Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 36634
Description: Choice-free analogue of itgadd 25349. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25292 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
53, 4mbfmptcl 25160 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25292 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
108, 9mbfmptcl 25160 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
115, 10readdd 15163 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)))
1211itgeq2dv 25306 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯)
135recld 15143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜π΅) ∈ ℝ)
145iblcn 25323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
1710recld 15143 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„œβ€˜πΆ) ∈ ℝ)
1810iblcn 25323 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1 ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 11235 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ β„‚)
22 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)))
23 ref 15061 . . . . . . . . . . 11 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„)
2524feqmptd 6960 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„œ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„œβ€˜π‘¦)))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„œβ€˜π‘¦) = (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)))
2721, 22, 25, 26fmptco 7129 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))))
2811mpteq2dva 5248 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
2927, 28eqtrd 2772 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 7116 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
32 ismbfcn 25153 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ↔ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn ∧ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn))
3534simpld 495 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β„œ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 36633 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„œβ€˜π΅) + (β„œβ€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
3812, 37eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯))
395, 10imaddd 15164 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) = ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)))
4039itgeq2dv 25306 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯)
415imcld 15144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜π΅) ∈ ℝ)
4215simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜π΅)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 15144 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (β„‘β€˜πΆ) ∈ ℝ)
4419simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜πΆ)) ∈ 𝐿1)
45 imf 15062 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘:β„‚βŸΆβ„
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„)
4746feqmptd 6960 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‘ = (𝑦 ∈ β„‚ ↦ (β„‘β€˜π‘¦)))
48 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐡 + 𝐢) β†’ (β„‘β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)))
4921, 22, 47, 48fmptco 7129 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))))
5039mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5149, 50eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))))
5234simprd 496 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‘ ∘ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 36633 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ∫𝐴((β„‘β€˜π΅) + (β„‘β€˜πΆ)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5540, 54eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))
5655oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
57 ax-icn 11171 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
5857a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ i ∈ β„‚)
5941, 42itgcl 25308 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6043, 44itgcl 25308 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6158, 59, 60adddid 11240 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (i Β· (∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6256, 61eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯) = ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
6338, 62oveq12d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
6413, 16itgcl 25308 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚)
6517, 20itgcl 25308 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚)
66 mulcl 11196 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6757, 59, 66sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) ∈ β„‚)
68 mulcl 11196 . . . . 5 ((i ∈ β„‚ ∧ ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯ ∈ β„‚) β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
6957, 60, 68sylancr 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯) ∈ β„‚)
7064, 65, 67, 69add4d 11444 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + ∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯) + ((i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯) + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7163, 70eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
72 ovexd 7446 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 + 𝐢) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 36631 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 25324 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜(𝐡 + 𝐢)) dπ‘₯)))
754, 1itgcnval 25324 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐡 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)))
769, 6itgcnval 25324 . . 3 (πœ‘ β†’ ∫𝐴𝐢 dπ‘₯ = (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯)))
7775, 76oveq12d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯) = ((∫𝐴(β„œβ€˜π΅) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜π΅) dπ‘₯)) + (∫𝐴(β„œβ€˜πΆ) dπ‘₯ + (i Β· ∫𝐴(β„‘β€˜πΆ) dπ‘₯))))
7871, 74, 773eqtr4d 2782 1 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐡 + 𝐢) dπ‘₯ = (∫𝐴𝐡 dπ‘₯ + ∫𝐴𝐢 dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  ici 11114   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„œcre 15046  β„‘cim 15047  MblFncmbf 25138  πΏ1cibl 25141  βˆ«citg 25142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194
This theorem is referenced by:  itgsubnc  36636  itgmulc2nc  36642  ftc1cnnclem  36645
  Copyright terms: Public domain W3C validator