MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgsplitlem 25910
Description: Lemma for ditgsplit 25911. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 13449 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1141 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ditgsplit.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 elicc2 13449 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
112, 3, 10syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
129, 11mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1312simp1d 1141 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16 elicc2 13449 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
172, 3, 16syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
1815, 17mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1918simp1d 1141 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝜓𝜃))
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2321, 22sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2423simpld 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐵)
2523simprd 495 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵𝐶)
26 elicc2 13449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
277, 13, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2827adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1341 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
302rexrd 11309 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
316simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
32 iooss1 13419 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
343rexrd 11309 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
3512simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑌)
36 iooss2 13420 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐶𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3734, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3833, 37sstrd 4006 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3938sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41 iblmbf 25817 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43 ditgsplit.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
4442, 43mbfmptcl 25685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4539, 44syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4645adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47 iooss1 13419 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4830, 31, 47syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4918simp3d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑌)
50 iooss2 13420 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5134, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5248, 51sstrd 4006 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53 ioombl 25614 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5552, 54, 43, 40iblss 25855 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5655adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5718simp2d 1142 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
58 iooss1 13419 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
5930, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
6059, 37sstrd 4006 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61 ioombl 25614 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
6360, 62, 43, 40iblss 25855 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
6463adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 25888 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
668, 20, 14, 24, 25letrd 11416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐶)
6766ditgpos 25906 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
6824ditgpos 25906 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
6925ditgpos 25906 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7068, 69oveq12d 7449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
7165, 67, 703eqtr4d 2785 . 2 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
7271anassrs 467 1 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152   + caddc 11156  *cxr 11292  cle 11294  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  𝐿1cibl 25666  citg 25667  cdit 25896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-ditg 25897
This theorem is referenced by:  ditgsplit  25911
  Copyright terms: Public domain W3C validator