Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 34822
Description: Choice-free analogue of itgadd 24343. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24286 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 24155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 24286 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 24155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10readdd 14563 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
1211itgeq2dv 24300 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
135recld 14543 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
145iblcn 24317 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1710recld 14543 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
1810iblcn 24317 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 10649 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
22 eqidd 2827 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
23 ref 14461 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2524feqmptd 6730 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)))
2721, 22, 25, 26fmptco 6887 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))))
2811mpteq2dva 5158 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
2927, 28eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 6875 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ)
32 ismbfcn 24148 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn))
3534simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2919 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 34821 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
3812, 37eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
395, 10imaddd 14564 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
4039itgeq2dv 24300 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
415imcld 14544 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4215simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 14544 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4419simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
45 imf 14462 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ:ℂ⟶ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4746feqmptd 6730 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
48 fveq2 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)))
4921, 22, 47, 48fmptco 6887 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))))
5039mpteq2dva 5158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5149, 50eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5234simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2919 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 34821 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5540, 54eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5655oveq2d 7164 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
57 ax-icn 10585 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
5941, 42itgcl 24302 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6043, 44itgcl 24302 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
6158, 59, 60adddid 10654 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6256, 61eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6338, 62oveq12d 7166 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
6413, 16itgcl 24302 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6517, 20itgcl 24302 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
66 mulcl 10610 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
6757, 59, 66sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
68 mulcl 10610 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
6957, 60, 68sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
7064, 65, 67, 69add4d 10857 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7163, 70eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
72 ovexd 7183 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 34819 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 24318 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
754, 1itgcnval 24318 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
769, 6itgcnval 24318 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
7775, 76oveq12d 7166 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7871, 74, 773eqtr4d 2871 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  cmpt 5143  ccom 5558  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  cr 10525  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531  cre 14446  cim 14447  MblFncmbf 24133  𝐿1cibl 24136  citg 24137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473  df-cmp 21914  df-ovol 23983  df-vol 23984  df-mbf 24138  df-itg1 24139  df-itg2 24140  df-ibl 24141  df-itg 24142  df-0p 24189
This theorem is referenced by:  itgsubnc  34824  itgmulc2nc  34830  ftc1cnnclem  34835
  Copyright terms: Public domain W3C validator