Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 37194
Description: Choice-free analogue of itgadd 25782. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25725 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4mbfmptcl 25593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25725 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
108, 9mbfmptcl 25593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
115, 10readdd 15203 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)))
1211itgeq2dv 25739 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯)
135recld 15183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
145iblcn 25756 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
1710recld 15183 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
1810iblcn 25756 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 493 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 11273 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
22 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)))
23 ref 15101 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6972 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)))
2721, 22, 25, 26fmptco 7144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))))
2811mpteq2dva 5252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
2927, 28eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 7130 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
32 ismbfcn 25586 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn))
3534simpld 493 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2830 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 37193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
3812, 37eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
395, 10imaddd 15204 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)))
4039itgeq2dv 25739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯)
415imcld 15184 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4215simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 15184 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
4419simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
45 imf 15102 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘:β„‚βŸΆβ„
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
4746feqmptd 6972 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
48 fveq2 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)))
4921, 22, 47, 48fmptco 7144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))))
5039mpteq2dva 5252 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5149, 50eqtrd 2768 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5234simprd 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2830 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 37193 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5540, 54eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5655oveq2d 7442 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
57 ax-icn 11207 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ i ∈ β„‚)
5941, 42itgcl 25741 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6043, 44itgcl 25741 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6158, 59, 60adddid 11278 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6256, 61eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6338, 62oveq12d 7444 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
6413, 16itgcl 25741 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6517, 20itgcl 25741 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
66 mulcl 11232 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6757, 59, 66sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
68 mulcl 11232 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6957, 60, 68sylancr 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
7064, 65, 67, 69add4d 11482 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7163, 70eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
72 ovexd 7461 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 37191 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 25757 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)))
754, 1itgcnval 25757 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)))
769, 6itgcnval 25757 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
7775, 76oveq12d 7444 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7871, 74, 773eqtr4d 2778 1 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  ici 11150   + caddc 11151   Β· cmul 11153  β„œcre 15086  β„‘cim 15087  MblFncmbf 25571  πΏ1cibl 25574  βˆ«citg 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cmp 23319  df-ovol 25421  df-vol 25422  df-mbf 25576  df-itg1 25577  df-itg2 25578  df-ibl 25579  df-itg 25580  df-0p 25627
This theorem is referenced by:  itgsubnc  37196  itgmulc2nc  37202  ftc1cnnclem  37205
  Copyright terms: Public domain W3C validator