Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iblsubnc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iblsubnc 35028
 Description: Choice-free analogue of iblsub 24421. (Contributed by Brendan Leahy, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
ibladdnc.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
iblsubnc.m (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
iblsubnc (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem iblsubnc
StepHypRef Expression
1 ibladdnc.2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24367 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
4 ibladdnc.1 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
53, 4mbfmptcl 24236 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 ibladdnc.4 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
7 iblmbf 24367 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
86, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
9 ibladdnc.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
108, 9mbfmptcl 24236 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
115, 10negsubd 10995 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
1211mpteq2dva 5147 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)))
1310negcld 10976 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
149, 6iblneg 24402 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐶) ∈ 𝐿1)
15 iblsubnc.m . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ MblFn)
1612, 15eqeltrd 2916 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ MblFn)
175, 1, 13, 14, 16ibladdnc 35024 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + -𝐶)) ∈ 𝐿1)
1812, 17eqeltrrd 2917 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   ↦ cmpt 5132  (class class class)co 7145  ℂcc 10527   + caddc 10532   − cmin 10862  -cneg 10863  MblFncmbf 24214  𝐿1cibl 24217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-top 21495  df-topon 21512  df-bases 21547  df-cmp 21988  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-ibl 24222  df-0p 24270 This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  35038
 Copyright terms: Public domain W3C validator