MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplit 25200
Description: The integral splits under an almost disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplit.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itgsplit.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itgsplit.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶𝑉)
itgsplit.a (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgsplit.b (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplit (𝜑 → ∫𝑈𝐶 d𝑥 = (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsplit.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25132 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
4 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
5 itgsplit.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
64, 5sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑈)
76sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
8 itgsplit.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶𝑉)
97, 8syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
103, 9mbfdm2 25001 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴 ∈ dom vol)
12 itgsplit.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
13 iblmbf 25132 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
15 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1615, 5sseqtrrid 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑈)
1716sselda 3944 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
1817, 8syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
1914, 18mbfdm2 25001 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐵 ∈ dom vol)
21 itgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
235adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
245eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
25 elun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2624, 25bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝑈 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2726biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
283, 9mbfmptcl 25000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2914, 18mbfmptcl 25000 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3028, 29jaodan 956 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3127, 30syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
3231adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
33 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
34 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36 expcl 13985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
3733, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
39 ine0 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 i ≠ 0
40 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 expne0i 14000 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4333, 39, 41, 42mp3an12i 1465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4532, 38, 44divcld 11931 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐶 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
4645recld 15079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
47 0re 11157 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
48 ifcl 4531 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
5049rexrd 11205 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
51 max1 13104 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
5247, 46, 51sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
53 elxrge0 13374 . . . . . . . 8 (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
5450, 52, 53sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
55 ifan 4539 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
5655mpteq2i 5210 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
57 ifan 4539 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
5857mpteq2i 5210 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
59 ifan 4539 . . . . . . . 8 if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
6059mpteq2i 5210 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
61 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
62 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
6361, 62, 1, 9iblitg 25133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6440, 63sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
65 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
66 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
6765, 66, 12, 18iblitg 25133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6840, 67sylan2 593 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6911, 20, 22, 23, 54, 56, 58, 60, 64, 68itg2split 25114 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
7069oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7163recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7240, 71sylan2 593 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7368recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7437, 72, 73adddid 11179 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))) = (((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7570, 74eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7675sumeq2dv 15588 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)(((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
77 fzfid 13878 . . . 4 (𝜑 → (0...3) ∈ Fin)
7837, 72mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
7937, 73mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
8077, 78, 79fsumadd 15625 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)(((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
8176, 80eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
82 eqid 2736 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
8382dfitg 25134 . 2 𝑈𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8482dfitg 25134 . . 3 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8582dfitg 25134 . . 3 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8684, 85oveq12i 7369 . 2 (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
8781, 83, 863eqtr4g 2801 1 (𝜑 → ∫𝑈𝐶 d𝑥 = (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cun 3908  cin 3909  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190   / cdiv 11812  3c3 12209  0cn0 12413  cz 12499  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  cexp 13967  cre 14982  Σcsu 15570  vol*covol 24826  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987
This theorem is referenced by:  itgspliticc  25201  itgsplitioo  25202
  Copyright terms: Public domain W3C validator