MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ditgsplitlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ditgsplitlem 24461
Description: Lemma for ditgsplit 24462. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ditgsplit.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ditgsplit.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ditgsplit.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ditgsplit.d ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
ditgsplit.i (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
ditgsplit.1 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
ditgsplitlem (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝜓,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem ditgsplitlem
StepHypRef Expression
1 ditgsplit.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
2 ditgsplit.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 ditgsplit.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 elicc2 12797 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
52, 3, 4syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
61, 5mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
76simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 ditgsplit.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌))
10 elicc2 12797 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
112, 3, 10syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌)))
129, 11mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐶𝐶𝑌))
1312simp1d 1139 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1413adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 ditgsplit.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
16 elicc2 12797 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
172, 3, 16syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
1815, 17mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
1918simp1d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝜓𝜃))
22 ditgsplit.1 . . . . . . 7 ((𝜓𝜃) ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2321, 22sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2423simpld 498 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐵)
2523simprd 499 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵𝐶)
26 elicc2 12797 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
277, 13, 26syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2827adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
2920, 24, 25, 28mpbir3and 1339 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
302rexrd 10685 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
316simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
32 iooss1 12768 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
3330, 31, 32syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
343rexrd 10685 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
3512simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑌)
36 iooss2 12769 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐶𝑌) → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3734, 35, 36syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3833, 37sstrd 3963 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
3938sselda 3953 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌))
40 ditgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
41 iblmbf 24369 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐷) ∈ MblFn)
43 ditgsplit.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷𝑉)
4442, 43mbfmptcl 24238 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4539, 44syldan 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
4645adantlr 714 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐶)) → 𝐷 ∈ ℂ)
47 iooss1 12768 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4830, 31, 47syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
4918simp3d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑌)
50 iooss2 12769 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5134, 49, 50syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
5248, 51sstrd 3963 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
53 ioombl 24167 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
5552, 54, 43, 40iblss 24406 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5655adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
5718simp2d 1140 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐵)
58 iooss1 12768 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
5930, 57, 58syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝐶))
6059, 37sstrd 3963 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
61 ioombl 24167 . . . . . . 7 (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵(,)𝐶) ∈ dom vol)
6360, 62, 43, 40iblss 24406 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
6463adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (𝑥 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
658, 14, 29, 46, 56, 64itgsplitioo 24439 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
668, 20, 14, 24, 25letrd 10791 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → 𝐴𝐶)
6766ditgpos 24457 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
6824ditgpos 24457 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥)
6925ditgpos 24457 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥 = ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥)
7068, 69oveq12d 7164 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥) = (∫(𝐴(,)𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵(,)𝐶)𝐷 d𝑥))
7165, 67, 703eqtr4d 2869 . 2 ((𝜑 ∧ (𝜓𝜃)) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
7271anassrs 471 1 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜃) → ⨜[𝐴𝐶]𝐷 d𝑥 = (⨜[𝐴𝐵]𝐷 d𝑥 + ⨜[𝐵𝐶]𝐷 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919   class class class wbr 5053  cmpt 5133  dom cdm 5543  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530   + caddc 10534  *cxr 10668  cle 10670  (,)cioo 12733  [,]cicc 12736  volcvol 24065  MblFncmbf 24216  𝐿1cibl 24219  citg 24220  cdit 24447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-symdif 4204  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-mod 13240  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041  df-rest 16694  df-topgen 16715  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067  df-mbf 24221  df-itg1 24222  df-itg2 24223  df-ibl 24224  df-itg 24225  df-0p 24272  df-ditg 24448
This theorem is referenced by:  ditgsplit  24462
  Copyright terms: Public domain W3C validator