MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgsplitlem 25240
Description: Lemma for ditgsplit 25241. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 13336 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1143 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ditgsplit.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 elicc2 13336 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
112, 3, 10syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
129, 11mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1312simp1d 1143 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16 elicc2 13336 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
172, 3, 16syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
1815, 17mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1918simp1d 1143 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝜓𝜃))
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2423simpld 496 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐵)
2523simprd 497 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵𝐶)
26 elicc2 13336 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
277, 13, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2827adantr 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1343 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
302rexrd 11212 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
316simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
32 iooss1 13306 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
3330, 31, 32syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
343rexrd 11212 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
3512simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑌)
36 iooss2 13307 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐶𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3734, 35, 36syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3833, 37sstrd 3959 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3938sselda 3949 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41 iblmbf 25148 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43 ditgsplit.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
4442, 43mbfmptcl 25016 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4539, 44syldan 592 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4645adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47 iooss1 13306 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4830, 31, 47syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4918simp3d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑌)
50 iooss2 13307 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5134, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5248, 51sstrd 3959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53 ioombl 24945 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5552, 54, 43, 40iblss 25185 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5655adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5718simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
58 iooss1 13306 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
5930, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
6059, 37sstrd 3959 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61 ioombl 24945 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
6360, 62, 43, 40iblss 25185 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
6463adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 25218 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
668, 20, 14, 24, 25letrd 11319 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐶)
6766ditgpos 25236 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
6824ditgpos 25236 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
6925ditgpos 25236 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7068, 69oveq12d 7380 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
7165, 67, 703eqtr4d 2787 . 2 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
7271anassrs 469 1 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915   class class class wbr 5110  cmpt 5193  dom cdm 5638  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057   + caddc 11061  *cxr 11195  cle 11197  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  𝐿1cibl 24997  citg 24998  cdit 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227
This theorem is referenced by:  ditgsplit  25241
  Copyright terms: Public domain W3C validator