MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblneg 25190
Description: The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnval.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblneg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25155 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25023 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65renegd 15103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
76breq2d 5121 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
87, 6ifbieq1d 4514 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0))
98mpteq2dva 5209 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)))
105iblcn 25186 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
111, 10mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1211simpld 496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
135recld 15088 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1413iblre 25181 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
1512, 14mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
1615simprd 497 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
179, 16eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
186negeqd 11403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = --(ℜ‘𝐵))
1913recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
2019negnegd 11511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘𝐵))
2118, 20eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘𝐵))
2221breq2d 5121 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)))
2322, 21ifbieq1d 4514 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0))
2423mpteq2dva 5209 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)))
2515simpld 496 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
2624, 25eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
275negcld 11507 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
2827recld 15088 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) ∈ ℝ)
2928iblre 25181 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
3017, 26, 29mpbir2and 712 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
315imnegd 15104 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
3231breq2d 5121 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)))
3332, 31ifbieq1d 4514 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0))
3433mpteq2dva 5209 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)))
3511simprd 497 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
365imcld 15089 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3736iblre 25181 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
3835, 37mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
3938simprd 497 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4034, 39eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4131negeqd 11403 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = --(ℑ‘𝐵))
4236recnd 11191 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4342negnegd 11511 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℑ‘𝐵) = (ℑ‘𝐵))
4441, 43eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = (ℑ‘𝐵))
4544breq2d 5121 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)))
4645, 44ifbieq1d 4514 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0))
4746mpteq2dva 5209 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)))
4838simpld 496 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4947, 48eqeltrd 2834 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
5027imcld 15089 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) ∈ ℝ)
5150iblre 25181 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
5240, 49, 51mpbir2and 712 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
5327iblcn 25186 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)))
5430, 52, 53mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109  cmpt 5192  cfv 6500  0cc0 11059  cle 11198  -cneg 11394  cre 14991  cim 14992  MblFncmbf 25001  𝐿1cibl 25004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgneg  25191  iblsub  25209  itgsub  25213  iblsubnc  36189  itgsubnc  36190
  Copyright terms: Public domain W3C validator