Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 36188
Description: Choice-free analogue of itgadd 25212. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25155 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4mbfmptcl 25023 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25155 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
108, 9mbfmptcl 25023 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
115, 10readdd 15108 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)))
1211itgeq2dv 25169 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯)
135recld 15088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
145iblcn 25186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
1710recld 15088 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
1810iblcn 25186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 11182 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
22 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)))
23 ref 15006 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6914 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)))
2721, 22, 25, 26fmptco 7079 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))))
2811mpteq2dva 5209 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
2927, 28eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 7067 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
32 ismbfcn 25016 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn))
3534simpld 496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 36187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
3812, 37eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
395, 10imaddd 15109 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)))
4039itgeq2dv 25169 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯)
415imcld 15089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4215simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 15089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
4419simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
45 imf 15007 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘:β„‚βŸΆβ„
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
4746feqmptd 6914 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
48 fveq2 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)))
4921, 22, 47, 48fmptco 7079 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))))
5039mpteq2dva 5209 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5149, 50eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5234simprd 497 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 36187 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5540, 54eqtrd 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5655oveq2d 7377 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
57 ax-icn 11118 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ i ∈ β„‚)
5941, 42itgcl 25171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6043, 44itgcl 25171 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6158, 59, 60adddid 11187 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6256, 61eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6338, 62oveq12d 7379 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
6413, 16itgcl 25171 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6517, 20itgcl 25171 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
66 mulcl 11143 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6757, 59, 66sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
68 mulcl 11143 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6957, 60, 68sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
7064, 65, 67, 69add4d 11391 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7163, 70eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
72 ovexd 7396 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 36185 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 25187 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)))
754, 1itgcnval 25187 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)))
769, 6itgcnval 25187 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
7775, 76oveq12d 7379 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7871, 74, 773eqtr4d 2783 1 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  ici 11061   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„œcre 14991  β„‘cim 14992  MblFncmbf 25001  πΏ1cibl 25004  βˆ«citg 25005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cmp 22761  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057
This theorem is referenced by:  itgsubnc  36190  itgmulc2nc  36196  ftc1cnnclem  36199
  Copyright terms: Public domain W3C validator