Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplit 24443
 Description: The ∫ integral splits under an almost disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplit.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itgsplit.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itgsplit.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶𝑉)
itgsplit.a (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgsplit.b (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplit (𝜑 → ∫𝑈𝐶 d𝑥 = (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsplit.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24375 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
4 ssun1 4102 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
5 itgsplit.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
64, 5sseqtrrid 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑈)
76sselda 3918 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
8 itgsplit.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶𝑉)
97, 8syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
103, 9mbfdm2 24245 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1110adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴 ∈ dom vol)
12 itgsplit.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
13 iblmbf 24375 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
15 ssun2 4103 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1615, 5sseqtrrid 3971 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑈)
1716sselda 3918 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
1817, 8syldan 594 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
1914, 18mbfdm2 24245 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
2019adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐵 ∈ dom vol)
21 itgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2221adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
235adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
245eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
25 elun 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2624, 25syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝑈 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2726biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
283, 9mbfmptcl 24244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2914, 18mbfmptcl 24244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3028, 29jaodan 955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3127, 30syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
3231adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
33 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
34 elfznn0 12999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36 expcl 13447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
3733, 35, 36sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
3837adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
39 ine0 11068 . . . . . . . . . . . . . 14 i ≠ 0
40 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 expne0i 13461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4333, 39, 41, 42mp3an12i 1462 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4443adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4532, 38, 44divcld 11409 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐶 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
4645recld 14549 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
47 0re 10636 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
48 ifcl 4472 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
4946, 47, 48sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
5049rexrd 10684 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
51 max1 12570 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
5247, 46, 51sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
53 elxrge0 12839 . . . . . . . 8 (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
5450, 52, 53sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
55 ifan 4479 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
5655mpteq2i 5125 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
57 ifan 4479 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
5857mpteq2i 5125 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
59 ifan 4479 . . . . . . . 8 if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
6059mpteq2i 5125 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
61 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
62 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
6361, 62, 1, 9iblitg 24376 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6440, 63sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
65 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
66 eqidd 2802 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
6765, 66, 12, 18iblitg 24376 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6840, 67sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6911, 20, 22, 23, 54, 56, 58, 60, 64, 68itg2split 24357 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
7069oveq2d 7155 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7163recnd 10662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7240, 71sylan2 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7368recnd 10662 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7437, 72, 73adddid 10658 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))) = (((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7570, 74eqtrd 2836 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7675sumeq2dv 15056 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)(((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
77 fzfid 13340 . . . 4 (𝜑 → (0...3) ∈ Fin)
7837, 72mulcld 10654 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
7937, 73mulcld 10654 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
8077, 78, 79fsumadd 15092 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)(((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
8176, 80eqtrd 2836 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
82 eqid 2801 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
8382dfitg 24377 . 2 𝑈𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8482dfitg 24377 . . 3 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8582dfitg 24377 . . 3 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8684, 85oveq12i 7151 . 2 (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
8781, 83, 863eqtr4g 2861 1 (𝜑 → ∫𝑈𝐶 d𝑥 = (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883  ifcif 4428   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  ℝcr 10529  0cc0 10530  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  3c3 11685  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  ↑cexp 13429  ℜcre 14452  Σcsu 15038  vol*covol 24070  volcvol 24071  MblFncmbf 24222  ∫2citg2 24224  𝐿1cibl 24225  ∫citg 24226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-ofr 7394  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-cmp 21996  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228  df-itg2 24229  df-ibl 24230  df-itg 24231 This theorem is referenced by:  itgspliticc  24444  itgsplitioo  24445
 Copyright terms: Public domain W3C validator