∞)
2625a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
2724, 26ifclda 4567 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2827adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ∈ (0[,]+∞))
2928fmpttd 7130 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
30 reex 11237 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
327recld 15181 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
3332recnd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ β„‚)
3433abscld 15423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ)
3533absge0d 15431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
36 elrege0 13471 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅))))
3734, 35, 36sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
38 0e0icopnf 13475 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,)+∞)
3938a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
4037, 39ifclda 4567 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4140adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
427imcld 15182 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4342recnd 11280 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚)
4443abscld 15423 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ)
4543absge0d 15431 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
46 elrege0 13471 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
4744, 45, 46sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ (0[,)+∞))
4847, 39ifclda 4567 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
4948adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) ∈ (0[,)+∞))
50 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)))
51 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))
5231, 41, 49, 50, 51offval2 7711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
53 iftrue 4538 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)))
54 iftrue 4538 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
5553, 54oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
56 iftrue 4538 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
5755, 56eqtr4d 2771 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
58 00id 11427 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
59 iffalse 4541 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) = 0)
60 iffalse 4541 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0) = 0)
6159, 60oveq12d 7444 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (0 + 0))
62 iffalse 4541 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = 0)
6358, 61, 623eqtr4a 2794 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6457, 63pm2.61i 182 . . . . . . . 8 (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)
6564mpteq2i 5257 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0) + if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
6652, 65eqtr2di 2785 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))))
6766fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
68 eqid 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))
697iblcn 25748 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
703, 69mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
7170simpld 493 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
726, 3, 68, 71, 32iblabslem 25777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7372simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
7441fmpttd 7130 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7572simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
76 eqid 2728 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))
7770simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
786, 3, 76, 77, 42iblabslem 25777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ))
7978simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)) ∈ MblFn)
8049fmpttd 7130 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
8178simprd 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0))) ∈ ℝ)
8273, 74, 75, 79, 80, 81itg2add 25709 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0)) ∘f + (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8367, 82eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))))
8475, 81readdcld 11281 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„œβ€˜π΅)), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)), 0)))) ∈ ℝ)
8583, 84eqeltrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ)
8634, 44readdcld 11281 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ)
8786rexrd 11302 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ*)
8834, 44, 35, 45addge0d 11828 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
89 elxrge0 13474 . . . . . . . 8 (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))))
9087, 88, 89sylanbrc 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) ∈ (0[,]+∞))
9190, 26ifclda 4567 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9291adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) ∈ (0[,]+∞))
9392fmpttd 7130 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
94 ax-icn 11205 . . . . . . . . . . . 12 i ∈ β„‚
95 mulcl 11230 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9694, 43, 95sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (i Β· (β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
9733, 96abstrid 15443 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
987replimd 15184 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = ((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅))))
9998fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜((β„œβ€˜π΅) + (i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
100 absmul 15281 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π΅) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
10194, 43, 100sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
102 absi 15273 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜i) = 1
103102oveq1i 7436 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
10444recnd 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) ∈ β„‚)
105104mullidd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
106103, 105eqtrid 2780 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)))
107101, 106eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΅)) = (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅))))
108107oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜π΅)))))
10997, 99, 1083brtr4d 5184 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜π΅) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
110 iftrue 4538 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
111110adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = (absβ€˜π΅))
11256adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0) = ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))))
113109, 111, 1123brtr4d 5184 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
114113ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
115 0le0 12351 . . . . . . . . 9 0 ≀ 0
116115a1i 11 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 0 ≀ 0)
117 iffalse 4541 . . . . . . . 8 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) = 0)
118116, 117, 623brtr4d 5184 . . . . . . 7 (Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
119114, 118pm2.61d1 180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
120119ralrimivw 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))
121 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)))
122 eqidd 2729 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
12331, 28, 92, 121, 122ofrfval2 7712 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
124120, 123mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))
125 itg2le 25689 . . . 4 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
12629, 93, 124, 125syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))))
127 itg2lecl 25688 . . 3 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, ((absβ€˜(β„œβ€˜π΅)) + (absβ€˜(β„‘β€˜π΅))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12829, 85, 126, 127syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)
12920, 22iblpos 25742 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, (absβ€˜π΅), 0))) ∈ ℝ)))
13019, 128, 129mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (absβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  ifcif 4532   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689   ∘r cofr 7690  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   Β· cmul 11151  +∞cpnf 11283  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  β„œcre 15084  β„‘cim 15085  abscabs 15221  β€“cnβ†’ccncf 24816  MblFncmbf 25563  βˆ«2citg2 25565  πΏ1cibl 25566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cc 10466  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-ovol 25413  df-vol 25414  df-mbf 25568  df-itg1 25569  df-itg2 25570  df-ibl 25571  df-0p 25619
This theorem is referenced by:  iblmulc2  25780  itgabs  25784  bddmulibl  25788  itgcn  25794  ftc1a  25992  ftc1lem4  25994  itgulm  26364  fourierdlem47  45570  fourierdlem87  45610  etransclem23  45674
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