MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgsplitlem 25802
Description: Lemma for ditgsplit 25803. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 13416 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ditgsplit.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 elicc2 13416 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
112, 3, 10syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
129, 11mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1312simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16 elicc2 13416 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
172, 3, 16syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
1815, 17mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1918simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝜓𝜃))
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2423simpld 493 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐵)
2523simprd 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵𝐶)
26 elicc2 13416 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
277, 13, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2827adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1339 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
302rexrd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
316simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
32 iooss1 13386 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
3330, 31, 32syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
343rexrd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
3512simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑌)
36 iooss2 13387 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐶𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3734, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3833, 37sstrd 3984 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3938sselda 3973 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41 iblmbf 25710 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43 ditgsplit.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
4442, 43mbfmptcl 25578 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4539, 44syldan 589 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4645adantlr 713 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47 iooss1 13386 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4830, 31, 47syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4918simp3d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑌)
50 iooss2 13387 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5134, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5248, 51sstrd 3984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53 ioombl 25507 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5552, 54, 43, 40iblss 25747 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5655adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5718simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
58 iooss1 13386 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
5930, 57, 58syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
6059, 37sstrd 3984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61 ioombl 25507 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
6360, 62, 43, 40iblss 25747 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
6463adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 25780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
668, 20, 14, 24, 25letrd 11396 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐶)
6766ditgpos 25798 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
6824ditgpos 25798 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
6925ditgpos 25798 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7068, 69oveq12d 7431 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
7165, 67, 703eqtr4d 2775 . 2 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
7271anassrs 466 1 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941   class class class wbr 5144  cmpt 5227  dom cdm 5673  (class class class)co 7413  cc 11131  cr 11132   + caddc 11136  *cxr 11272  cle 11274  (,)cioo 13351  [,]cicc 13354  volcvol 25405  MblFncmbf 25556  𝐿1cibl 25559  citg 25560  cdit 25788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-symdif 4238  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-rest 17398  df-topgen 17419  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cmp 23304  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-itg 25565  df-0p 25612  df-ditg 25789
This theorem is referenced by:  ditgsplit  25803
  Copyright terms: Public domain W3C validator