Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ibladdnc.2 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ π΅) β
πΏ1) |
2 | | iblmbf 25155 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π₯ β π΄ β¦ π΅) β πΏ1 β (π₯ β π΄ β¦ π΅) β MblFn) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ π΅) β MblFn) |
4 | | ibladdnc.1 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π΅ β π) |
5 | 3, 4 | mbfmptcl 25023 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β π΅ β β) |
6 | | ibladdnc.4 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ πΆ) β
πΏ1) |
7 | | iblmbf 25155 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π₯ β π΄ β¦ πΆ) β πΏ1 β (π₯ β π΄ β¦ πΆ) β MblFn) |
8 | 6, 7 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ πΆ) β MblFn) |
9 | | ibladdnc.3 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β πΆ β π) |
10 | 8, 9 | mbfmptcl 25023 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β πΆ β β) |
11 | 5, 10 | readdd 15108 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (ββ(π΅ + πΆ)) = ((ββπ΅) + (ββπΆ))) |
12 | 11 | itgeq2dv 25169 |
. . . . 5
β’ (π β β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ = β«π΄((ββπ΅) + (ββπΆ)) dπ₯) |
13 | 5 | recld 15088 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (ββπ΅) β β) |
14 | 5 | iblcn 25186 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π₯ β π΄ β¦ π΅) β πΏ1 β
((π₯ β π΄ β¦ (ββπ΅)) β πΏ1
β§ (π₯ β π΄ β¦ (ββπ΅)) β
πΏ1))) |
15 | 1, 14 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π₯ β π΄ β¦ (ββπ΅)) β πΏ1 β§ (π₯ β π΄ β¦ (ββπ΅)) β
πΏ1)) |
16 | 15 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (ββπ΅)) β
πΏ1) |
17 | 10 | recld 15088 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (ββπΆ) β β) |
18 | 10 | iblcn 25186 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π₯ β π΄ β¦ πΆ) β πΏ1 β
((π₯ β π΄ β¦ (ββπΆ)) β πΏ1
β§ (π₯ β π΄ β¦ (ββπΆ)) β
πΏ1))) |
19 | 6, 18 | mpbid 231 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π₯ β π΄ β¦ (ββπΆ)) β πΏ1 β§ (π₯ β π΄ β¦ (ββπΆ)) β
πΏ1)) |
20 | 19 | simpld 496 |
. . . . . 6
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (ββπΆ)) β
πΏ1) |
21 | 5, 10 | addcld 11182 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π΅ + πΆ) β β) |
22 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) = (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) |
23 | | ref 15006 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β:ββΆβ |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β
β:ββΆβ) |
25 | 24 | feqmptd 6914 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β = (π¦ β β β¦
(ββπ¦))) |
26 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . 9
β’ (π¦ = (π΅ + πΆ) β (ββπ¦) = (ββ(π΅ + πΆ))) |
27 | 21, 22, 25, 26 | fmptco 7079 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) = (π₯ β π΄ β¦ (ββ(π΅ + πΆ)))) |
28 | 11 | mpteq2dva 5209 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (ββ(π΅ + πΆ))) = (π₯ β π΄ β¦ ((ββπ΅) + (ββπΆ)))) |
29 | 27, 28 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) = (π₯ β π΄ β¦ ((ββπ΅) + (ββπΆ)))) |
30 | | ibladdnc.m |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) β MblFn) |
31 | 21 | fmpttd 7067 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)):π΄βΆβ) |
32 | | ismbfcn 25016 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)):π΄βΆβ β ((π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) β MblFn β ((β β
(π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn β§ (β β
(π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn))) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) β MblFn β ((β β
(π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn β§ (β β
(π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn))) |
34 | 30, 33 | mpbid 231 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn β§ (β β
(π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn)) |
35 | 34 | simpld 496 |
. . . . . . 7
β’ (π β (β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn) |
36 | 29, 35 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . 6
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ ((ββπ΅) + (ββπΆ))) β MblFn) |
37 | 13, 16, 17, 20, 36, 13, 17 | itgaddnclem2 36187 |
. . . . 5
β’ (π β β«π΄((ββπ΅) + (ββπΆ)) dπ₯ = (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯)) |
38 | 12, 37 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (π β β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ = (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯)) |
39 | 5, 10 | imaddd 15109 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (ββ(π΅ + πΆ)) = ((ββπ΅) + (ββπΆ))) |
40 | 39 | itgeq2dv 25169 |
. . . . . . 7
β’ (π β β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ = β«π΄((ββπ΅) + (ββπΆ)) dπ₯) |
41 | 5 | imcld 15089 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (ββπ΅) β β) |
