Theorem ditgsplitlem 25224

Description: Lemma for ditgsplit 25225. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1	⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
ditgsplitlem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ditgsplit.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10		elicc2 13329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
11	2, 3, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
12	9, 11	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
13	12	simp1d 1142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		ditgsplit.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16		elicc2 13329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
17	2, 3, 16	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
18	15, 17	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
19	18	simp1d 1142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝜓 ∧ 𝜃))
22		ditgsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
23	21, 22	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
24	23	simpld 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
25	23	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
26		elicc2 13329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
27	7, 13, 26	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
28	27	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
29	20, 24, 25, 28	mpbir3and 1342	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
30	2	rexrd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
31	6	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐴)
32		iooss1 13299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
34	3	rexrd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
35	12	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑌)
36		iooss2 13300	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
37	34, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
38	33, 37	sstrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
39	38	sselda 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40		ditgsplit.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41		iblmbf 25132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43		ditgsplit.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
44	42, 43	mbfmptcl 25000	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	39, 44	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47		iooss1 13299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
48	30, 31, 47	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
49	18	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑌)
50		iooss2 13300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
51	34, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
52	48, 51	sstrd 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53		ioombl 24929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
55	52, 54, 43, 40	iblss 25169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
57	18	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
58		iooss1 13299	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
59	30, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
60	59, 37	sstrd 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61		ioombl 24929	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
63	60, 62, 43, 40	iblss 25169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
64	63	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
65	8, 14, 29, 46, 56, 64	itgsplitioo 25202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
66	8, 20, 14, 24, 25	letrd 11312	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
67	66	ditgpos 25220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
68	24	ditgpos 25220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
69	25	ditgpos 25220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
70	68, 69	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
72	71	anassrs 468	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050   + caddc 11054  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  𝐿¹cibl 24981  ∫citg 24982  ⨜cdit 25210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211

This theorem is referenced by:  ditgsplit  25225