Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 36138
Description: Choice-free analogue of itgadd 25189. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25132 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25000 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25132 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 25000 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10readdd 15099 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
1211itgeq2dv 25146 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
135recld 15079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
145iblcn 25163 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1710recld 15079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
1810iblcn 25163 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 495 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 11174 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
22 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
23 ref 14997 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2524feqmptd 6910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)))
2721, 22, 25, 26fmptco 7075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))))
2811mpteq2dva 5205 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
2927, 28eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 7063 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ)
32 ismbfcn 24993 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn))
3534simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 36137 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
3812, 37eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
395, 10imaddd 15100 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
4039itgeq2dv 25146 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
415imcld 15080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4215simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 15080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4419simprd 496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
45 imf 14998 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ:ℂ⟶ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4746feqmptd 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
48 fveq2 6842 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)))
4921, 22, 47, 48fmptco 7075 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))))
5039mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5149, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5234simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 36137 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5540, 54eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5655oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
57 ax-icn 11110 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
5941, 42itgcl 25148 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6043, 44itgcl 25148 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
6158, 59, 60adddid 11179 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6256, 61eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6338, 62oveq12d 7375 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
6413, 16itgcl 25148 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6517, 20itgcl 25148 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
66 mulcl 11135 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
6757, 59, 66sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
68 mulcl 11135 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
6957, 60, 68sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
7064, 65, 67, 69add4d 11383 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7163, 70eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
72 ovexd 7392 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 36135 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 25164 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
754, 1itgcnval 25164 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
769, 6itgcnval 25164 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
7775, 76oveq12d 7375 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7871, 74, 773eqtr4d 2786 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  cmpt 5188  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056  cre 14982  cim 14983  MblFncmbf 24978  𝐿1cibl 24981  citg 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  itgsubnc  36140  itgmulc2nc  36146  ftc1cnnclem  36149
  Copyright terms: Public domain W3C validator