Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 37061
Description: Choice-free analogue of itgadd 25709. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25652 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4mbfmptcl 25520 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25652 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
108, 9mbfmptcl 25520 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
115, 10readdd 15167 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)))
1211itgeq2dv 25666 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯)
135recld 15147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
145iblcn 25683 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
1710recld 15147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
1810iblcn 25683 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 11237 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
22 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)))
23 ref 15065 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6954 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)))
2721, 22, 25, 26fmptco 7123 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))))
2811mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
2927, 28eqtrd 2766 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
32 ismbfcn 25513 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn))
3534simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 37060 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
3812, 37eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
395, 10imaddd 15168 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)))
4039itgeq2dv 25666 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯)
415imcld 15148 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4215simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 15148 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
4419simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
45 imf 15066 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘:β„‚βŸΆβ„
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
4746feqmptd 6954 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
48 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)))
4921, 22, 47, 48fmptco 7123 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))))
5039mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5149, 50eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5234simprd 495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 37060 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5540, 54eqtrd 2766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5655oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
57 ax-icn 11171 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ i ∈ β„‚)
5941, 42itgcl 25668 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6043, 44itgcl 25668 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6158, 59, 60adddid 11242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6256, 61eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6338, 62oveq12d 7423 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
6413, 16itgcl 25668 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6517, 20itgcl 25668 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
66 mulcl 11196 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6757, 59, 66sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
68 mulcl 11196 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6957, 60, 68sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
7064, 65, 67, 69add4d 11446 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7163, 70eqtrd 2766 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
72 ovexd 7440 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 37058 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 25684 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)))
754, 1itgcnval 25684 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)))
769, 6itgcnval 25684 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
7775, 76oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7871, 74, 773eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„œcre 15050  β„‘cim 15051  MblFncmbf 25498  πΏ1cibl 25501  βˆ«citg 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-ibl 25506  df-itg 25507  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  itgsubnc  37063  itgmulc2nc  37069  ftc1cnnclem  37072
  Copyright terms: Public domain W3C validator