Theorem ditgsplitlem 25024

Description: Lemma for ditgsplit 25025. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1	⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
ditgsplitlem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ditgsplit.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10		elicc2 13144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
11	2, 3, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
12	9, 11	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
13	12	simp1d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		ditgsplit.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16		elicc2 13144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
17	2, 3, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
18	15, 17	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
19	18	simp1d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝜓 ∧ 𝜃))
22		ditgsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
23	21, 22	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
24	23	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
25	23	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
26		elicc2 13144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
27	7, 13, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
28	27	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
29	20, 24, 25, 28	mpbir3and 1341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
30	2	rexrd 11025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
31	6	simp2d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐴)
32		iooss1 13114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
34	3	rexrd 11025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
35	12	simp3d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑌)
36		iooss2 13115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
38	33, 37	sstrd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
39	38	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40		ditgsplit.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41		iblmbf 24932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43		ditgsplit.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
44	42, 43	mbfmptcl 24800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	39, 44	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47		iooss1 13114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
48	30, 31, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
49	18	simp3d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑌)
50		iooss2 13115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
51	34, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
52	48, 51	sstrd 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53		ioombl 24729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
55	52, 54, 43, 40	iblss 24969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
57	18	simp2d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
58		iooss1 13114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
59	30, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
60	59, 37	sstrd 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61		ioombl 24729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
63	60, 62, 43, 40	iblss 24969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
64	63	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
65	8, 14, 29, 46, 56, 64	itgsplitioo 25002	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
66	8, 20, 14, 24, 25	letrd 11132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
67	66	ditgpos 25020	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
68	24	ditgpos 25020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
69	25	ditgpos 25020	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
70	68, 69	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
72	71	anassrs 468	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   + caddc 10874  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  (,)cioo 13079  [,]cicc 13082  volcvol 24627  MblFncmbf 24778  𝐿¹cibl 24781  ∫citg 24782  ⨜cdit 25010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cmp 22538  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-ditg 25011

This theorem is referenced by:  ditgsplit  25025