MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iblneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblneg 24382
Description: The negative of an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
itgcnval.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
iblneg (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iblneg
StepHypRef Expression
1 itgcnval.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24347 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 itgcnval.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 24216 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65renegd 14546 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
76breq2d 5052 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
87, 6ifbieq1d 4464 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0))
98mpteq2dva 5135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)))
105iblcn 24378 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
111, 10mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1211simpld 497 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
135recld 14531 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1413iblre 24373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
1512, 14mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
1615simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘𝐵), -(ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
179, 16eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
186negeqd 10856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = --(ℜ‘𝐵))
1913recnd 10645 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
2019negnegd 10964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘𝐵))
2118, 20eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘𝐵))
2221breq2d 5052 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℜ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)))
2322, 21ifbieq1d 4464 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0))
2423mpteq2dva 5135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)))
2515simpld 497 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘𝐵), (ℜ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
2624, 25eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
275negcld 10960 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
2827recld 14531 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) ∈ ℝ)
2928iblre 24373 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℜ‘-𝐵), (ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℜ‘-𝐵), -(ℜ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
3017, 26, 29mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
315imnegd 14547 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
3231breq2d 5052 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ (ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)))
3332, 31ifbieq1d 4464 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0))
3433mpteq2dva 5135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)))
3511simprd 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
365imcld 14532 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
3736iblre 24373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
3835, 37mpbid 234 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1))
3938simprd 498 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘𝐵), -(ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4034, 39eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4131negeqd 10856 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = --(ℑ‘𝐵))
4236recnd 10645 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
4342negnegd 10964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → --(ℑ‘𝐵) = (ℑ‘𝐵))
4441, 43eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘-𝐵) = (ℑ‘𝐵))
4544breq2d 5052 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (0 ≤ -(ℑ‘-𝐵) ↔ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)))
4645, 44ifbieq1d 4464 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0))
4746mpteq2dva 5135 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) = (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)))
4838simpld 497 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘𝐵), (ℑ‘𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
4947, 48eqeltrd 2911 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)
5027imcld 14532 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) ∈ ℝ)
5150iblre 24373 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ (ℑ‘-𝐵), (ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -(ℑ‘-𝐵), -(ℑ‘-𝐵), 0)) ∈ 𝐿1)))
5240, 49, 51mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)
5327iblcn 24378 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘-𝐵)) ∈ 𝐿1)))
5430, 52, 53mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  ifcif 4441   class class class wbr 5040  cmpt 5120  cfv 6329  0cc0 10513  cle 10652  -cneg 10847  cre 14434  cim 14435  MblFncmbf 24194  𝐿1cibl 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-ofr 7386  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-pm 8385  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xadd 12485  df-ioo 12719  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-seq 13352  df-exp 13413  df-hash 13674  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-clim 14823  df-sum 15021  df-xmet 20511  df-met 20512  df-ovol 24044  df-vol 24045  df-mbf 24199  df-itg1 24200  df-itg2 24201  df-ibl 24202  df-0p 24250
This theorem is referenced by:  itgneg  24383  iblsub  24401  itgsub  24405  iblsubnc  34991  itgsubnc  34992
  Copyright terms: Public domain W3C validator