Theorem ditgsplitlem 25788

Description: Lemma for ditgsplit 25789. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1	⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
ditgsplitlem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ditgsplit.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10		elicc2 13311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
11	2, 3, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
12	9, 11	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
13	12	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		ditgsplit.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16		elicc2 13311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
17	2, 3, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
19	18	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝜓 ∧ 𝜃))
22		ditgsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
24	23	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
25	23	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
26		elicc2 13311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
27	7, 13, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
29	20, 24, 25, 28	mpbir3and 1343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
30	2	rexrd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
31	6	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐴)
32		iooss1 13280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
34	3	rexrd 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
35	12	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑌)
36		iooss2 13281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
38	33, 37	sstrd 3940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
39	38	sselda 3929	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40		ditgsplit.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41		iblmbf 25695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43		ditgsplit.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
44	42, 43	mbfmptcl 25564	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	39, 44	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47		iooss1 13280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
48	30, 31, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
49	18	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑌)
50		iooss2 13281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
51	34, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
52	48, 51	sstrd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53		ioombl 25493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
55	52, 54, 43, 40	iblss 25733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
57	18	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
58		iooss1 13280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
59	30, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
60	59, 37	sstrd 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61		ioombl 25493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
63	60, 62, 43, 40	iblss 25733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
65	8, 14, 29, 46, 56, 64	itgsplitioo 25766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
66	8, 20, 14, 24, 25	letrd 11270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
67	66	ditgpos 25784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
68	24	ditgpos 25784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
69	25	ditgpos 25784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
70	68, 69	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
72	71	anassrs 467	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  dom cdm 5614  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005   + caddc 11009  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245  [,]cicc 13248  volcvol 25391  MblFncmbf 25542  𝐿¹cibl 25545  ∫citg 25546  ⨜cdit 25774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-symdif 4200  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-disj 5057  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cmp 23302  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-mbf 25547  df-itg1 25548  df-itg2 25549  df-ibl 25550  df-itg 25551  df-0p 25598  df-ditg 25775

This theorem is referenced by:  ditgsplit  25789