Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgaddnc 37687
Description: Choice-free analogue of itgadd 25860. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
itgaddnc (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgaddnc
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 25802 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 25671 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 25802 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 25671 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10readdd 15253 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)))
1211itgeq2dv 25817 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥)
135recld 15233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
145iblcn 25834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)))
151, 14mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1))
1615simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
1710recld 15233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
1810iblcn 25834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)))
196, 18mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1 ∧ (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1))
2019simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
215, 10addcld 11280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
22 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
23 ref 15151 . . . . . . . . . . 11 ℜ:ℂ⟶ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℜ:ℂ⟶ℝ)
2524feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℜ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℜ‘𝑦)))
26 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℜ‘𝑦) = (ℜ‘(𝐵 + 𝐶)))
2721, 22, 25, 26fmptco 7149 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))))
2811mpteq2dva 5242 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
2927, 28eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))))
30 ibladdnc.m . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn)
3121fmpttd 7135 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ)
32 ismbfcn 25664 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)):𝐴⟶ℂ → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3331, 32syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ MblFn ↔ ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)))
3430, 33mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn ∧ (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn))
3534simpld 494 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
3629, 35eqeltrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶))) ∈ MblFn)
3713, 16, 17, 20, 36, 13, 17itgaddnclem2 37686 . . . . 5 (𝜑 → ∫𝐴((ℜ‘𝐵) + (ℜ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
3812, 37eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥))
395, 10imaddd 15254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) = ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)))
4039itgeq2dv 25817 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥)
415imcld 15234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
4215simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ 𝐿1)
4310imcld 15234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
4419simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)) ∈ 𝐿1)
45 imf 15152 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ:ℂ⟶ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℑ:ℂ⟶ℝ)
4746feqmptd 6977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℑ = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘𝑦)))
48 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (ℑ‘𝑦) = (ℑ‘(𝐵 + 𝐶)))
4921, 22, 47, 48fmptco 7149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))))
5039mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5149, 50eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) = (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))))
5234simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ ∘ (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶))) ∈ MblFn)
5351, 52eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶))) ∈ MblFn)
5441, 42, 43, 44, 53, 41, 43itgaddnclem2 37686 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫𝐴((ℑ‘𝐵) + (ℑ‘𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5540, 54eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 = (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))
5655oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
57 ax-icn 11214 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → i ∈ ℂ)
5941, 42itgcl 25819 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6043, 44itgcl 25819 . . . . . 6 (𝜑 → ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
6158, 59, 60adddid 11285 . . . . 5 (𝜑 → (i · (∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6256, 61eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥) = ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
6338, 62oveq12d 7449 . . 3 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
6413, 16itgcl 25819 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ)
6517, 20itgcl 25819 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ)
66 mulcl 11239 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
6757, 59, 66sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) ∈ ℂ)
68 mulcl 11239 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥 ∈ ℂ) → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
6957, 60, 68sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥) ∈ ℂ)
7064, 65, 67, 69add4d 11490 . . 3 (𝜑 → ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + ∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥) + ((i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥) + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7163, 70eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
72 ovexd 7466 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + 𝐶) ∈ V)
734, 1, 9, 6, 30ibladdnc 37684 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝐿1)
7472, 73itgcnval 25835 . 2 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘(𝐵 + 𝐶)) d𝑥)))
754, 1itgcnval 25835 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)))
769, 6itgcnval 25835 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥)))
7775, 76oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥) = ((∫𝐴(ℜ‘𝐵) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐵) d𝑥)) + (∫𝐴(ℜ‘𝐶) d𝑥 + (i · ∫𝐴(ℑ‘𝐶) d𝑥))))
7871, 74, 773eqtr4d 2787 1 (𝜑 → ∫𝐴(𝐵 + 𝐶) d𝑥 = (∫𝐴𝐵 d𝑥 + ∫𝐴𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cmpt 5225  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cre 15136  cim 15137  MblFncmbf 25649  𝐿1cibl 25652  citg 25653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  itgsubnc  37689  itgmulc2nc  37695  ftc1cnnclem  37698
  Copyright terms: Public domain W3C validator