Theorem ditgsplitlem 26090

Description: Lemma for ditgsplit 26091. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1	⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
ditgsplitlem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ditgsplit.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10		elicc2 13467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
11	2, 3, 10	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
12	9, 11	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
13	12	simp1d 1160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		ditgsplit.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16		elicc2 13467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
17	2, 3, 16	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
18	15, 17	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
19	18	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		ditgsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
22	21	bilani 510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
23	22	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
24	22	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
25		elicc2 13467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
26	7, 13, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
27	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
28	20, 23, 24, 27	mpbir3and 1361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
29	2	rexrd 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
30	6	simp2d 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐴)
31		iooss1 13436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
32	29, 30, 31	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
33	3	rexrd 11286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
34	12	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑌)
35		iooss2 13437	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
36	33, 34, 35	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
37	32, 36	sstrd 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
38	37	sselda 3931	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
39		ditgsplit.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
40		iblmbf 25998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
41	39, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
42		ditgsplit.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
43	41, 42	mbfmptcl 25867	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
44	38, 43	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	44	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
46		iooss1 13436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
47	29, 30, 46	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
48	18	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑌)
49		iooss2 13437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
50	33, 48, 49	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
51	47, 50	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
52		ioombl 25796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
53	52	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
54	51, 53, 42, 39	iblss 26035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
55	54	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
56	18	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
57		iooss1 13436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
58	29, 56, 57	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
59	58, 36	sstrd 3941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
60		ioombl 25796	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
61	60	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
62	59, 61, 42, 39	iblss 26035	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
63	62	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
64	8, 14, 28, 45, 55, 63	itgsplitioo 26068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
65	8, 20, 14, 23, 24	letrd 11394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
66	65	ditgpos 26086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
67	23	ditgpos 26086	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
68	24	ditgpos 26086	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
69	67, 68	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
70	64, 66, 69	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
71	70	anassrs 473	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126   + caddc 11130  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271  (,)cioo 13401  [,]cicc 13404  volcvol 25694  MblFncmbf 25845  𝐿¹cibl 25848  ∫citg 25849  ⨜cdit 26076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-rest 17510  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-cmp 23615  df-ovol 25695  df-vol 25696  df-mbf 25850  df-itg1 25851  df-itg2 25852  df-ibl 25853  df-itg 25854  df-0p 25901  df-ditg 26077

This theorem is used by:  ditgsplit  26091