Theorem ditgsplitlem 25832

Description: Lemma for ditgsplit 25833. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ditgsplit.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
ditgsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1	⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
ditgsplitlem	⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ditgsplit.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2		ditgsplit.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		ditgsplit.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		elicc2 13339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑌))
7	6	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		ditgsplit.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10		elicc2 13339	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
11	2, 3, 10	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌)))
12	9, 11	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝑌))
13	12	simp1d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15		ditgsplit.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16		elicc2 13339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
17	2, 3, 16	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌)))
18	15, 17	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑌))
19	18	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝜓 ∧ 𝜃))
22		ditgsplit.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜃) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
23	21, 22	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶))
24	23	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐵)
25	23	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ≤ 𝐶)
26		elicc2 13339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
27	7, 13, 26	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
28	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)))
29	20, 24, 25, 28	mpbir3and 1344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
30	2	rexrd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ*)
31	6	simp2d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐴)
32		iooss1 13308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
33	30, 31, 32	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
34	3	rexrd 11194	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ*)
35	12	simp3d 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝑌)
36		iooss2 13309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
37	34, 35, 36	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
38	33, 37	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
39	38	sselda 3935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40		ditgsplit.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41		iblmbf 25739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43		ditgsplit.d	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
44	42, 43	mbfmptcl 25608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
45	39, 44	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
46	45	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47		iooss1 13308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
48	30, 31, 47	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
49	18	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝑌)
50		iooss2 13309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
51	34, 49, 50	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
52	48, 51	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53		ioombl 25537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
55	52, 54, 43, 40	iblss 25777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
56	55	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
57	18	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝐵)
58		iooss1 13308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
59	30, 57, 58	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
60	59, 37	sstrd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61		ioombl 25537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
62	61	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
63	60, 62, 43, 40	iblss 25777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
64	63	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
65	8, 14, 29, 46, 56, 64	itgsplitioo 25810	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
66	8, 20, 14, 24, 25	letrd 11302	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
67	66	ditgpos 25828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
68	24	ditgpos 25828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
69	25	ditgpos 25828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
70	68, 69	oveq12d 7386	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
71	65, 67, 70	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜓 ∧ 𝜃)) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))
72	71	anassrs 467	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴 → 𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴 → 𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵 → 𝐶]𝐷 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  volcvol 25435  MblFncmbf 25586  𝐿¹cibl 25589  ∫citg 25590  ⨜cdit 25818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21316  df-xmet 21317  df-met 21318  df-bl 21319  df-mopn 21320  df-top 22853  df-topon 22870  df-bases 22905  df-cmp 23346  df-ovol 25436  df-vol 25437  df-mbf 25591  df-itg1 25592  df-itg2 25593  df-ibl 25594  df-itg 25595  df-0p 25642  df-ditg 25819

This theorem is referenced by:  ditgsplit  25833