42 | 15 | simprd 497 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (ββπ΅)) β
πΏ1) |
43 | 10 | imcld 15089 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (ββπΆ) β β) |
44 | 19 | simprd 497 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (ββπΆ)) β
πΏ1) |
45 | | imf 15007 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
β:ββΆβ |
46 | 45 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β
β:ββΆβ) |
47 | 46 | feqmptd 6914 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β = (π¦ β β β¦
(ββπ¦))) |
48 | | fveq2 6846 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π¦ = (π΅ + πΆ) β (ββπ¦) = (ββ(π΅ + πΆ))) |
49 | 21, 22, 47, 48 | fmptco 7079 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) = (π₯ β π΄ β¦ (ββ(π΅ + πΆ)))) |
50 | 39 | mpteq2dva 5209 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (ββ(π΅ + πΆ))) = (π₯ β π΄ β¦ ((ββπ΅) + (ββπΆ)))) |
51 | 49, 50 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) = (π₯ β π΄ β¦ ((ββπ΅) + (ββπΆ)))) |
52 | 34 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (β β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ))) β MblFn) |
53 | 51, 52 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ ((ββπ΅) + (ββπΆ))) β MblFn) |
54 | 41, 42, 43, 44, 53, 41, 43 | itgaddnclem2 36187 |
. . . . . . 7
β’ (π β β«π΄((ββπ΅) + (ββπΆ)) dπ₯ = (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯)) |
55 | 40, 54 | eqtrd 2773 |
. . . . . 6
β’ (π β β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ = (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯)) |
56 | 55 | oveq2d 7377 |
. . . . 5
β’ (π β (i Β· β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯) = (i Β· (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯))) |
57 | | ax-icn 11118 |
. . . . . . 7
β’ i β
β |
58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β i β
β) |
59 | 41, 42 | itgcl 25171 |
. . . . . 6
β’ (π β β«π΄(ββπ΅) dπ₯ β β) |
60 | 43, 44 | itgcl 25171 |
. . . . . 6
β’ (π β β«π΄(ββπΆ) dπ₯ β β) |
61 | 58, 59, 60 | adddid 11187 |
. . . . 5
β’ (π β (i Β· (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯)) = ((i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯) + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯))) |
62 | 56, 61 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (π β (i Β· β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯) = ((i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯) + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯))) |
63 | 38, 62 | oveq12d 7379 |
. . 3
β’ (π β (β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯)) = ((β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯) + ((i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯) + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯)))) |
64 | 13, 16 | itgcl 25171 |
. . . 4
β’ (π β β«π΄(ββπ΅) dπ₯ β β) |
65 | 17, 20 | itgcl 25171 |
. . . 4
β’ (π β β«π΄(ββπΆ) dπ₯ β β) |
66 | | mulcl 11143 |
. . . . 5
β’ ((i
β β β§ β«π΄(ββπ΅) dπ₯ β β) β (i Β·
β«π΄(ββπ΅) dπ₯) β β) |
67 | 57, 59, 66 | sylancr 588 |
. . . 4
β’ (π β (i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯) β β) |
68 | | mulcl 11143 |
. . . . 5
β’ ((i
β β β§ β«π΄(ββπΆ) dπ₯ β β) β (i Β·
β«π΄(ββπΆ) dπ₯) β β) |
69 | 57, 60, 68 | sylancr 588 |
. . . 4
β’ (π β (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯) β β) |
70 | 64, 65, 67, 69 | add4d 11391 |
. . 3
β’ (π β ((β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + β«π΄(ββπΆ) dπ₯) + ((i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯) + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯))) = ((β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯)) + (β«π΄(ββπΆ) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯)))) |
71 | 63, 70 | eqtrd 2773 |
. 2
β’ (π β (β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯)) = ((β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯)) + (β«π΄(ββπΆ) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯)))) |
72 | | ovexd 7396 |
. . 3
β’ ((π β§ π₯ β π΄) β (π΅ + πΆ) β V) |
73 | 4, 1, 9, 6, 30 | ibladdnc 36185 |
. . 3
β’ (π β (π₯ β π΄ β¦ (π΅ + πΆ)) β
πΏ1) |
74 | 72, 73 | itgcnval 25187 |
. 2
β’ (π β β«π΄(π΅ + πΆ) dπ₯ = (β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββ(π΅ + πΆ)) dπ₯))) |
75 | 4, 1 | itgcnval 25187 |
. . 3
β’ (π β β«π΄π΅ dπ₯ = (β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯))) |
76 | 9, 6 | itgcnval 25187 |
. . 3
β’ (π β β«π΄πΆ dπ₯ = (β«π΄(ββπΆ) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯))) |
77 | 75, 76 | oveq12d 7379 |
. 2
β’ (π β (β«π΄π΅ dπ₯ + β«π΄πΆ dπ₯) = ((β«π΄(ββπ΅) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπ΅) dπ₯)) + (β«π΄(ββπΆ) dπ₯ + (i Β· β«π΄(ββπΆ) dπ₯)))) |
78 | 71, 74, 77 | 3eqtr4d 2783 |
1
β’ (π β β«π΄(π΅ + πΆ) dπ₯ = (β«π΄π΅ dπ₯ + β«π΄πΆ dπ₯)) |