Theorem itgaddnc 37741

Description: Choice-free analogue of itgadd 25754. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ibladdnc.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
ibladdnc.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
ibladdnc.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
itgaddnc	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ibladdnc.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
2		iblmbf 25696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
4		ibladdnc.1	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
5	3, 4	mbfmptcl 25565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		ibladdnc.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1)
7		iblmbf 25696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)
9		ibladdnc.3	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
10	8, 9	mbfmptcl 25565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	5, 10	readdd 15123	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
12	11	itgeq2dv 25711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
13	5	recld 15103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
14	5	iblcn 25728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
15	1, 14	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
16	15	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
17	10	recld 15103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	10	iblcn 25728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
19	6, 18	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
21	5, 10	addcld 11138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
22		eqidd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
23		ref 15021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26		fveq2 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)))
27	21, 22, 25, 26	fmptco 7068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))))
28	11	mpteq2dva 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
29	27, 28	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
30		ibladdnc.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
31	21	fmpttd 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ)
32		ismbfcn 25558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
34	30, 33	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn))
35	34	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
36	29, 35	eqeltrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))) ∈ MblFn)
37	13, 16, 17, 20, 36, 13, 17	itgaddnclem2 37740	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
38	12, 37	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
39	5, 10	imaddd 15124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
40	39	itgeq2dv 25711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
41	5	imcld 15104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
42	15	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
43	10	imcld 15104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
44	19	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
45		imf 15022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
47	46	feqmptd 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
48		fveq2 6828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)))
49	21, 22, 47, 48	fmptco 7068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))))
50	39	mpteq2dva 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
51	49, 50	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
52	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
53	51, 52	eqeltrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))) ∈ MblFn)
54	41, 42, 43, 44, 53, 41, 43	itgaddnclem2 37740	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
55	40, 54	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
56	55	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
57		ax-icn 11072	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
59	41, 42	itgcl 25713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
60	43, 44	itgcl 25713	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
61	58, 59, 60	adddid 11143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
62	56, 61	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
63	38, 62	oveq12d 7370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
64	13, 16	itgcl 25713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
65	17, 20	itgcl 25713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
66		mulcl 11097	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
67	57, 59, 66	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
68		mulcl 11097	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
69	57, 60, 68	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
70	64, 65, 67, 69	add4d 11349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
71	63, 70	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
72		ovexd 7387	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
73	4, 1, 9, 6, 30	ibladdnc 37738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
74	72, 73	itgcnval 25729	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
75	4, 1	itgcnval 25729	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
76	9, 6	itgcnval 25729	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
77	75, 76	oveq12d 7370	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
78	71, 74, 77	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5174   ∘ ccom 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  ici 11015   + caddc 11016   · cmul 11018  ℜcre 15006  ℑcim 15007  MblFncmbf 25543  𝐿¹cibl 25546  ∫citg 25547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5061  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-rest 17328  df-topgen 17349  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22810  df-topon 22827  df-bases 22862  df-cmp 23303  df-ovol 25393  df-vol 25394  df-mbf 25548  df-itg1 25549  df-itg2 25550  df-ibl 25551  df-itg 25552  df-0p 25599

This theorem is referenced by:  itgsubnc  37743  itgmulc2nc  37749  ftc1cnnclem  37752